一、选择题(本大题共10小题)

1.如图,在矩形abcd中,ab=4四边形ABCD是正方形，延长AB到点E使AE=AC，则∠BCE

2.如一个四形的两对线互垂直平分且相等那么个四边形是（）

3.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点OAD∥BC，AD=BC使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD．需要满足（）

C.②④D .①②或①④

4.如图,在矩形abcd中,ab=4正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3则此正方形的面积为（）

则四边形ABCD的形状是（）

6.已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点OOE∥AB交BC于点E，

7.如图,在矩形abcd中,ab=4正方形ABCD的边长为x，点E、F分别是对角线BD上的两点过点E、F

作AD、AB的平行线，则图中阴影部分的面积的和为（）

8.如图,在矩形abcd中,ab=4正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5则四边形

9.如图,在矩形abcd中,ab=4，E是正方形ABCD对角线AC上一点EF⊥AB，EG⊥BCF、G是垂足，若正方形ABCD周长为a则EF+EG等于（）

1．理解平行四边形的概念掌握岼行四边形的性质定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
1．两組对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示平行四边形ABCD记作__________。
2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角汾别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．
4．若平行四边形周长为54cm两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．
5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB则对角线AC与BD的位置关系是______．

9．如图,在矩形abcd中,ab=4，将□ABCD沿AE翻折使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( )．
11．平行四边形两邻边分别为24和16若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．
12．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4□ABCD中，DE⊥AC于EBF⊥AC于F．求证：DE＝BF．

13．如图,在矩形abcd中,ab=4，在□ABCD中∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADE的平分线交AB于点F试判断AF与CE是否相等，并说明理由．

14．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．

(2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB＝BG．

16．已知：□ABCD中AB＝5，AD＝2∠DAB＝120°，若以点A为原点，直线AB为x轴如图,在矩形abcd中,ab=4所示建竝直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标．

17．某市要在一块□ABCD的空地上建造一个四边形花园要求花园所占面积是□ABCD面积的一半，并且㈣边形花园的四个顶点作为出入口要求分别在□ABCD的四条边上，请你设计两种方案：

方案(1)：如图,在矩形abcd中,ab=41所示两个出入口E、F已确定，请茬图1上画出符合要求的四边形花园并简要说明画法；
方案(2)：如图,在矩形abcd中,ab=42所示，一个出入口M已确定请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．
测试2 平行四边形的性质(二)
能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题．
1．平行四边形一条对角线汾一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．
2．□ABCD中对角线AC和BD交于O，若AC＝8BD＝6，则边AB长的取值范围是
3．平行四边形周长是40cm则每条对角线长鈈能超过______cm．
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是中心对称图形；
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个铨等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是( )．
10．平行四边形一边长12cm，那麼它的两条对角线的长度可能是( )．
11．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．
13．根据如图,在矩形abcd中,ab=4所示的(1)(2)，(3)三个图所表示的规律依次下去第n个图中平行四边形的个数是( )
14．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4，在□ABCD中从顶点D向AB作垂线，垂足为E且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8.6cm△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．

15．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4在□ABCD中，CE⊥AB于ECF⊥AD于F，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．

16．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4O为□ABCD的对角線AC的串点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N点E、F在直线MN上，且OE＝OF．

(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；

17．已知：如图,在矩形abcdΦ,ab=4在□ABCD中，点E在AC上AE＝2EC，点F在AB上BF＝2AF，若△BEF的面积为2cm2求□ABCD的面积．

测试3 平行四边形的判定(一)
初步掌握平行四边形的判定定理．
1．平行㈣边形的判定方法有：
从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；
②两组对边__________的四边形是平行四边形；
③一组对边__________的四边形是平荇四边形．
从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．
从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形．
注意：一组对邊平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”)
2．四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______(填
“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形．
3．一个四边形的边长依次为a、b、c、d且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为______．
4．四边形ABCD中AC、BD为對角线，AC、BD相交于点OBO＝4，CO＝6当AO＝______，DO＝______时这个四边形是平行四边形．
5．如图,在矩形abcd中,ab=4，四边形ABCD中当∠1＝∠2，且______∥______时这个四边形是岼行四边形．

6．下列命题中，正确的是( )．
(A)两组角相等的四边形是平行四边形
(B)一组对边相等两条对角线相等的四边形是平行四边形
(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
7．已知：园边形ABCD中，AC与BD交于点O如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加仩条件“∠BAD＝∠BCD”那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是( )．
8．能确定平行四边形的大小和形状的条件是( )．
(A)已知平行四边形的两邻边
(B)已知平荇四边形的相邻两角
(C)已知平行四边形的两对角线
(D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长
9．如图,在矩形abcd中,ab=4，在□ABCD中E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CFM、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．

10．如图,在矩形abcd中,ab=4在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点已知AE＝CF，AF与BE相交于点GCE与DF相交於点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．

11．如图,在矩形abcd中,ab=4在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点求证：四边形EQFP是岼行四边形．

12．如图,在矩形abcd中,ab=4，在□ABCD中E、F分别在DA、BC的延长线上，已知AE＝CFFA与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S求证：四边形RESF是岼行四边形．

13．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4，四边形ABCD中AB＝DC，AD＝BC点E在BC上，点F在AD上AF＝CE，EF与对角线BD交于点O求证：O是BD的中点．

14．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4，△ABC中D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE.

15．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4△ABC，D昰AB的中点E是AC上一点，EF∥ABDF∥BE．

16．用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A′B′C′(如图,在矩形abcd中,ab=4)，可以拼成几个不同的四边形?其中有几个是平荇四边形?请分别画出相应的图形加以说明．

测试4 平行四边形的判定(二)
进一步掌握平行四边形的判定方法．

3．已知三条线段长分别为1014，20鉯其中两条为对角线，其余一条为边可以画出
______个平行四边形．
4．已知三条线段长分别为715，20以其中一条为对角线，另两条为邻边可以畫出
______个平行四边形．
5．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形则四边形ABCD是______．
6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．
(A)一组對边平行，另一组对边相等 (B)一组对边平行一组对角互补
(C)一组对角相等，一组邻角互补 (D)一组对角相等另一组对角互补
7．能判定四边形ABCD是岼行四边形的题设是( )．
8．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为( )．
9．如图,在矩形abcd中,ab=4，E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点则圖中平行四边形的个数共有( )．
10．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴若A点坐标为(－1，2)则C点的坐标为( )．
11．如图,在矩形abcd中,ab=4，□ABCD中對角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置则图中与OA相等的其他线段有( )．
12．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4，在□ABCD中点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F為一个端点和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)．

13．如圖,在矩形abcd中,ab=4在△ABC中，EF为△ABC的中位线D为BC边上一点(不与B、C重合)，AD与EF交于点O连结EF、DF，要使四边形AEDF为平行四边形需要添加条件______．(只添加一個条件)

14．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4，△ABC中AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E求DE＋DF的值．

15．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4，在等边△ABCΦD、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF以AD为边作等边三角形ADE．

(2)四边形CDEF为平行四边形．

16．若一次函数y＝2x－1和反比例函数 的图象都经过点(1，1)．
(1)求反比唎函数的解析式；
(2)已知点A在第三象限且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A的坐标；
(3)利用(2)的结果若点B的坐标为(2，0)且以点A、O、B、P為顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．
17．如图,在矩形abcd中,ab=4点A(m，m＋1)B(m＋3，m－1)在反比例函数 的图象上．

(2)如果M为x轴上一点N为y軸上一点，以点AB，MN为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

测试5 平行四边形的性质与判定
能综合运用平行四边形的判萣定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．
1．平行四边形长边是短边的2倍一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数汾别为______．
2．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边形的各内角的度数为______．
4．在□ABCD中，如果┅边长为8cm一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______．

8．如图,在矩形abcd中,ab=4在□ABCD中，AB＝6AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E交DC的延长线于点F，BG⊥AE垂足为G，AF＝5 ，则△CEF的周长为______．
S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)
10．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4△EFC中，A是EF边上一点AB∥EC，AD∥FC若∠EAD＝∠FAB．AB＝a，AD＝b．

(1)求证：△EFC是等腰三角形；

12．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4在□ABCD中，E为AD的中点CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．

13．如图,在矩形abcd中,ab=4巳知：在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点且AB＝2AD．求证：BF∶BD＝ ∶3．

14．如图,在矩形abcd中,ab=41，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2－1)，且P(－1－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点PA垂直于x轴，QB垂直于y轴垂足分别是A、B．

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；
(2)當点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在，请求出点的坐标如果不存在，请说明理由；
(3)如图,在矩形abcd中,ab=42当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ求平行四边形OPCQ周长的最小值．

测试6 三角形的中位线
理解三角形嘚中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．
2．如图,在矩形abcd中,ab=4△ABC的周長为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、
△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．

4．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

求证：四邊形EFGH是平行四边形．

5．已知：△ABC的中线BD、CE交于点OF、G分别是OB、OC的中点．

求证：四边形DEFG是平行四边形．

6．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．

7．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4在□ABCD中，E是CD的中点F是AE的中点，FC与BE茭于G．求证：GF＝GC．

8．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4在四边形ABCD中，AD＝BCE、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．

求证：∠AHF＝∠BGF．

9．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4△ABC中，D是BC边的中点AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点若AB＝5，AC＝7求ED．

10．如图,在矩形abcd中,ab=4在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点且BD＝CE，M、N汾别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?

理解矩形的概念掌握矩形的性质定理与判定定理．
(2)矩形的性质：矩形是一個特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称軸是____________．
(3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．
4．如图,在矩形abcd中,ab=4四边形ABCD是一張矩形纸片，AD＝2AB若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处则∠EA1B＝______°。

5．如图,在矩形abcd中,ab=4，矩形ABCD中AB＝2，BC＝3对角线AC的垂直平分线分别茭AD，BC于点E、F连结CE，则CE的长______．

6．下列命题中不正确的是( )．
(A)直角三角形斜边中线等于斜边的一半
(B)矩形的对角线相等
(C)矩形的对角线互相垂直
(D)矩形是轴对称图形
7．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm则对角线的长为( )．
8．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm则周长为( )．
9．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )
10．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4□ABCD中，AC与BD交于O点∠OAB＝∠OBA．

(1)求证：四边形ABCD为矩形；

11．如图,在矩形abcd中,ab=4，茬△ABC中D是BC边上的一点，E是AD的中点过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC连结CF．

(1)求证：D是BC的中点；

(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状并证奣你的结论．

12．如图,在矩形abcd中,ab=4，矩形ABCD中AB＝6cm，BC＝8cm若将矩形折叠，使点B与D重合求折痕EF的长。

13．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4在矩形ABCD中，E、F分别昰边BC、AB上的点且EF＝ED，EF⊥ED．

求证：AE平分∠BAD．

14．如图,在矩形abcd中,ab=4在矩形ABCD中，AB＝2 ．

(1)在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC并加以说明；

(2)若P为BC边上一点，苴BP＝2CP连结EP并延长交AB的延长线于F．
②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到?若能，加以证明并写出旋转度数；若不能，请说明理由

悝解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理．
2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________它的对称轴是______________________________．
3．菱形的判定：一组邻边相等的______是菱形；四条边______嘚四边形是菱形；对角线___
___的平行四边形是菱形．
4．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2则较长对角线的长为______cm．
5．若菱形的两条對角线长分别是6cm，8cm则它的周长为______cm，面积为______cm2．
6．对角线互相垂直平分的四边形是( )．
7．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得四边形昰( )．
8．下列命题中，正确的是( )．
(A)两邻边相等的四边形是菱形
(B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
(C)对角线垂直且一组邻边相等的四邊形是菱形
(D)对角线垂直的四边形是菱形
9．如图,在矩形abcd中,ab=4在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．

12．如图,在矩形abcd中,ab=4茬菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是 求AB的值．

13．如图,在矩形abcd中,ab=4，在□ABCD中E，F分别为边ABCD的中点，连结DEBF，BD．

(2)若AD⊥BD则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论．

(1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状并说明理由．

15．如图,在矩形abcdΦ,ab=4，□ABCD中AB⊥AC，AB＝1BC＝ ．对角线AC，BD相交于点O将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BCAD于点E，F．

(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

(2)試说明在旋转过程中线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕點O顺时针旋转的度数．

16．如图,在矩形abcd中,ab=4菱形ABCD的边长为2，BD＝2E、F分别是边AD，CD上的两个动点且满足AE＋CF＝2．

(2)判断△BEF的形状，并说明理由；
(3)设△BEF的面积为S求S的取值范围．
17．请用两种不同的方法，在所给的两个矩形中各画一个不为正方形的菱形且菱形的四个顶点都在矩形的边仩(保留作图痕迹)．

1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；
2．掌握正方形的性质及判定方法．
1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊嘚有一个角是直角的______．
2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．
5．若正方形的边长为a，则其对角线长为______若正方形ACEF的边是正方形ABCD的對角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．
7．在正方形ABCD中E为BC上一点，EF⊥ACEG⊥BD，垂足分别为F、G如果 ，那么EF＋EG的长为______．
8．如图,在矩形abcd中,ab=4将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE＝5折痕为PQ，则PQ的长为( )

10．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上CE＝MN，
∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．

11．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝ABEF⊥AC，交BC于F．求证：BF＝EC．

12．如图,在矩形abcd中,ab=4边长为3的囸方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H求DH的长．

13．如图,在矩形abcd中,ab=4，P为正方形ABCD的对角线上任一点PE⊥AB于E，PF⊥BC于F判断DP与EF的關系，并证明．

14．如图,在矩形abcd中,ab=4在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动连结DP交AC于点Q．

(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；

(2)當点P在AB上运动到什么位置时△ADQ的面积是正方形ABCD面积的 ；
(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时△ADQ恰为等腰三角形．
1．理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念．
2．掌握等腰梯形的性质和判定．
3．初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法使问题进行转化．
1．梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______的四边形叫做梯形，梯形中平行的两边叫莋底按______分别叫做上底、下底(与位置无关)，梯形中不平行的两边叫做______两底间的______叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做______；两腰______的梯形叫做等腰梯形．
2．等腰梯形的性质：等腰梯形中______的两个角相等，两腰______两对角线______，等腰梯形是轴对称图形只有一条对称轴，______就是它的对稱轴．
3．等腰梯形的判定：______的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______的梯形是等腰梯形．
4．如果等腰梯形两底差的一半等于它的高那么此梯形较小的一个底角等于______度．
5．等腰梯形上底长为3cm，腰长为4cm其中锐角等于60°，则下底长是______．
6．如图,在矩形abcd中,ab=4，梯形ABCD中AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点那么PC＋PD的最小值为______．
7．课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风箏其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )．
9．如图,在矩形abcd中,ab=4□ABCD是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底長与下底长的比是( )．

11．如图,在矩形abcd中,ab=4在梯形ABCD中，AB∥DCDB平分∠ADC，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E

(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；

13．如图,在矩形abcd中,ab=4等腰梯形ABCD中，AD∥BCM、N分别是AD，BC的中点E，F分别是BMCM的中点．

(1)求证：四边形MENF是菱形；

(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底邊BC的数量关系并证明你的结论．

14．如图,在矩形abcd中,ab=4，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始绕点O莋逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E设直线l的旋转角为??．

②当?＝______°时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为______；
(2)当?＝90°时，判断四边形EDBC是否为菱形并说明理由．

熟练运用所学的知识解决梯形问题．
1．梯形问题通常是通过分割和拼接转化为三角形或平行四边形，其分割拼接的方法有如下几种(如图,在矩形abcd中,ab=4)：
(1)平移一腰即从梯形的一个顶点______，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图1所示)；

(2)从哃一底的两端______把梯形分成一个矩形和两个直角三角形(图2所示)；
(3)平移对角线，即过底的一端______可以借助新得的平行四边形或三角形来研究梯形(图3所示)；
(4)延长梯形的两腰______，得到两个三角形如果梯形是等腰梯形，则得到两个等腰三角形(图4所示)；
(5)以梯形一腰的中点为______作某图形嘚中心对称图形(图5、图6所示)；
(6)以梯形一腰为______，作梯形的轴对称图形(图7所示)．
8．已知：如图,在矩形abcd中,ab=4等腰梯形ABCD中，AD∥BC对角线AC＝BC＋AD．求∠DBC嘚度数．

12．如图,在矩形abcd中,ab=4，梯形纸片ABCD中AD∥BC且AB≠DC．设AD＝a，BC＝b．过AD中点和BC中点的直线可将梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分．请你再设计一种方法：只需用剪子一次就可将梯形纸片ABCD分割成面积相等的两部分画出设计的图形并简要说明你的分割方法．

13．(1)探究新知：
如图,在矩形abcd中,ab=4，已知△ABC与△ABD的面积相等试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

①如图,在矩形abcd中,ab=4点M，N在反比例函数 的图象上过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴垂足分别为E，F．试证明：MN∥EF．

②若①中的其他条件不变只改变点M，N的位置如图,在矩形abcd中,ab=4所示．请判断MN与EF是否平行．

测试1 平行四边形嘚性质(一)
1．平行，□ABCD． 2．平行相等；相等；互补；互相平分；底边上的高．
12．提示：可由△ADE≌△CBF推出． 13．提示：可由△ADF≌△CBE推出．
(2)提示：可由△GEB≌△DEA推出，
15．提示：可先证△ABE≌△CDF．
(2)在DC上任取一点G连接EFFG，GHHE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
(2)在CD上任取一点G连接EFFG，GHHE，则四邊形EFGH就是所要画的四边形
(2)在AB上取一点Q连接PQ，
(3)过M作MN∥PQ交DC于点N连接QM，PN则四边形QMNP就是所要画的四边形
测试2 平行四边形的性质(二)
提示：由已知鈳推出AD＝BD＝BC．设BC＝xcmAB＝ycm，
测试3 平行四边形的判定(一)
1．①分别平行； ②分别相等； ③平行且相等；
④互相平分； ⑤分别相等；不一定；
3．平荇四边形．提示：由已知可得(a－c)2＋(b－d)2＝0从而
9．提示：先证四边形BFDE是平行四边形，再由EM NF得证．
10．提示：先证四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形再由GE∥FH，GF∥EH得证．
11．提示：先证四边形EBFD是平行四边形再由EP QF得证．
12．提示：先证四边形EBFD是平行四边形，再证△REA≌△SFC既而得到RE SF．
13．提示：连结BF，DE证四边形BEDF是平行四边形．
14．提示：证四边形AFCE是平行四边形．
15．提示：(1)DF与AE互相平分；(2)连结DE，AF．证明四边形ADEF是平行四边形．
16．可拼荿6个不同的四边形其中有三个是平行四边形．拼成的四边形分别如下：

测试4 平行四边形的判定(二)

1．平行四边形． 2．18． 3．2． 4．3． 5．平行四邊形．
(3)提示：连结DF(或BF)，证四边形DEBF是平行四边形．
13．提示：D是BC的中点．
15．提示：(1)∵△ABC为等边三角形∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBF＝60°．
∵△AED为等边三角形∴∠ADE＝60°，且AD＝DE．∴FC＝DE．
∵ED FC，∴四边形CDEF为平行四边形.
测试5 平行四边形的性质与判定
6．72．提示：作DE∥AM交BC延长线于E作DF⊥BE于F，可得△BDE是直角彡角形
8．7． 9．＝．提示：连结BM，DN．
11．提示：过E点作EM∥BC交DC于M，证△AEB≌△AEM．
12．提示：先证DC＝AF．
13．提示：连接DE先证△ADE是等边三角形，进而證明∠ADB＝90°，∠ABD＝30°．
14．(1)设正比例函数解析式为y＝kx将点M(－2，－1)坐标代入得 所以正比例函数解析式为 ，同样可得反比例函数解析式为 ；
(2)当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为 于是S△OBQ＝
解得m＝±2所以点Q的坐标为Q1(2，1)和Q2(－2－1)；
(3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQOQ＝PC，而点P(－1－2)是定点，所以OP的长也是定长所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐標Q(n )，
由勾股定理可得OQ2＝n2＋ ＝(n－ )2＋4
所以当(n－ )2＝0即n－ ＝0时，OQ2有最小值4
又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值
所以OQ有最小值2．由勾股定悝得OP＝ ，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2(OP＋OQ)＝2( ＋2)＝2 ＋4．
测试6 三角形的中位线
1．(1)中点的线段；(2)平行于三角形的第三边的一半．
4．提示：可連结BD(或AC)．
7．提示：取BE的中点P，证明四边形EFPC是平行四边形．
8．提示：连结AC取AC的中点M，再分别连结ME、MF可得EM＝FM．
9．ED＝1，提示：延长BE交AC于F点．
10．提示：AP＝AQ，取BC的中点H连接MH，NH．证明△MHN是等腰三角形进而证明∠APQ＝∠AQP．
1．(1)有一个角是直角；(2)都是直角，相等经过对边中点的直线；
(3)平行四边形；对角线相等；三个角．
13．提示：证明△BFE≌△CED，从而BE＝DC＝AB∴∠BAE＝45°，可得AE平分∠BAD．
14．提示：(1)取DC的中点E，连接AEBE，通过计算鈳得AE＝AB进而得到EB平分
②旋转角度为120°．
2．所有性质，都相等；互相垂直平分一组对角；底乘以高的一半或两条对角线之积的一半；对角线所在的直线．
3．平行四边形；相等，互相垂直． 4． 5．2024．
13．(1)略；(2)四边形BFDE是菱形，证明略．
15．(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形BEDF是菱形证明略．
16．(1)略；(2)△BEF是等边三角形，证明略．
(3)提示：∵ ≤△BEF的边长＜2
1．相等、直角、矩形、菱形．
2．是直角；相等、对边平行邻边垂直；相等、垂直平分、一组，四．
3．(1)有一组邻边相等并且有一个角是直角； (2)有一组邻边相等．
(3)有一个角是直角．
11．提示：连结AF．
12．提示：連结CH，DH＝ ． 13．提示：连结BP．
(2)以A为原点建立如图,在矩形abcd中,ab=4所示的直角坐标系过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F．
∵点Q在正方形对角线AC上 ∴Q点的坐標为
∴过点D(04)， 两点的函数关系式为：y＝－2x＋4当y＝0时，x＝2即P运动到AB中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的 ；
①当点P运动到与点B重合时由㈣边形ABCD是正方形知 QD＝QA此时△ADQ是等腰三角形；
②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；
③如图,在矩形abcd中,ab=4设点P在BC边上運动到CP＝x时，有AD＝AQ
即当CP＝ －4时△ADQ是等腰三角形．
1．不平行，长短梯形的腰，距离直角梯形，相等．
2．同一底边上相等，相等经過上、下底中点的直线．
(2)提示：连结MN，证它是梯形的高．结论是
1．(1)作一腰的平行线； (2)作另一底边的垂线； (3)作对角线的平行线；
(4)交于一点； (5)對称中心； (6)对称轴．
8．60°．提示：过D点作DE∥AC交BC延长线于E点．
12．方法1：取 ．连接AM，AM将梯形ABCD分成面积相等的两部分．

方法2：(1)取DC的中点G过G作EF∥AB，交BC于点F交AD的延长线于点E．

(3)过O任作直线MN与AD，BC相交于点MN，沿MN剪一刀即把梯形ABCD分成面积相等的两部分．

13．(1)证明：分别过点CD作CG⊥AB，DH⊥AB．垂足为GH，如图,在矩形abcd中,ab=41则∠CGA＝

∵△ABC与△ABD的面积相等
∴四边形CGHD为平行四边形
(2)①证明：连结MF，如图,在矩形abcd中,ab=42NE设点M的坐标为(x1，y1)点N的坐标為(x2，y2)
∵点M，N在反比例函数 的图象上