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初中数学审核员
分形艺术程序设计
作者：潘金贵
出版：南京大学出版社
出版时间：1998年3月
§1.1 分形起源..........................................................................................................................1
1.1.1 分形现象很常见.....................................................................................................1
1.1.2 "fractal"的由来 ........................................................................................................2
1.1.3 "分形"的由来
..........................................................................................................5
1.1.4 分形与数学的关系.................................................................................................9
1.1.5 分形例子...............................................................................................................10
§1.2 分形纪事........................................................................................................................21
§1.3 分形概念........................................................................................................................31
1.3.1 分形的定义...........................................................................................................31
1.3.2 作为认知方法的分形...........................................................................................35
1.3.3 作为解释工具的分形...........................................................................................37
§1.4 分形维数........................................................................................................................42
1.4.1 从拓扑维到度量维...............................................................................................42
1.4.2 自相似维数度量...................................................................................................47
1.4.3 Hausdoff维数度量.................................................................................................49
1.4.4 盒维数度量...........................................................................................................51
§1.5 分形哲学........................................................................................................................54
1.5.1 自然界中的分形现象...........................................................................................54
1.5.2 分形现象与生成哲学...........................................................................................56
§2.1 艺术的含义....................................................................................................................59
2.1.1 艺术的含义...........................................................................................................59
2.1.2 否定计算机艺术的观点.......................................................................................61
2.1.3 对否定观点的反驳...............................................................................................64
§2.2 分形作为艺术................................................................................................................69
2.2.1 什么叫分形图形艺术...........................................................................................69
2.2.2 分形艺术的特点...................................................................................................73
§2.3 分形艺术在中国............................................................................................................79
§2.4 分形艺术的生成方法....................................................................................................83
2.4.1 分形图形的生成方法...........................................................................................83
2.4.2 分形图形的输出与展示方法...............................................................................85
§2.5 分形艺术的发展前景....................................................................................................86
2.5.1 分形图形的发展前景...........................................................................................86
2.5.2 超大图形与装饰艺术...........................................................................................87
2.5.3 分形艺术与新几何学...........................................................................................89
§3.1 计算机坐标....................................................................................................................93
3.1.1 计算机不只会计算...............................................................................................94
3.1.2 操作系统与文件...................................................................................................95
3.1.3 计算机屏幕坐标.................................................................................................101
§3.2 色彩与图文件格式......................................................................................................103
3.2.1 孟塞尔标色体系及其他.....................................................................................103
3.2.2 色彩与RGB值
....................................................................................................106
3.2.3 CMYK分色片......................................................................................................109
3.2.4 图形文件的格式.................................................................................................110
§3.3 图形初始化..................................................................................................................114
§3.4 函数递归分形图形......................................................................................................121
3.4.1 涡旋曲线...........................................................................................................121
Koch曲线..........................................................................................................122
生成元分形图形.........................................................................................................123
3.5.1 生成元每段线段长度相同...............................................................................123
3.5.2 生成元每段线段长度不相同...........................................................................130
3.5.3 生成元每段线段长度与旋转方向不相同.......................................................137
§3.6 不动点映射分形图形..................................................................................................138
§3.7 图案映像分形图形......................................................................................................144
§4.1 Cantor三分集................................................................................................................149
§4.2 Peano曲线与Hilbert曲线..............................................................................................153
§4.3 Koch曲线......................................................................................................................160
§4.4 Sierpinski地毯 ..............................................................................................................163
§4.5 Durer五边形
.................................................................................................................174
§5.1 树木曲线......................................................................................................................177
§5.2 以线段为构成元素的图形..........................................................................................180
§5.3 以圆为构成元素的图形..............................................................................................184
§5.4 以多边形为构成元素的图形......................................................................................190
§5.5 以星形为构成元素的图形..........................................................................................193
§6.1 林氏系统......................................................................................................................199
§6.2 实例与伪码..................................................................................................................201
§6.3 L系统数据表
................................................................................................................209
§6.4 迭代函数系统..............................................................................................................216
§6.5 扩散置限凝聚模型......................................................................................................232
§7.1 复数运算与点列迭代..................................................................................................237
7.1.1 复数四则运算.....................................................................................................237
7.1.2 复平面上的点列.................................................................................................244
7.1.3 预料不到的变动.................................................................................................247
§7.2 Julia集合 .......................................................................................................................251
§7.3 Mandelbrot集合............................................................................................................263
§7.4 Julia集合解密
...............................................................................................................271
§7.5 高维和高次情形..........................................................................................................279
7.5.1 高维情形.............................................................................................................279
7.5.2 高次情形.............................................................................................................281
7.5.3 广义芒德勃罗集和朱丽亚集.............................................................................282
§7.6 牛顿法求根..................................................................................................................287
§7.7 发散区域的分类..........................................................................................................294
§8.1 一维逻辑斯蒂映射......................................................................................................301
§8.2 里雅普诺夫指数..........................................................................................................307
§8.3 双混沌映射..................................................................................................................309
标准映射.....................................................................................................................318
§8.5 埃农保面积映射..........................................................................................................324
§8.6 国王映射......................................................................................................................327
§8.7 三翅鹰映射..................................................................................................................334
§9.1 如何获得软件..............................................................................................................338
§1.1 分形起源
1.1.1 分形现象很常见
在经典的欧氏几何中，我们可以用直线、圆锥、球等这一类规则的
形状去描述如墙、车轮、道路、建筑物等人造物体，因为这些物体就是
按欧氏几何的规则图形生成的。目前，几何学里所研究的对象，大体上
是“规则”的，但是，自然界中，却存在很多“不规则”的复杂的几何
对象，如山脉、云烟、波浪、树木、闪电，以及星团、短痕、浸润、冲
积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气
系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层……等，它们无法用经典
几何图形来描述，人们发现，没有传统的数学模型可以对它们进行研究，
因为它们不再具有我们所早已熟知的连续、光滑可微这一基本性质了。
这一大类形状奇怪的图形长期以来被认为是“不可名状的”、“病态的”
而很容易被人们忽视了。
分形指具有多重自相似的对象，它可以是自然存在的，也可以是人
造的。花椰菜、树木、山 川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的
分形。根据英国儿歌改编的一首小诗可以说明分形之普遍：
一个分形的人，
穿过分形的森林，
走过分形的一英里，
分形地捡到了一枚分形的六便士。
买了一只分形的猫，
抓了一只分形的老鼠。
分形的人，
分形的猫，
分形的老鼠，
都挤在分形的小屋里。
分形人分形的大脑皮层里，
构思着分形猫分形地吞下分形老鼠，
分形老鼠被分形猫分形的小肠壁分形地吸收着……
如果您从未听说过“分形”，一时又很难搞清楚分形是什么，有一
个简单迅捷的办法：去市场买一个新鲜的菜花(花椰菜)，掰下一枝，切
开，仔细观察，思考其组织结构。这就是分形! 好了，分形概念虽然极
有价值，但它并不神秘，人人都能明白它的基本含义。
1.1.2 "fractal"的由来
著名理论物理学家约翰·惠勒(J.Wheeler)说过，在过去，一个人如
果不懂得“熵”是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；在将来，
一个人如果不能同样熟悉分形，他就不能被 认为是科学上的文化人。
分形不但抓住了浑沌与噪声的实质，而且抓住了范围更广的一系列自
然形式的本质，这些形式的几何在过去相当长的时间里是没办法描述
的，或者被高贵的科学认为是不屑于研究的， 它们包括:海岸线、树枝、
山脉、星系分布、云朵、聚合物、天气模式、大脑皮层褶皱、肺部支气
管分支以及血液微循环管道等等。
分形在自然界中太普遍了，用分形语言去描绘大自然丰富多彩的面
貌，应当是最方便、最适宜的。
有人会说了，不知道“宇称”、“对称破缺”、“耗散结构”等，算
不上科学上的文化人， 但不知道
fractal 又有什么关系呢? fractal
是干什么的，怎么我们从词典上找不到这个词?
80 年代中期以前的辞书、词典，基本上没有收
fractal 这个词(1991
年版《形而上学与本体论手册》已收入“浑沌”、“分形”条目)。实
际上分形一词“Fractal”是
1975 年由 Mandelbrot(B.B.Mandelbrot,
1924-,)首先拼造的新词，它来自拉丁语的形容词“Fractus”(frangere
的形容词形式)，含有碎片，不规则的含义，又有分数分级的意思。
Mandelbrot 1924 年生于波兰华沙，后移居法国和美国，现为
数学教授。因为对分形几何理论的贡献他荣获了
Barnad 奖和
1986 年的 Franklin 奖，历史上爱因斯坦(A.Einstein,)、 费
米(E.Fermi,)、卢瑟福(L.Rutherford,)等人获得
过此殊荣。
Mandelbrot 很早就开始对传统数学理论无法解释和研究的一些自然
现象产生了兴趣并加以研究，从
50 年代起，他孤身一人，整日思索着
一种新的几何学 。他试图通过这种几何学统一描述自然界、人类社会
中普遍存在的各种不规则现象，如流体 湍动、曲折的海岸线、多变的
天气、动荡的股市、经济收入分配关系、棉花的价格波动等等 。严格
说，那时候他自己也不明确自己在找什么，甚至不知道要找的是一种新
的几何学。后来他把他的研究成果汇集成书出版，由于他所研究的几何
对象往往具有非整数的
Hausdoff-Besicovitch 维数，因而他把书取名
为“Fractal Geometry”，中文译为“分形几何”。1982 年他又出版了
一本更为系统的经典著作“大自然的分形几何学”(The fractal
geometry of nature)。
对于为什么取“Fractal”,有这么一个故事。
1975 年的一天，
Mandelbrot 翻看儿子的拉丁语课本，突然受到启发，决定根据
创造一个新词，于是有了
fractal 这个英文词。后来法文词、德文词也
都这样写；名词和形容词也都一样。同年他用法文出版了专著《分形对
象:形、机遇与维数》(Les objets fractals: forme, hasard et
dimension)，1977 年出版了此书的英译本《分形：形、 机遇与维数》。
1982 年又出版了此书的增补本，改名为《大自然的分形几何学》。
还有一个有趣的故事是，70 年代末Mandelbrot的《分形：形、机遇
和维数》(Fractals: Form,Chance,and Dimension)英文版在北京中关
村一带的地摊上便可见到数十部，当时 北京大学力学系黄永念(1939- )
教授和 朱照宣(1930- )教授每人买了一部，据说只花了几元钱。十多
年后，当分形理论被科学界认同、热起来时，在世界上再去寻找这部原
版名著，则几乎不可能了。当时，国际、国内科学界基本上不知道分形
是怎么回事。
过了不久，分形如雨后春笋，在科学界流行起来，两位先生庆幸无
意间(也许是上苍的有意安排)买到了一部世界名著。后来的事情大家都
知道了，黄先生 和朱先生都是非线性科学领域的专家，与 北京大学其
1986 年创立了北 京大学非线性科学中心，为推动我国浑沌/
分形研究作出了重要贡献。
现在，对分形的研究已远远超出了几何学的范围，自然界有许多现象
与分形有关，如海岸线，河流网络等，它出现在许多物理，化学，生物
以及诸多动力系统，甚至社会经济的理论和实际课题中。分形几何在揭
示客观世界的许多复杂结构方面是一个有力的工具。著名科学家
A。Wheeler 说:“谁不熟悉分形，谁就不算是科学家”。当然，他说这话
也许有些过分，但我们应该重视分形理论是没错的。
1.1.3 "分形"的由来
Mandelbrot 有着不平凡的人生经历，他
1924 年 11 月生于波兰华沙，
1936 年搬到法国巴黎，1958
年去美国，1974
IBM 的一位研究
人员至今。1985
年获巴纳奖章,1986
年获富兰克林奖章 (Franklin
Medal)。现在他是美国艺术与科学学院(American Academy of Arts and
Sciences)院士、美国国家科学院(U.S.National Academy of Sciences)院士,
现任职于耶鲁大学。
Mandelbrot 所受的教育不很规则，他甚至声称背字母表都有困难，但
他善于以图形化的方式思
维。据他本人讲，当初参加法国著名的高等
工业学院(Ecole Polytechnique)关键性的入学
考试时，他不能很好地对
付代数题，但是他却成功地在头脑中通过把代数问题转化为图形而取得
高分。他不但对几何形状感兴趣，而且特别关注“不规则”的形状。
接受大学教育以后，Mandelbrot 的生涯变得与他所感兴趣的形状一样
无规则。他在加州理工大学研究航空学，受到普林斯顿高等研究院的杰
出数学家约翰·冯·诺伊曼(J.von Neumann,)的支持，并在
一系列领域做着研究工作。“我时不时被某种突如其来的力量所驱使，
恰好在撰写研究论文的当中放下这个领域的研究。我兴冲冲奔向另一个
感兴趣的新课题，而我以前对此领域什么也不知道。我按本能行事，却
说不大清楚为什么，直到很久很久以后。”
在 1982 年出版的《大自然的分形几何学》一书的开头，作者写到：
“我的第一篇科学论文发表于
1951 年 4 月 30 日。多年来，许多人觉得
我的每项研究所取的方向都不相同。但这种表面上的无序性只是一种错
觉，在其背后有明确的统一目标，本书及以前的两个版本正是试图阐明
这个目标。聚沙成塔，我的大多数工作成了一门新学科的产前阵痛。”
1958 年芒德勃罗已是一名专业研究人员，1974
IBM 很有威望的
纽约约克郡高地托马斯·
沃森(Thomas J.Watson)研究中心任职。在那
里，一种新的几何学在他的头脑中萌生了，它不同于以前所知道的任何
几何学。(按陈省身(Chern Shing-Shen,1911- )的观点，历史上几
分为六个时期：1)公理(欧几里德)；2)坐标(笛卡尔，费马)；3)微积分(牛
尼兹)；4)群(克莱因，李)；5)流形(黎曼)；6)纤维丛(嘉当，惠
特尼)。当然，这也只是一
种说法。)芒德勃罗创立了“分形”理论。
在这个思想萌发的初期，他就用分形来刻画股票价格，竟产生了足以
愚弄这一行当专家的数学赝品。他的分形显示，大的涨、跌期模仿着每
月、每天的价格波动，于是整个市场从它的最大尺度到最小尺度是自相
Mandelbrot 转向数据传输中的噪声问题，用他的新几何学创造了一个
可操作的模型。他不使用天文学数据，竟通过数学用图形显示了天体物
理学家刚刚证实的宇宙星系分布。“我很清楚，自相似决不是一种平淡
无奇的、无意义的性质，它是生成图形的一种非常有力的方法。” 芒
德勃罗说的“自相似”指细节在递降尺度上能够复现。
据《湍鉴》(Turbulent Mirror)一书介绍，尽管芒德勃罗
形倾注了传教士般诲人不倦的热情，但这时候分形概念还是不能惹人注
意。物理学
过去总是设法把自然界许多精致性质堆放在泛泛的“浑沌”
与“无序”标题之下，与此类似
，自然界的许多精致形式及其丰富细
节过去也被常规几何学所忽略了。
80 年代中期，各个数理学科几乎同时认识到了分形概念的价
值，人们惊奇地发现，哪里有浑沌、湍动和混乱，分形几何学就在哪里
登场。新学科的创立充满艰辛,但也充满乐趣，
有词为证：
迭代风流，奇点依旧。
海岸弯弯几何?
芒氏分形秀。
罗素邂逅孤子,
劳苦何所求?
反馈分岔浑沌路，人云小费谬!谬!
科海逐浪异宿，莫随当年老
(应稍作说明的是，“小费”指费根鲍姆(后文要专讲他的工作)，“罗素”
(J.S.Russell)是指发现孤波的那位造船工程师，而不是那位有名的哲学家
罗素(B.A.W. Russell,
) ，“迭代”、“奇点”、“孤子”、
“分岔”、“异宿”等都是专有科学名词。)
70 年代末fractal传到中国，一时难以定译。一日，中国科学院物理所
李荫远(1919- )院士说，fractal应当译成“分形”，郝柏林(1934- )、张恭
庆(1936- )、黄(田+匀)(女，1935- )、赵凯华(1930-)、朱照宣等科学家表
示赞同，于是在中国大陆fractal逐渐定译为“分形
”，如今台湾还译“碎
形”，显然不如“分形”好。
分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多
种层次结构。“分形”之译的确抓住了fractal的本质--科学本质、哲学本
质和艺术本质。中国传统文化中关于“分”
与“形”有丰富的论述，
想必李荫远院士极为熟悉。李院士是物理学名词审定委员会三名顾问之
一，另两位是钱临照()和马大猷(1915- )。
宋明理学关于“理”(“理念”、“一”或者“太极”)与“万物”、整
体与部分、一般与具体的关系的思想吸收了佛家观念，特别是华严宗和
禅宗的观念，篇首引文就是一例。此外佛家还有“月印万川”的形象说
哲学史上更有“理一分殊”
的著名命题，对其解释有若干种，宋代的
朱熹()是从唯心的方面说，明代罗钦顺()则是从唯物
的方面说，都很深刻。罗氏特别指出：
“盖一物之生，受气之初，其
理惟一；成形之后，其分则殊。其分之殊，莫非自然之理，其理之一，
常在分殊之中，此所以为性命之妙也。”我们不得不佩服古人的智慧，
罗氏已将哲学道理讲得非常透彻了。
回头再看，李荫远的译名实在于平凡处见功力，如李善兰()
译“微分” (differentiation)、“积分”(integration)，王竹溪()
译“湍流”(turbulence )、 “逾渗”(percolation)和“输运”(transportation)。
1.1.4 分形与数学的关系
我们在学微积分时，老师常会提到Weierstrass的处处连续而处处
不可导的例子以及Peano曲线，Koch曲线等在经典数学范畴让数学家们
无从下手，因而把它们作为“怪物”“反例”的事情，其实，这些图形
正是分形！所以，分形图形很早就有描述，只是数学家们还没有认识到
其巨大的应用背景而加以注意和研究。Mandelbrot在他的文章
“Fractals and the rebirth of iteration theory”中特别评论到早
年数学家们的这些工作：“值得赞扬的是由于他们发明了如此的结构，
使我能最后把它们串连在一起，从而找到其宝贵的价值。应该受到指责
的是由于他们没能在这些结构之间看到并开发出一种密切的内在联系。
他们对待每一个结构，就象是对待一个畸形怪胎或不受欢迎的反例，这
就从根本上忽视和疏漏了它们真实和深刻的内涵。”
在近代科学中，分形常和分歧（Bifurcation）、孤粒子(Soliton)、
混沌（Chaos）相提并论，因为物理学家特别关注这些现象常常交织在
一起。分形混沌现象常常产生一幅幅变化莫测奇境般的图象，令理论科
学家叹为观止。可以说，计算机对图形的作用，绝不亚于显微镜对生物
和医学的作用。就连科学家一般不轻易涉足的艺术领域，分形也大有用
武之地，因为在计算机上产生的山脉，彩云，花草，树木等画面，已达
到了以假乱真的地步。近年来，计算机动画等在电影特技上的表现常常
让人们拍案叫绝，计算机动画中就常有分形的应用。
称之为分形的结构一般都有内在的几何规律性，即比例自相似性，
并不是杂乱无章的，就象混沌一样，在无序中含有有序的结构。大多数
分形在一定的标度范围内是不变的，在这个范围内，不断地显现放
大任何部分，其不规则程度都是一样的，这个性质称
为比例性。按照统计的观点，几乎所有的分形又是置换不变的，即
它的每一部分移位、旋转、缩放等在统计的意义下与其它任意部分相似
。这两个性质表明分形决不是完全的混乱，在它的不规则性中存在着一
定的规则性。它同时暗示着自然界中一切形状及现象都能以较小或部分
的细节反映出整体的不规则性。
1.1.5 分形例子
“分形”这个词是
Mandelbrot 首先创造的，自然界许多物体，如树、
海岸线、云等，现在看来都具有分形的性质。可是在历史上，早就有艺
术家和数学家创造出来过一些抽象的分形形式的物体，只是他们还没有
意识到这里面包含的更深层次的理论。在
Mandelbrot 的书中就提到过
一些历史上的分形例子，如荷兰艺术家
Maurits Escher()在
其拼贴画中使用过一种技术：把身体的拷贝作为身体的一部分。这些图
Heri Poincaré的关于动力系统的一些开拓性工作给了
Mandelbrot
极大的启发。更早时候，Albert Dürer()就基于一个正五边形
生成了一个分形体：对一个正五边形的每条边，向外生成另外五个正五
边形，构成了一个大五边形的轮廓。我们可以发现，两个小五边形之间
的等腰三角形的底边和腰长度之比为
AC:BC=2cos72"=0.618，正是黄金
分割点。小大五边形边长之比为
s:S=1:(2+2cos72")，只要 S 知道了，就
s。产生分形体的做法是：给出一个边长为
S 的大正五边形，
在里面放进五个边长为
s 的小的正五边形，再在每个五边形里面各放进
五个更小的边长比为
S:s 的正五边形，重复该过程以至无穷，就得到一
个分形体，它具有无限精细的结构。
Dürer 五边形与分形
下面我们来看几个经典的分形例子。
(A) Cantor 三分集
19 世纪末，数学集合论发展起来了，数学家们创造出了一些及其怪
诞的集合，其中一个最为著名的就是
Cantor 三分集，它是著名集合论
Georg Cantor()在对 Fourier 级数的收敛性研究中构
造出来的。Cantor 三分集的构造非常简单：从闭区间[0,1]的实线段开
始，去掉中间三分之一长度的部分(1/3,2/3)，留下了闭区间[0,1/3]、
[2/3,1]，对每个闭区间重复上述过程以至无穷，其留下的点就是典型
的 Cantor 三分集:
Cantor 三分集除了比例自相似外，还有一些很有趣的性质。(1)
Cantor 三分集的长度：第一次截去
1/3，第二次截去剩下的
的 1/3…，截去的总长度为一个简单几何级数之和
{1+2/3+(2/3)2+(2/3)3+…}/3=(1/3)/(1-2/3)=1。这意谓着剩下的点尽管有
无穷多，但仅仅“拥挤”在一个长度为
0 的空间，但显然这些点是不连
通的，任意两个点之间都有未被填充的空间，就象“灰尘”一样。(2)
果我们对留下的点进行编码，设[0,1]区间被分为三部分，分别以
表示，每次以
2 表示截去的部分，0
表示留下的左边部分，1
的右边部分，则对
Cantor 三分集上的每个点都可以用
0 和 1 两个数编码
表示，如图
1.1.2 中 A 点可表示为
0.。这样一个二值数，正如
计算机里二进制的表示法，可以表示[0,1]中的所有的数，即它能够“充
满”整个区间，可见它包含无穷的点，总长度为
0，但却一一对应区间
中所有的实数。
（B）海岸线模型：
到过海边的人都见过海岸线，我们也常常见到介绍某国的文字中有
“某某国有海岸线多长多长”的字样，那么，这个数字准确吗？它是怎
么算出来的？Mandelbrot于
1967 年在《科学》（Science）杂志第
期上发表了一篇富有启发性的文章，题目就叫“英国的海岸线有多长？”
（How long is the coast of Britain？）。文章中说，海岸线这种曲
线的度量是无法得到一个确定的答案的，测定的长度依赖于所采用的测
量的尺度。如果测量单位较大，就如同远距离观察的效果，较小的海湾
是不可能看到的，所以在测量中无法得到反映。当你接近海岸线时，相
当于以较小的度量单位作出测量，一些较小的海湾就变得清晰了。如果
再缩小尺度，那么海湾的细节也可以观测到，尺度足够小时，海岸线的
更精细的凹凸波动都可以清晰地显现出来，因此，Mandelbrot断言，海
岸线的长度是不确定的。
海岸线的这种特性正是分形所具有的，也是促使
Mandelbrot 去研究
分形现象的重要原因。我们稍加分析就会发现这种现象与我们熟知的经
典几何图形如直线，圆周等完全不一样。为了更好地说明这一点，我们
先引进维数的概念，具体讨论我们在后面会涉及到。我们都知道，线度
放大到原来的
2 倍，线段的长度也扩大到原来的
2 倍，而平面图形的面
积扩大到原来的 4＝2x2 倍，空间物体的体积扩大到原来的 8＝2x2x2 倍，
即对经典的几何对象，度量单位
? 与测量结果
L 之间的关系依赖于某个
D：线度放大
k 倍，整个对象就放大到原来的
p=k^D 倍，这个
是我们常说的空间维数(点是
0 维的，线是
1 维的，面是
2 维的，体积
是 3 维的)。我们把上面关系改写一下：D＝lnp/lnk，这时，D 已经不必
规定为整数了。
在度量海岸线长度时，测量结果L与度量单位r之间的依赖关系中，
就要考虑常数D的影响，经过数学分析，L(r)正比于r(1-D),当L(r)=r·N(r)
时,N(r)正比于r(-D)。在数学上，对于m维空间点集X，记N(r)是覆盖X所需
的半径为r的m维球的个数，则当-r>0 时，如果N(r)的增长规律服从N(r)
，就称点集X的Hausdoff维数为D。
我们这儿要指出的是，关于维数的定义可以有多种方式，上面定义
只是其中最为简单的一种。一般来说，对分形维数的计算是很复杂的，
应用不同的定义算出的维数并不相同，所以对分形维数的近似计算方法
的研究也有很多的讨论。一般来说，规则几何对象的维数总是整数的，
而分形图形的维数一般不是整数，所以，Mandelbrot 在一开始给分形下
定义时就简单地说：“所谓分形，指的就是其
Hausdoff 维数不是整数的
几何对象。”尽管这个定义后来证明过于简单和武断，但确实是一个识
别分形的好方法。
应用海岸线模型，人们做了很多实验，发现了许多类似于海岸线的
分形现象。例如，语音波形是相当复杂的，如果将实验记录下来的语音
波形的振幅与时间的关系转换成向径与幅角，则在极坐标下，语音波形
变成了海岸线模型。经过计算发现不同动物的不同状态对应于相应稳定
的分形维数：海豚
1.90, 猫 1.74, 生气的猫
1.78, 人的耳语
Pickover CA & Khorasani AL. Fractal characterization of speech
waveform graphs. Computer & Graphics. 10(1986), No.1).
类似地，云彩边界、流体的遄流和山地的轮廓等图形也是分形。
(C）Koch 曲线
1904 年，德国数学家
Helge von Koch()研究了一个处处
连续而处处不可导的曲线例子，后人一般称为
Koch 曲线(Koch 雪花)，
并吸引了一批著名数学家如
Giuseppe Peano()、David
Hilbert()致力于构造和研究类似的分形曲线：第一步，取边
1 的正三角形，将每边三等分，以各边的中段为边，向外作小的正
三角形，并去掉原来的中段，得到一个星形十二边形；第二步，继续将
此十二边形的每条边三等分，以各边中段为边向外作更小的正三角形并
去掉原来的各个中段，生成一个
48 边形；如此继续下去以至无穷，得
到的极限曲线是连续的但在任何地方都没有确定的切线，如图所示。
从上面叙述的曲线生成过程可以知道，从任何一步到下一步，曲线
(准确地说是折线段)的周长就增长到原来的
4/3 倍，所以，曲线系列的
周长趋于无穷大。我们仍然套用前面的维数定义，记正三角形边长长度
为 r 时曲线的长度
L(r)，则有递推公式
L(r/3)=4L(r)/3，这时我们可以
找到形如的
L(r)=r(-D)解，只要 D 满足 3(D-1)=4/3，所以有 Koch 曲线的
Hausdoff 维数为
D=ln4/ln3=1.2618…
为了更好地说明问题，我们只考虑正三角形的每条边的变化过程(其
余两边完全一样)，每条边对应一段线段，称为
Koch 多边形的边，将线
段三等分，以中间一段为边作正三角形并去掉中间这段，对应的多边形
图形一般称为“生成元”(或称为“发生器”)，以代替前一步
边形的各条边。我们很容易发现，生成元的选取是有很大的灵活性的，
Koch 曲线也很不相同，对应的分形维数也不一样。生成元的波
动越大，对应的
Koch 曲线越复杂，其分形维数也可以很接近于
2 的，下图是其中的一些例子。
Koch 曲线的一些推广
（D）Peano 曲线
1890 年，数学家
Peano 设计了一个
Hausdoff 维数为
2 的曲线例子，
后人称之为
Peano 曲线。在数学史上，Peano 曲线曾引起极大的关注。
我们都知道，经典曲线是
1 维的，相对于平面，曲线的空隙是很大的，
你见过几乎充满平面的曲线吗？在曲线理论建立以前，人们对“什么是
曲线”认识不尽相同，Peano 曲线的提出是为了作为曲线的一个特例而
构造的，在分形理论出现以后，人们就很容易发现它是一个典型的分形
Peano 曲线构造时取初始图形为单位正方形，对正方形的每条边，
取生成元为下图(1)，生成的图形象蜂窝，如下图(4), 容易验证其分形
Peano 曲线
此外还有 Julia 集及平面
Brown 运动轨迹等.
Mandelbrot的学术简历
Mandelbrot评传
芒德勃罗与北京大学非线性科学中心主任赵凯华教 授[刘华杰摄]
分形理论是一门交叉性的横断学科，从振动力学到流体力学、天文
学和计算机图形学，从分 子生物学到生理学、生物形态学，从材料科
学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、 社会学等等，无不闪
现着分形的身影。分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响，从分
形的观点看世界，我们发现，这个世界是以分形的方式存在和演化着的
Mandelbrot 的一段话，也许可以使您很快进入状态：
为什么几何学常常被说成是“冷酷无情”和“枯燥乏味”的?原
因之一在于它无力描写云彩 、山岭、海岸线或树木的形状。云彩
不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不 光滑，闪
电更不是沿着直线传播的。
更为一般地，我要指出，自然界的许多图样是如此地不规则和支
离破碎，以致与欧几里得( 几何)——本书中用这个术语来称呼所
有标准的几何学——相比，自然界不只具有较高程度的复杂性，
而且拥有完全不同层次上的复杂度。自然界图样的长度，在不同
标度下的数目,在所有实际情况下都是无限的。
这些图样的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁置在一边，
被认为是“无形状可言的 ”形状，去研究“无定形”的形态学。
然而数学家蔑视这种挑战，他们想出种种与我们看得见或感觉到
的任何东西都无关的理论，却回避从大自然提出的问题。
作为对这个挑战的回答，我构思和发展了大自然的一种新的几何
学，并在许多不同领域中找 到了用途。它描述了我们周围的许多
不规则和支离破碎的形状，并通过鉴别出一族我称为分形的形状，
创立了相当成熟的理论。 (陈守吉等译《大自然的分形几何学》,
上海远东出版社出版)
分形理论有很强的解释能力，能说明大自然的许多形态发生和自组织过
程，分形自相似原理和分形迭代生成原理对于人们更好地认识世界起到
了推动作用。分形图形生成技术也对传统艺术造成了不小的冲击。但不
能把一种科学理论任意夸大、玄学化。分形理论与所有其他科 学理论
一样，决不是万能的。分形理论已走过轰轰烈烈的革命式发展时期，已
进入平稳发展 过程。注意到其限度，不断创新，由分形引出的新科学
才有生命力。
§1.2 分形纪事
文艺复兴时期著名艺术家、科学家丢勒(Albert Durer，)
基于正五边形向外无穷 复制，生成了一个分形体。
1827 年英国植物学家布朗(R.Brown,)用显微镜发现微细颗
粒在液体中作无规行走 ，此现象被称为布朗运动。后来科学家对布朗
运动进行了多方面的研究，维纳(N.Wiener， )等人在此基础
上创立随机过程理论。进入
80 年代，人们以分形的眼光看待布朗运动，
并与“列维飞行”(Levy flight)相联系，找到了确定论与随机论的内
学过微积分的人都知道，函数的可微(即可求导数)性与连续性有内在
联系。两者的关系是可微的函数必定连续，但连续的函数未必可微。一
个简单的例子就是函数
x=0 处连续，但不可微。这个函数只
有这么一个特别的点，除此以外其他点都可微。有的函数在有限个点处
是不可微的，也有更特别的函数，它们几乎处处不可微。
1860 年，瑞士一个名气不算大的数学家塞莱里埃
(C.Cellerer,)在课堂上向皮克太特(R.Pictet)等学生讲解：
“连续函数必定可微”的流行观念是错误的，并给出了一个类似维尔斯
特拉斯(K.T.W.Weierstrass,)函数的反例。黎曼
(G.F.B.Riemann, )的学生曼海姆(J.H.Manheim)等人回忆
说，大约在
1861 年，黎曼在讲座中提到了类似的例子，但未发表。
不过，1970 年有人证明，塞莱里埃函数和黎曼函数不同于维尔斯特
拉斯函数，它们不是处处不可微的，在某些点上它们是有导数的。
1872 年 7 月 18 日，维尔斯特拉斯向柏林科学院报告了分析学中的一
个反例--一个处处连续、但处处不可微的三角函数级数，即著名的维尔
斯特拉斯函数。不过此函数直到
1875 年才由杜布瓦-雷蒙(E.du
Bois-Reymond)正式发表出来。
据考察，在维尔斯特拉斯之前，已有不少数学家知道存在所谓的“维
尔斯特拉斯函数”，但都耻于发表它!因为它破坏了分析学的完美性。
1834 年波尔查诺(B.Bolzano，)构造过类似的函数，
但他可能并不知道它有那样“可怕的”性质。
1883 年，康托尔(G.F.P.Cantor,)构造了三分集，也叫康托
尔非连续统(Cantor di scontinuum)。它与实直线是相对立的，当时人
们觉得它几乎是病态的。如今它已成为分形几何学的最典型、最简单的
1890 年，皮亚诺(G.Peano,)提出充满空间的曲线——皮亚
1891 年，希尔伯特(D.Hilbert,)在《数学年刊》
(Mathematische Annalin )上发表短文，提出了能充满平面区域的著名
的希尔伯特曲线。
1904 年，瑞典数学家柯赫(H.von Koch,)构造出柯赫雪花曲
年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski,)构
造了谢氏曲线、海绵、墓垛。谢氏地毯是平面万有曲线(plane universal
curve),谢氏海绵是空间万有曲线。奥地利数学家门格尔(K.Menger)证
明，任何曲线都可嵌入谢尔宾斯基地毯中。
1918 年，康托尔去世。
1919 年，豪斯道夫(F.Hausdorff,)给出维数的新定义，为
维数的非整化提供了理论基础。
年左右，法国数学家朱丽亚(G.Julia,)、法图
(P.J.L.Fatou,
)研究复迭代。朱丽亚于
1918 年(当时他
岁)在《纯粹数学与应用数学杂志》上发表了长达
199 页的杰作，一举
1924 年 11 月 20 日 Mandelbrot 生于波兰。
1925 年柏林大学的克莱默(H.Cremer)组织讨论班学习朱丽亚的工作，
并首次手工绘制了朱丽亚集的图象。
1926 年，洛特卡(A.J.Lotka,)提出洛氏定律。里查逊就
“风”是否具有一定的速度发表议论。
1932 年，庞特里亚金(L.S.Pontryagin,1908- )给出盒维数的定义。
1934 年，贝塞克维奇(A.S.Besicovich,)给出维数新定义。
1936 年 Mandelbrot 全家迁到巴黎。大约在
1945 年，他的叔叔芒德勃
罗伊(S.Mandelbrojt,)向他介绍了朱丽亚的工作，但当时他
并不喜欢朱丽亚那一套。可是大约在
1977 年，芒德勃罗自觉地回到了
朱丽亚的论文里汲取营养。
40 年代末齐夫(G.K.Zipf，)总结出不同语言中词频分布的
幂律关系。
1952 年，芒德勃罗获博士学位。
1954 年，波兰数学家斯坦因豪斯(H.Steinhaus,)讨论“长
度”悖论，引起芒德勃罗注意，芒氏在
1967 年的“海岸线”文章中引
用过此文。
，1965 年芒德勃罗开始研究棉花价格，帕累托
(V.Pareto,)收入分布。
1967 年，芒德勃罗在《IEEE 信息理论学报》上发表论文《具有
谱的某些噪声，直流与白噪声之间的一座桥梁》。
1967 年芒德勃罗在《科学》上发表题为《英国海岸线有多长?统计自
相似性与分数维数》的著名论文。
1968 年美国生物学家林德梅叶(A.Lindenmayer,)提出研究
植物形态与生长的“L系统”方法。1990 年普鲁辛凯维奇
(P.Prusinkiewicz)与林氏出版《植物的算法美》(The Algorithmic
Beauty of Plants)一书。史密斯(A.R.Smith)等人
入计算机图形学，L 系统从此广为人知。现在，L 系统是生成分形图形
的最典型方法之一。
1975 年，芒德勃罗创造分形(fractal)一词，以法文出版专著《分形
对象》；沃斯(R.F.Voss ,1948- )用分形的思想研究音乐中的
问题。沃斯在计算机上制作出“分形山脉”(被芒氏引作
1977 年专著的
1977 年，芒德勃罗出版英文版专著《分形：形、机遇与维数》，它是
1975 年法文版《分形对象》的增补本。
1977 年 9 月在英国塞尔福特(Salford)举行颗粒粒度分析会议，分形
思想引入粒度分析。
1981 年，美国洛斯阿拉莫斯(Los Alamos)国立实验室成立非线性研究
中心(CNLS)，以后世界 各国相继成立许多非线性科学中心。
1981 年维腾(T.A.Witten)和桑德(L.M.Sander)提出著名的 DLA 分形生
1982 年，芒德勃罗出版《分形：形、机遇与维数》一书的增补版，改
名《大自然的分形几何学》。
80 年代初，弗尔聂(A.Fournier)、富塞尔(D.Fussell)、卡本特
(L.Carpenter)将分形图形推 向好莱坞影视业，主要影片有《星际旅行
之二：可罕之怒》(Star Trek Ⅱ：The Wrath of Khan)、《最后的星
球斗士》(The Last Starfighter)。
1982 年，道阿弟(A.Douady)和哈伯德(J.H.Hubbard)等证明芒德勃罗
集是单连通的。
1983 年格拉斯伯格（P.Grassberger)和普洛克西娅(I.Procaccia,
http://chemphys.weizmann.ac.il/~cfprocac/ home.html）提出了从
实验数据序列求分维的算法，现在通称为G-P算法。
1984 年《数学信使》(The Mathematical Intelligencer)杂志和德国
的《GEO》杂志 刊登布来梅大学动力系统研究小组的分形艺术图片。
1985 年，芒德勃罗荣获巴纳杰出科学贡献奖章(Barnard Medal for
Meritorious Service t o Science)。1985 年 5 月，芒氏受邀请去布来
梅大学为分形艺术图形展览揭幕。
1985 年法尔柯内(K.J.Falconer)的专著《分形集的几何学》(The
Geometry of Fractal Sets)出版。
1985 年昂伯格（D.K.Umberger）和法默（J.D.Farmer）提出胖分形(fat
fractal)概念。胖分形是指具有分形边界且勒贝格
(H.L.Lebesgue,)测度不为零的集合。胖分形的勒贝格测度为
非零有限值，维数为整数而且与所在的欧氏空间维数相等。分维已经不
是描述胖分形的敏感参数，需要引入胖分形指数来刻画它。
80 年代中期美国洛斯阿拉莫斯非线性科学中心将非线性科学要研究
的问题归纳为三个方面： 1)孤子和拟序结构；2)混沌和分形；3)斑图
(patterns)的形成。
1986 年，芒德勃罗荣获富兰克林奖章。
1986 年北京大学成立非线性科学中心，挂靠在力学系。
1986 年培特根(H.-O.Peitgen,1945- )和里希特(P.H.Richter)出版
《分形之美：复动力系 统图象》画册，书中包括
88 幅全彩色分形图形，
分形图形艺术正式诞生，此书
1987 年荣获“ 杰出技术交流
奖”(Distinguished Technical Communication Prize)。
1986 年迪万内(R.L.Devaney,1948- )的专著《混沌动力系统导论》
(Introduction to Ch aotic Dynamical System)出版，该书以很大篇
幅讲述与分形有关的复解析动力学。
年，巴恩斯利(M.F.Barnsley,1946- )等人研究迭代函数系
统(IFS)，试图解决图 形生成的逆问题--对已知图象找分形压缩算法，
创建分形图形公司，分形技术开始推向市场，1988 年出版专著《处处得
分形》(Fractal Everywhere)。
1987 年芒德勃罗荣获亚历山大·洪堡奖(Alexander von Humboldt
1988 年荣获斯坦因迈兹奖章(Steinmetz Medal)。
1988 年费德(J.Feder)著《分形》一书出版。
1988 年，纽约时报记者格莱克(J.Gleick,1954- ,
http://www.around.com)著畅销书《混沌：开创新科学》(Chaos:Making
a New Science)出版，该书先后被译成近
20 种文字，书中收有多幅彩
色分形图片。
1989 年芒德勃罗荣获哈维(Harvey)奖。
1989 年 7 月在成都四川大学召开“第一届全国分形理论及应用学术讨
论会”。1991 年
11 月在 武汉华中理工大学召开第二届会议。1993 年
10 月在合肥中国科技大学召开第三届会议。
1990 年英国成立了一家利用混沌/分形理论生产并出售计算机艺术品
的商店“Strange Attra ctions”。
1990 年李后强(1962- )、程光钺著《分形与分维》由四川教育出版社
1991 年英国创办国际学术性刊物《混沌、孤子和分形》(Chaos,Soliton
and Fractals )。
1991 年芒德勃罗荣获内华达奖章(Nevada Medal)。
1991 年底中国国家攀登计划“非线性科学”项目(“八五”期间
1995 年 五年总资助金额
498 万，首席科学家为谷
超豪(1926- )教授，挂靠单位为北京大学非线性科学中心。“八五”期
间在该项目资助下共发表论文
1111 篇，被《科学引文索引》(SCI)收录
1992 年崔锦泰(C.K.Chui)著《小波导论》(An Introduction to
Wavelets)在美国出版。小波(wavelet)分析与分形联系日益紧密。
1993 年新加坡创办国际学术性刊物《分形》(Fractals)。
1993 年李后强、汪富泉(1955-)著《分形理论及其在分子科学中的应
用》由科学出版社出版 。
1993 年李后强等主编《分形理论的哲学发轫》由四川大学出版社出版。
1993 年芒德勃罗荣获沃尔夫物理学奖(Wolf Prize in Physics)。
1994 年 11 月 17 日芒德勃罗荣获本田奖(Honda Prize)。
1995 年美国佐治亚理工学院著名学者、“混沌传教士”福特(Joseph
Ford)不幸去世。
年中国科协“青年科学家论坛”两次举行非线性科学研讨
1995 年王东生、曹磊著《混沌、分形及其应用》由中国科学技术大学
出版社出版。
1996 年北京大学非线性科学中心创办英文杂志《非线性科学与数值模
拟通讯》(Communic ations in Nonlinear Science & Numerical
Simulation)，在
Internet 上发行，由陈耀松(1928- )任主编。此杂志
现已被美国《工程索引》(EI)检索。
1996 年 4 月中央工艺美术学院、北京市科协等主办“　96 北京国际
计算机艺术展”，在入选的
300 余幅作品中有近
20 幅作品直接采用了
分形方法。
1996 年 8 月 FRACTINT 19.5 在 Internet 上发行。
目前，混沌、分形、小波、时空离散系统、斑图、自组织系统仍然是非
线性科学研究的重点 ,而分形与所有其他方面都有联系。
§1.3 分形概念
1.3.1 分形的定义
在欧氏几何中，有一些我们所熟悉的基本元素，如点、直线、圆等。
在某种意义上，只有当它们结合起来构成了复杂物体后才具有实际的意
义。但在分形中，它们的最基本元素却无法直接观察到，应该说分形首
先是一种几何语言，它是由算法和数学程序集而不是由什么原始形态来
描述的，这些算法借助于计算机而被转换成一些几何形态。一旦人们掌
握了分形语言，那么就能象一位建筑师采用根据传统几何语言所制作的
蓝图来描绘一栋房屋那样，准确而简洁地描绘出一朵云彩的形状。在讨
论分形的定义以前，我们先看分形都具有什么性质。
1.3.1.1 分形应具有的经典性质
从数学上说，分形几何是一门几何学，它研究的对象是欧氏空间的
一类结构比较复杂的子集。从分类的严密性角度，我们似乎应该首先给
分形下一个明确的定义，由此来判断一个给定的图形是不是分形。但是，
实际经验告诉我们，这样做太过于简单化了。事实上，分形几何的创始
Mandelbrot 本人一开始也想这么做，并给过两个定义，但经过理论
和应用的检验，人们发现这么简单的定义根本无法包括丰富的分形内
容，因而被人们慢慢淡忘了。为了搞清什么是分形，我们先来分析一下
分形应具有的经典性质。
通过前面的一些例子分析可以看到，从几何学上看，分形是实空间
或复空间上一些复杂的点的集合，它们构成一个紧子集，并且具有下面
经典的几何性质：
分形集都具有任意小尺度下的比例细节，即具有无限精细结构；
分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，
也不是满足某些条件的点的轨迹；
分形集具有某种自相似形式，包括近似和统计上的自相似；
分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如迭代；
按某种维数定义，分形集的分形维数大于相应的拓扑维数。
针对不同分形图形，有时它可能只具有上面大部分性质，而不满足
某个性质，但我们一般仍然把它归入分形。实际上，自然界和科学实验
中涉及的分形绝大部分都是近似的，因为当尺度小到无法分辨时，分形
性质也自然消失了，所以，严格的分形只存在于理论研究中。
1.3.1.2 分形定义
分形繁杂多样，势必会碰到如何区分和比较的问题，比如云彩千奇
百怪，谁也说不清楚它的形状到底是什么，但是谁又都知道什么是云，
而且还能分清什么是乌云，什么是浮云。显然，这些背后肯定存在某种
规则性的东西。实际上，无任分形的起源和构造方法如何，所有分形都
应具有某种重要的特征，我们可以通过这个特征来测定其不平整度、复
杂度或卷积度，而且这个特征的微小变化会引起形状的急剧变化。
Mandelbrot 一开始时认为这个特征就是分数维数，他认为分数维是分形
理论的最基本的特征，并给出分形的定义为：一个集合，如果其
维数严格大于其拓扑维数，则称该集合为分形集。现在看来，这个定义
显然不是很合理，因为它把一些明显的分形集排除了。此后，人们还提
出过一些其它定义，但都有或多或少的缺陷。事实上，“分形”的定义
有点象生物中“生命”的定义一样，“生命”没有严格明确的定义，但
可以列出一系列生命体所具有的特征，比如对环境的适应能力、生命能
力、运动能力以及繁殖能力等等。大多数生物都有上述特征，但也有少
数生物对其中某些特征有例外。同样对于“分形”，似乎最好也是把它
看成具有某些特征的集合，而不必刻意追求难以精确的定义。
综合起来，我们可以给分形下这么一个定义：分形集是一类不能用
经典几何方法描述的“不规则”集合，它们基本满足分形的经典性质，
但是在自相似的程度上可以有很大差别。分形几何就是研究所谓“简单”
空间上这样一类“复杂”子集的一门新兴数学分支。
1.3.1.3 分形分类
我们可以根据分形集合生成算法的特征对分形进行分类，一般分为
线性分形和非线性分形两大类。这两类分形，都有无穷的算法表述，因
而也都包含无穷的分形图形。线性分形是最基本的一种，从数学上说，
就是实现这些分形的算法中仅含有一次项，如Koch曲线、Peano曲线及
迭代函数系统(IFS)，这些迭代变换使直线保持平直，仅改变其长度、
位置和方向。非线性分形则内容丰富得多，变化也多，如Julia集。
我们也可以根据分形产生算法中随机性加入的影响，把分形分为确
定性分形和随机性分形两类。对确定性分形，其算法的规则是确定的，
在算法中也没有随机性的加入，或者虽然有随机性的加入，但并不影响
分形图形的形状，即算法的多次重复仍然产生同一个分形图，如IFS；
对随机性分形，虽然其产生的规则也是一定的，但随机因素的影响，可
以使每次生成过程产生的分形虽然可以具有一样的复杂度，但形态都会
有所不同，它不具有可重现性，如Brown运动。
1.3.1.4 分形与欧氏几何的关系
分形已是当今最激动人心的研究领域之一，Mandelbrot 在他的书中
这样写道：“科学家发现，他们以前必须称之为粒状、流体状、中间状、
丘疹状、麻窝状、树枝状、海草状、奇异状、斋乱状、弯曲状、波形状、
束状、折皱状等不少形状从今以后能以严格的和强有力的定量方法加以
处理，对此他们将会惊喜不已。”“数学家们发现，那些至今为止认为异
常的集合在某种意义下说应该是规则的，被认为病态的结构应该自然而
然地从非常具体的问题中演化出来，对于大自然的研究应该有助于解决
一些老问题和产生如此之多的新问题，对此他们也会惊喜不已。”
分形的发展很大程度上依赖于计算机科学技术的进步，这也对纯数
学的传统观念提出了挑战。计算机技术不仅使分形领域的一些新发现成
为可能，同时因其图形直观的表现方式也极大地激发了科学家和人们的
兴趣与认识，推动了分形理论的发展。
我们可以对分形几何与欧氏几何作一个简单的比较：
适于自然形态
可用特定比例和尺度度
没有特定的比例和尺度，具有无限细
公式、基本元素
递归、迭代算法
1.3.2 作为认知方法的分形
分形概念早已不限于具体的数理学科，成了好似“力”、“能量”、
“原子”、“量子”一 类的概念，具有世界观和方法论意义。当人们“蓦然
回首”，发现无处不分形之时，这一功能上的拓展就已基本完成，剩下
的主要任务只是揭示出具体的特征和类型。用库恩 (T.S. Kuhn,
)的语言说,“范式”（paradigm)已发生转变，现在正进入常规
发展阶段。
认知是以一定的理论、概念为前提的，这是当代心理学、认识论研
究的一个基本结论。这也 从一个侧面反映出，人是“运用符号创造世
界”的动物，人的概念世界就是人所抵达的自然 世界的极限。概念世
界的缺陷决定了人所认识的“自然世界”的清晰程度。从人类进步的角
度看，概念、语言、理论、模型是人类理解世界的凭据和藩篱。语言以
概念为要素，概念的 展开是理论（理论的浓缩是概念），概念的图象
架构是模型，因而概念更显基本。不借助概 念无以认识世界，而概念
不过是一定历史阶段的产物，即使在当时看来精致完美，从长远看 来
也必定不恰当甚至错误，于是概念的局限影响到“世界图景”的正确描
绘；概念的狭隘和偏激，塑造了扭曲的自然之象。回顾科学史，这一切
脉络清晰。上世纪末，用以理解原子或 亚原子的“合适”概念是牛顿
力学概念及建立其上的太阳系行星规则运动模型，因而，早期 的原子
模型总是逃脱不了太阳系结构的影子。科学的发展最终突破了原来的牛
顿力学框架， 在新的原子概念中，原子核不像太阳，电子也不像行星。
分形概念的创制、传播、被认可并非偶然。它是伴随非线性复杂性
研究的时代潮流涌现出来的。传统的“整形”几何学对于几千年的人类
文明作出了不可磨灭的伟大贡献，但是在
20 世纪下半叶，它（们）已
不足以揭示复杂的动力学过程和大自然的纷繁组织机制了，这时分形概
念应运而生，显示了其无比的方便灵活性，甚至给人一种印象：分形概
念早就该出现， 因为它太顺理成章，太符合于自然的本性了。至于何
为“自然的本性”，恐怕一时无人说得清楚，人类精心创制的每一个科
学概念当初不都认为符合于自然的本性吗？
新的科学概念一经被广泛接受，就同时产生方法论意义，其根据在
于“相似性外推”。 相似外推是人类自童年就一再采用的最基本的认
知方法。分形概念不但有相似外推、进而认 识新事物的可能性，而且
为描述这种认识原则本身提供了一种“元语言”，从而具有特别的 方
法论重要性。有了分形概念，人们发现世界是分形地存在、分形地演化
的（五台山南山寺 刻有“分形变化”的字句!），世界是自相似的统一
体，层层嵌套，无止无休！然而，人们不会傻到相信世界是完全自相似
的。分形概念、理论提供了正确认识复杂自相似结构的方法 、手段。
分形概念自然引导人们思考等级层次(hierarchies)之间的“相似度”
问题，哲学上的“A=A
之含义”的问题也有了深入考察的可能了。弗雷
格(G.Frege, )率先从语言哲学角度追问“A=A”的含义，实
际上触及了认知方法和认知的本质。 在认识新事物时，总是在忽略某
些特征的前提下，把它还原为公式
A=A。哲学上的说法是：世上没有两
个完全一样的东西；也没有两个完全不同的东西。量子力学里有“泡利
(W .Pauli,)不相容原理”；唯物辩证法中有“世界的物质统
一性”这样一条原理。 其实，物质统一性原理也是自然科学原理。物
质本身是有结构的，由物质的统一性可以逻辑 地推出“结构的统一”
或“形式的统一”，并不能一概斥之为唯心主义。
1.3.3 作为解释工具的分形
如果说“认知方法”强调温故知新，则“解释工具”强调回顾反思，
力图藉此对以往的知识 重新进行分类整理，纳入大脑的特定记忆单元，
改变神经元的连接方式，绘制新的世界图景 。同一种现象或历史事实，
可以有不同的描述方式，构成不同的解释系统。作为解释工具的概念，
愈是简洁、自然，愈有吸引力，在与传统概念竞争中愈容易取胜。分形
概念的出笼， 淘汰了许多过去复杂冗长的描述方式。同样的现象和过
程一经用分形去刻画，就显得格外清晰、明了。与此同时，人们没有理
由再认为背后的机制像过去理解的那样；人们理所当然地 设想出简明
的分形迭代机制。这里不想作笼统的说明，只举两个例子，作者相信用
分形概念思考，可获得新的认识。解释不是最终目的，认识新事物更显
例一：中国封建制的组织特征是什么？
这是一个非常老的问题，清末时的一大批有识之士就已思考它了。
在今天，如果采用分形概 念，这个问题很好回答。封建制的本质特征
是“家”或“家族”，英文“fuedal”
本来就有家族的义项。在中国，
封建制中的“家”因素极为突出，构成了社会的最基本“元胞”， 是
自相似之分形的“生成子”。由这个“家”生成元，仅仅通过尺度变换，
便可非常逼真地 再现出现实的封建社会图景。在封建社会里，一切社
会现象都可以从“家”得到程度不同的解释，封建制也就是家长制；家
庭成员之间的关系就反映了社会机构之间的关系。
《大学》中讲“格物、致知、诚意、正心、修身、齐家、治国、平
天下”，关键在“修身— —齐家”一环。中国封建社会家庭里，没有
民主可言，父亲把持一切，等级森严，“三纲五常”宣扬的就是这一套
东西。父亲怎样管教儿子，皇帝也就怎样管教臣宰,县令也就怎样管教
百姓；兄如何训斥弟，上级也就如何训斥下级。家庭靠血缘关系维持，
社会便靠“裙带关系”组构。一人得势，鸡犬升天；一臣罹难，泱及众
亲。王朝虽大，不过几个家族把持。“ 家”在形式上的放大就有了不
同层次的社会建制。“家”内部的单向负责关系同样在复制品中保留下
来，甚至加强了。于是，“父母官”、“国父”的说法没有任何难理解
之处。“国家”在中国人眼里也是“家”！在君王、官僚眼中，国家就
是“自己的家”，想怎样就怎样 ，想拿什么就拿什么，坚决不要外人
从殷周时代起，形势一直没有本质上的改观。这种近似规则分形的
组织结构具有“自我稳定 ”机制，王朝可以几易其主，社会形态却不
变丝毫。纵观中国漫长的封建历史，多动乱却少变革；封建思想根深蒂
固，业已渗透到百姓的骨髓里，想在几年、几十年之内消除封建观念，
根本不现实。反封建、同封建腐朽思想作斗争必然是中国人民注定要承
担的长期、艰苦、复杂的任务。改革开放的重大阻力来自封建残渣的拖
有一点值得高兴，计划生育政策将根本上有助于打碎“家”元胞的
结构渊薮，使“家”的规模变小，关系趋于简单化，从而令社会仅仅因
这一项努力就悄悄地发生革命。这样看来，计划生育的确是“国策”！
例二：“转换生成语法”与计算机高级语言
语言的创造性总是令人吃惊，再复杂、再精致的作品也是按某些规
则构成的，本质上不存在写不出和理解不了的言语。但不可小看“迭
代”过程，胡奥特(J.Huarte)于
16 世纪就指出，表示“智力”的词
ingenio 同表示“产生”、“生成”的词，具有相同的拉丁词根；智能
是一种生成力。在现代社会，只要多少了解一点计算机语言的无比威力，
就会认为胡奥特是个天才。倘若可以揭示出语言和言语背后的生成规
则，便可构造各种人工语言，但长期以来 语言学家过分关注语言的分
类和分解，忽视了语言的“句法生成”。索绪尔(F.de
Saussure ,)奠定了现代结构主义语言学，却不为生成语法所
理解的深层结构留下任何地位 ，认为唯一正确的语言分析方法是切分
和归类，当这些分析完成后，语言的结构必然也就揭示无遗，语言学这
门科学也就全面完成了它的任务。正如乔姆斯基(A.N.Chomsky,1928- )
所说：“在他的用语中，造句严格讲不是语言(langue)的事情，而毋宁
说是被归至他所称的言语(parole)，并因此不属于语言学本身的范
围；”“从这个观点看，句法学是微不足道的。 而且事实上在整个结
构主义语言学时期，人们在句法领域中也很少进行工作。”
乔姆斯基的理论可总结为：说话人的语法必须是包含有限规则的系
统，它能生成无限多的、 相互联系的深层、表层结构；一套完整的生
成语法必须包括句法组成部分、语义组成部分和音位组成部分。句法组
成部分生成许多“句法描述”(syntactic description,简称 SD)，每
个 SD 有一个深层结构和一个表层结构。语义组成部分赋予深层结构一
个语义解释，而音位组成部分赋予表层结构一个语音解释。语法规则可
以通过如下步骤抽 取出来：
L→AD→G，
L 表示“语言
L 的原始资料输入”；AD
表示“一种习得语言的机械
表示“能充分描写语言
L 的语法”。这 里
AD 最复杂，既要适
合一切语言，又要符合经验。首先要对各种语言的共性作出内容尽可能
丰富的假设，其次要建立一套总的评价程序（也属于
乔姆斯基的转换生成语法理论对语言现象作了恰到好处的简化、假设，
取得令人瞩目的结果，与数理逻辑、人工智能研究有重要关系。其实，
句法的生成就好比分形的迭代。比如，英语中的从句（子句）与主句是
“结构相似”的，再复杂的复合句也可以通过语法分析弄清修饰关系和
子句的具体结构，从而理解所表达的意义；同样，由结构简单的句子也
能生成极其复杂的复合句，达到特殊的效果、功能。汉语一向不大注重
语法，特别是缺少表达子句结构的关系代词、关系副词，致使汉语与西
文相比不够严谨，中西文对译比较困难。汉语把复合句内部本应该有的
严密修饰关系转移成了句子之间、句群之间甚至段落之间的关系。
数理逻辑中的语句演算形式系统
L[注意，数理逻辑中讲的“L
与林德 梅叶发明的“L系统”是两回事。]、结构化的计算机高级语言
Pascal 语言和
C 语言）都可以用分形概念去理解。L
系统的任何定
理必然与其三条公理模式“相似”；同样， 任何通过“代入”规则生
成的相似语句必然是
L 的一个定理。Pascal 语言的“过程” 、“函数”
和“单元”与主程序结构上也颇相似。无论如何复杂的程序，都是一点
一点“迭代生成”的。离散动力系统当然更是一种不断“代入”的系
由此看来，分形概念解释力很强，许多问题一旦用分形理论思考，
似乎更加简单明确了。可以尝试用分形概念分析其他复杂事物。只是要
留心，莫把它泛化和庸俗化。
§1.4 分形维数
1.4.1 从拓扑维到度量维
整数维数是整数，这还好理解，原来我们知道的整数维数是拓扑维
数，只能取整数，维数表示描述一个对象所需的独立变量的个数。在直
线上确定一个点需要一个坐标，在平面上确定一个点得用两个坐标，在
三维空间中确定一个点得用三个坐标，等等。
除拓扑维数外，还有度量维数，它是从测量的角度定义的。原来的
维数也可以从测量的角度重新理解。为什么要发展测量维数的定义?其
实维数概念并不是从天上掉下来的，都有“操 作”的成分，都可以从
操作的角度说明。学过数学的人都知道，积分理论从黎曼积分发展到勒
贝格积分，就是因为引入了“测度”这一概念，这一举动克服了传统积
分理论的许多缺陷 ，扩充了所研究的函数的范围和极限的意义。后来
柯尔莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov，）将勒贝格测度引入概率论，
又为概率论奠定了坚实的基础。
分数维数并不神秘。我们首先说明，从测量的角度看，维数是可变
看一个毛线团。从远处看，它是一个点：0 维的，好比在广阔的银河
系外宇宙空间看地球， 地球的大小可以忽略不计。再近一些，毛线团
是三维的球，好比进入太阳系后，乘航天飞机 在太空沿地球轨道飞行。
再近一些，贴近其表面，它是二维的球面，甚至二维的平面，这好比我
们站在旷野上环顾左右或者站在草原的小山丘上向四周眺望。再近一
些，看一根毛线，它是一维的线。再细看，它是三维的柱体。再近一些，
它又是二维柱面或者二维平面。
再接近，看毛线上的纤维，它又是一维的。再近则又变成三维柱
所以说对象的维数是可以变化的，关键是我们从什么尺度去观察它、研
究它，一旦尺度确定了，对象的维数就确定了。反过来，不规定尺度，
问一个对象的维数，其实很难回答。这正如问海岸线的长度一样,只有
告诉用什么样的刻尺去测量，才能得到明确的结果。
作为整数的拓扑维，在拓扑变换下是不变的，所以拓扑学也叫“橡
皮几何”，拓扑空间可以像橡皮一样任意拉伸，只要不发生粘连和撕断。
对于分形对象，仍然可用拓扑变换来考察， 但也可以用别的更好的、
更形象的办法考察。分形体有许多空洞，像冻豆腐一样，用空间充填的
办法测度它，是一个好主意。
从测量的角度重新理解维数概念，就会自然地得出分数维数的概
L，它是一维的，取单位长度
A，将它的线度(边长)扩大
到原来的三倍，看看能得到几个原始对象(单位长度为
A 的线段)。显然
得到三个：L→3L=3^1*L.
再看平面上的一个正方形
A，假设仍然将其线度(边长)
扩大到原来的三倍，则得到
9 个正方形：P→9P=3^2*P.
对于三维空间上的正方体
A，假设仍然将其线度(边长)
扩大到原来 的三倍，则得到
27 个立方体：V→27V=3^3*V.
得到的总个数可以表达为关系：M=B^d,
B 指放大倍数，M 是总个数，d 相当于对象的维数。上式换一种写
法，就有：
d=logM/logB，
d 相当于维数。
按经典欧氏几何的方法，对任一拓扑一维的光滑曲线，我们可以用
折线段来逼近它，欲测出曲线
AB 的长度，可以在
AB 上取等分点
M1, … , M n=B，记 εi=|Mi-1Mi|表示相邻两等分点的直线段的长度，则有
AB 的长度=lim(εi→0)Sumεi.
同样，对一个二维区域，如果
G 是平面上具有光滑边界的区域，构
造正方形网格与二维区域
G 相交。则有
G 的面积＝lim(εi→0)Sumεi
Sum 表示对所有与
G 相交的正方形求和，εi
表示正方形的边长。
现在我们用上面经典方法来求 Koch 曲线的长度。第 k 步迭代时，Koch
多边形的长度为(4/3)^k，令
k∞→，则有
Koch 曲线的长度为∞。如 果 我
们用二维方法度量，容易计算出它在平面上不占面积，即面积为零。可
见，经典一维长度度量和二维面积度量对
Koch 曲线的大小都没有给出
有效的描述，那么，有没有一个合适的度量能给
Koch 曲线这样的分形
集合理的描述呢？数学家们经过研究发现，如果我们不是用整数
来度量光滑曲线和光滑二维区域的分形集大小，而是用一个合适的实数
s: 1<s0，对任意
H (s,δ,A)=inf{muS ε : {Ui} 是A的δ-覆盖},
表示集合 Ui 的直径，当
δ 值变小时，能覆盖
A 的 δ-覆盖类变
少，因此 H (s,δ,A)的值是不降的，于是，极限值
H(s,A)= lim(→δ0)H (s,δ,A)
存在(可以是∞)，由测度论的概念，我们就定义了度量空间的
类上的一个测度。
A 是 d 维是度量空间的一个
Borel 子集，对任意
式定义的 H(s, A)为集
A 的 s-Hausdoff 测度。
值得注意的是，对固定的
A， H(s, A)作为
s 的函数，其值域很特
殊，只有两个值(0 和∞)或三个值(0、一个有限值和∞)。
在数学上可以证明：设集合
A 是 d 维是度量空间的一个有限子集，
则存在唯一的一个实数
h∈[0,d]使得当
时, H(s, A)=0。我们就定义这个实数
A 的 Hausdoff 维数，记
为 dimhA=h，即
Hausdoff 维数是
s-Hausdoff 测度 H(s, A)从∞“跳跃”
到 0 发生的
s 的数值。
Hausdoff 维数是一个比较合理的维数，它建立在相对比较容易处理
的测度概念的基础上，在数学上可以证明它具有许多很好的性质，这儿
从略。我们来看一个例子:Cantor 尘
原始图形为单位正方形，将其等分成
16 个完全相等的小正方形，并
12 个使得每行每列都有且只有一个小正方形，对每个留下的小正
方形施行同样的做法以至无穷，其极限集合称为
Cantor 尘。
Cantor 尘具有典型的分形性质，是一个严格的自相似分形，但其维
数为整数。类似地，用前面自相似维数定义也可以求出
Cantor 尘的自
相似维数也等于
1。数学上可以证明，对严格自相似集合，其自相似维
Hausdoff 维数。
1.4.4 盒维数度量
Hausdoff 维数是理论性很强而实际背景较少的维数，由于其计算
要用到较为复杂的测度理论，相应的计算较为复杂而很少被人用到。在
实际应用中，我们经常用到的一种维数是盒维数，它能够通过实验近似
地计算，而且在一些比较规则的集合上，盒维数与
Hausdoff 维数是相
直观地，从“铺砌”的角度看，对于给定的对象， 用很小的单元
充填它，最后数一数所使用的小单元数目
ε 的大小，自
然会得到不同的
越小，得到的
N 显然越大 ，ε
越大，得到的
N 就越小。将测到的结果在“双对数”坐标纸上标出来， 往往会得到一
条直线，此直线的斜率的绝对值就是对象的维数
d。用数学关系表达就
d=lim(ε→0)logN(ε)/log(1/ε)
=-lim(ε→0)logN(ε)/logε.
严格的定义是，设
F(X)表示度量空间
X 上全体紧子集组成的集类。
A∈F(x), (X,ρ)为度量空间，对每个
N(δ,A)表示覆盖
为 ε 的闭球的最少个数，如果
ε→0 时，b=lim{-lnN/lnε}存在，则称
A 的盒维数，记为
可以证明，盒维数有与
Hausdoff 维数很类似的性质，且可以证明对
一般的紧子集
A，一定有不等式：d≥dimbA≥dimhd，其中
量空间的维数。
在实际应用上，我们常用盒维数来作为分形集的维数，因为盒维数
可以用数值实验近似求出。实验的方法是：根据实际问题的背景和尺度
ε 值的一个合适取值范围，并求出相应的
N－ε 的重对数图，
由其斜率来近似估计
A 的盒维数。(lnN--lnε)
值得注意的是，ε
的范围与要估计的分形集的特征长度密切相关，至
于 ε 如何取值更合适，只能依靠大家自己的摸索和经验积累，才能找出
合适的标度范围。
根据前面有关维数的定义，就可以计算出各种分形图形的维数。分
形图形的维数一般是小数，但其维数不应与古典维数相抵触，即用上述
维数定义计算时，直线是
1 维的，平面是
2 维的。如果我们把维数看成
是“复杂性指标”，则在曲线的构成中，从最简单的
1 维线段到最复杂
的 2 维 Peano 曲线，其中间应该还有各种各样的复杂图形。以
线为例，当转角从小到大时，其分形维数也从小到大，甚至很接近于
关于分数维的计算，可用下面的打油诗来描述：
山重水复疑无路，
分数维数新测度。
幂律关系显结构，
标度变换双对数。
§1.5 分形哲学
1.5.1 自然界中的分形现象
事实上，自然界有许多自然景物就非常象分形图形，我们可以用简
单的分形程序画出一些分形，其逼真程度可以和自然界的真物照片相
比，如桧树的树枝、羊凿树的叶子。
自然界由单纯的规则组成，而且这个规则涉及到自相似的所有层次，
这是很自然就能想到的，这一点特性与分形非常想象，如支配羊凿树树
叶的全体的规则同时也支配左右分开的树枝的一个一个小叶，而且对小
叶中的小叶也是如此。
我们知道几何起源于自然界物质的抽象，我们说自然界有许多自然
物体可以用分形来加以描述，如海岸线、云彩的边界。但是，应该说这
些物体没有一个是真正的分形，因为用充分小的比例观测它们时，它们
的分形特征就消失了。然而，在一定的比例范围内，它们表现了许多类
似分形的性质，因而在这个范围内可以看成是分形。(实际上，规则几
何也是理想化的产物，自然界物体中是没有真正的直线和圆的。)
Mandelbrot 写书系统提出分形理论以前，他和同事
经在计算机上绘制了大量的逼真的月球地形、类地行星、岛屿、山脉以
及类似蜗牛、水母等分形图形，这就是说，从分形开始创立时，分形就
是与自然界物体密切相关的，也为人类认识许多复杂的自然界物体提供
了新的工具。可以说，数学上标准的分形一开始就和自然界的现象结合
在一起的。为此，Mandelbrot 猜想，自然界的许多东西都是由简单步骤
的重复而产生出来的，这就使我们能够解释一些让人们困惑的事件：为
什么相对少量的遗传物质可以发育成复杂的结构，如肺、大脑甚至整个
机体；为什么只占人体体积的
5％的血管能布满人体的每一个部分。
单纯的东西容易反映其本性，而且也应以纯粹的形式来反映。如果
我们认为分形性是自然原本生来就具有的，那么，作为同样从太古时代
就有的羊凿树正好具备了充分反映自然性质的资格(据考证，羊凿树是
亿年前古生代石炭纪时期的主要树木)。正是因为许多基本的自然现象
具有分形特征，如山脉、河流、云彩，现在有一种所谓“分形层次宇宙
论”认为宇宙就是一个分形：宇宙本身才是最能反映分形性的。这个理
论的基本思想是：首先将银河系比作最基本的结构(相当于生成元、发
生器)，其构成元素就是一个个星星，这些星星集中起来形成涡旋状的
银河，在上一层宇宙(高宇宙)，涡旋状的银河本身又变成构成元素，从
而形成更大的涡旋状银河，再进入上一层，又由这些更大的涡旋状银河
作为构成元素进一步形成更加大的涡旋状银河系。
象这样重复相同规则的无限结构就表示了层次宇宙论所指的宇宙结
构。如果这个理论是正确的话，宇宙本身就是一个最大的分形。
1.5.2 分形现象与生成哲学
世界是运动、变化和发展的。我们故意做点曲解，认为这句话说了
三个层次上的演化问题。所谓“运动”是指宏观物体的位置移动，这个
观念主要来自经典力学，它谈的主要是量的改变，基本不涉及物体的质
的改变。“变化”则牵涉到物体成分的改变，有化学过程参与，所以有
质的变化。“发展”则更高一层，它涉及系统在新的层次上重新组织、
自我更新、自我 否定，是真正意义上的演化，这里既有量变也有质变。
研究“发展”要用到能够进行“逾层分析”的科学理论，如统计力学、
系统论、自组织理论、非线性科学等等。
《道德经》中早就讲：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”这
表达的是一种朴素的宇宙生成论。最近几年中国社会科学院金吾伦
(1937- )教授则提出精致的现代“生成论”，其基本观点是宇宙间的一
切都是不断生成着的，世界是动态的也是整体的。生成过程是从潜存到
显现的过程，“生子”是生成的因子，它具有自主性和自组织性。
金吾伦的生成论自然哲学与分形迭代生成有不谋而合之处，实际上金
吾伦一直非常重视总结 、概括非线性科学理论的哲学意义。
生成哲学中的“生子”概念类似于分形理论中的“生成元”。世界在
广义的迭代机制下自我进化——相当于本节开头讲的“发展”。宇宙的
对称性逐渐破缺，有序性、复杂性不断增强，以至于出现山川、草木、
动物、人类及人的思维。
对于生物体，20 世纪最终确立的“基因”概念加强了对生命体生成过
程的理解。事实上，“ 基因”的词根与“创世纪”、“创造”、“遗
传”、“生成”、“世代”都是相同的。
世界上第一只克隆羊——多利(Dolly)，诞生于英国罗斯
林研究所，右侧是其代理母亲。
生命体区别于非生命体的一个主要标志是“自我复制”，[从这种意
义上讲，对待人体克隆(clone)技术应慎重，不能简单地说“可以”或
者“不可以”。]基因在其中担当重任。基因负责对生命体的形态、结
构、功能进行全方位的编码，其信息量想必极大，但基因存在于染色体
上，染色体的个数和容量是有限的，基因所包含的信息也决不会是无限
的。常识的想法是，要准确描述后代生命的性状，原则上需要无穷多信
息，这在物理科学水平是无法解释通的。现在有了分形理论，这个矛盾
立即消失，简单而少量的规则是可以生成复杂结构的。生命体在自我复
制过程中必然大量使用分形迭代机制。
非生命界也可作类比的考虑，迭代规则是一些简单的力学、物理、化
学规律。这种想法仍然是朴素的，但也许很有用。随着科学的进步，这
种自然观还必然要更新，因为它太简单，在细节上一定歪曲了自然的本
来面目。不过，作为一种哲学，复杂化就失去了意义。
元胞自动机、L 系统和复杂性研究都将有助于深入探索生命复制的特
点，在这方面我们不得不提到先行者康韦(J.H.Conway)，70 年代他发明
了“生命”元胞自动机游戏。
§2.1 艺术的含义
2.1.1 艺术的含义
书法、绘画作为艺术是没有问题的。用竹板、手指在纸上、墙壁上
写字、作画，也能作为艺术。用电烙铁在木板上烧烤作画，也能作为艺
术。雕塑、民间剪纸、工艺制作，也是艺术。
电视台不止一次播放过如下节目：在地上铺上画布，当众将一女性
裸体粘上颜料，拉住手臂，在画布上打转、拖动，这也叫艺术。将一段
海岸铺上几十米甚至上百米塑料布，这也是一件艺术品。最近还时兴行
为艺术：将一个人的动作描述下来，这一系列动作叫做行为艺术。当然，
还有其他五花八门的艺术。
图中的“风”用
Photoshop 的涂抹工具加工而成
日本的黑田龙二还搞了一种“点墨艺术”。点墨艺术品的制法是：取一
长方形池盆，注入
8 厘米深清水，用滴管向池水表面随机地但又有所控
制地滴入五颜六色的油性彩墨，彩墨在水的表面扩散形成美丽的花纹，
然后迅速取一张吸水性很强的宣纸覆于水表面，待彩墨恰到好处地吸着
于纸面时，捞起宣纸、凉干，艺术品就制成了。文人墨客再在这种有精
美图案的纸上书写词句或者作画，别有一番品味。据黑田龙二讲，点墨
艺术的特点是，无论怎样操作， 每次都得到意想不到的图案。分形图
形作品至少可与点墨画相媲美，而点墨的确被称为是一种艺术。
在普通人的眼里，到了
20 世纪 90 年代，似乎什么都可以称作艺术，
如果有哪位公然敢于说某某不是艺术，通常会被认为缺少某种情调和细
胞而遭受嘲讽。用文化人的观点看，当今的艺术是艺术家的创作过程和
创作结果以及作品的展播方式，一个东西、一种行为和一种现象是不是
艺术，关键看当事人的态度。什么是艺术家呢?几乎说不出什么实打实
的标准。首先要自己感觉像是一位艺术家，其次至少有那么一小部分公
众觉得你像是一位艺术家。
2.1.2 否定计算机艺术的观点
那么，用计算机在屏幕上作图，再打印输出，如此作出来的东西能
否叫做艺术品? 这似乎没有什么问题，但是，还有另外一种很强的声音：
什么都可以是艺术，唯独计算机作的东西不能称为艺术。这种认识有什
么理由呢?总结起来看，这些理由包括：
1)计算机是机械，它缺乏人性。
2)计算机太灵活，它可以任意生成一大堆无意义的东西，通过计算机作
出的东西缺少内涵和意义深度。
3)计算机文件可以任意复制，计算机作出的东西不具有唯一性，因而成
不了艺术品。
4)机器创作代替了人脑的创作，作品的内容并不真正反映操作者的思
单纯看每一条，好像都很在理。计算机的确是机械，想驾驭计算机
并非容易事，以微机为例 ，至少要先学
DOS，然后要会使用一种作图软
件，也许还要掌握高级语言。如果是自己家里组装一台兼容微机的话，
还要能应付时不时出现的小故障，机器染了病毒，还要学会清理等等。
现在的计算机配备了许多现成的软件，能够自动生成许多图案，甚
至随机地生成一些漂亮的画面，这种东西如果都叫艺术的话，艺术也的
确没什么值得尊重的了。
无论如何美妙的图形，一旦存成计算机文件，其信息便可分毫不差
地保存在磁盘上，并可以丝毫不差地任意复制，拿到异地，存放十年、
五百年也能保证不发生任何信息损失。如此看来，一件好的东西，谁都
可以任意拥有，什么原件、真品，都消失得无影无踪。从商业角度看，
一件投入很大的作品，可能立即变得一文不值。
严锋先生曾在
1997 年第一期《读书》上发表一篇有趣的文章《数码
复制时代的知识分子命运》，对数码时代的“无限复制”表示了担忧。
他问：“如果卢佛宫的名画能像自来水那样， 龙头一开，就哗哗地(免
费!)流进你家，你对艺术的态度会发生变化吗?”文章最后说，在机械
复制时代萎缩的东西是艺术作品的韵味，而数码复制时代萎缩的是价
值，人从来都追求价值和无限，但是至少有一种无限会摧毁价值，那就
是无限的复制。通过}