已知在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=kBC.直线l经过点A.过点C.B分别向直线l作垂线.垂足分别为E.F.CE交AB于点M．(1)如图1.若k=1.求证:AE+BF=CE,(2)如图2.若k=2.则AE.BF.CE之间的数量关系是 ,的条件下.如图3.连接CF.过点A作AG∥CF.交CE延长线于点G.若CF=35.BF=5.求MG的长． 题目和参考答案——精英家教网——
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已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=kBC，直线l经过点A，过点C、B分别向直线l作垂线，垂足分别为E、F，CE交AB于点M．（1）如图1，若k=1，求证：AE+BF=CE；（2）如图2，若k=2，则AE、BF、CE之间的数量关系是；（3）在（2）的条件下，如图3，连接CF，过点A作AG∥CF，交CE延长线于点G，若CF=3，BF=5，求MG的长．
考点：相似形综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的判定与性质,相似三角形的判定与性质
专题：综合题
分析：（1）过点C作CH⊥BF，交FB的延长线于点H，如图1，易证四边形CEFH是矩形，从而有CE=HF，∠HCE=90°，进而证到△BHC≌△AEC，则有BH=AE，就可证到AE+BF=CE．（2）过点C作CP⊥BF，交FB的延长线于点P，如图2，易证四边形CEFP是矩形，则有CP=EF，CE=PF，∠PCE=90°，进而可证到△AEC∽△BPC，根据相似三角形的性质可得AE=2BP，EC=2PC，进而可证到CE=AE+BF．（3）过点C作CP⊥BF，交FB的延长线于点P，如图3．利用（2）中的结论可证到PF=CE=2PC，在Rt△CPF中运用勾股定理可求出PC长，进而可求出EF、CE、PF、BP、AE的长．然后可通过证明△AEG∽△FEC求出EG的长，再通过证明△AEM∽△AFB求出ME的长，就可求出MG的长．
解答：（1）证明：过点C作CH⊥BF，交FB的延长线于点H，如图1．∵CH⊥BF，BF⊥EF，CE⊥EF，∴∠CHF=∠HFE=∠FEC=90°．∴四边形CEFH是矩形．∴CE=HF，∠HCE=90°．∵∠HCE=∠ACB=90°，∴∠HCB=∠ECA．在△BHC和△AEC中，．∴△BHC≌△AEC（AAS）．∴BH=AE，∴AE+BF=BH+BF=HF=CE．（2）证明：过点C作CP⊥BF，交FB的延长线于点P，如图2．∵CP⊥BF，BF⊥EF，CE⊥EF，∴∠CPF=∠PFE=∠FEC=90°．∴四边形CEFP是矩形．∴CP=EF，CE=PF，∠PCE=90°．∵∠ACB=∠PCE=90°，∴∠ECA=∠PCB．∵∠AEC=∠BPC=90°，∴△AEC∽△BPC．∴===2．∴AE=2BP，EC=2PC．∴CE=PF=PB+BF=AE+BF．故答案为：CE=AE+BF．（3）过点C作CP⊥BF，交FB的延长线于点P，如图3．由（2）得：CP=EF，CE=PF，AE=2BP，EC=2PC．∴PF=CE=2PC．在Rt△CPF中，∵∠CPF=90°，∴PC2+PF2=CF2．∴PC2+（2PC）2=（3）2．解得：PC=3．∴EF=PC=3，PF=CE=2PC=6，BP=PF-BF=6-5=1，AE=2BP=2．∵CF∥AG，∴△AEG∽△FEC．∴=．∴=．∴EG=4．∵∠AEC=90°=∠AFB，∴EM∥BF．∴△AEM∽△AFB．∴=．∴=．∴ME=2．∴MG=GE+ME=6．∴MG的长为6．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，而利用条件AC=kBC构造相似三角形（包含全等三角形）是解决本题的关键．
科目：初中数学
如果关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个同号实数根，则m的取值范围是．
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A、20B、16C、12D、8
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己知：如图，点O在射线AP上，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：OB=OC．
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第2届夏季青年奥运会即将在南京举行，某中学团委以“你最喜欢收看的比赛项目”为题，调查了九年级部分同学（每人只选一个项目）．（1）在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案：方案一：调查九年级部分男生；方案二：调查九年级部分女生；方案三：到九年级每个班去随机调查一定数量的学生．其中，最具有代表性的方案是．（2）团委采用最具有代表性的方案进行调查后，将收集到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图．请你根据图中信息，回答下列问题：①此次调查学生人数共有名；②补全图①中的条形统计图，图②中最喜欢收看田径比赛项目的圆心角度数为°；③根据以上调查，估计该校九年级1&000名学生中，最喜欢收看田径比赛的大约有人．
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已知，如图，AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1=∠2．求证：BE∥CF．证明：（请你在横线上填入合适的推理及理由）∵AB⊥BC，BC⊥CD&（已知）∴∠______=∠______=90°（______）∵∠1=∠2（已知）∴∠______=∠______（______）∴BE∥CF______．
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∵AB⊥BC，BC⊥CD&（已知）∴∠ABC=∠BDC=90°（垂直定义）∵∠1=∠2（已知）∴∠CBE=∠BCF（等式的性质）∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：ABC，BDC，垂直定义，CBE，BCF，等式的性质，内错角相等，两直线平行．
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根据平行线的判定与性质，结合图形填空即可．
本题考点：
平行线的判定．
考点点评：
本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定并数形结合是解题的关键．
因为AB垂直BC，BC垂直CD（已知）
所以角ABC=角BCD =90度（
垂直定理 ）
因为角1=角2（已知）
所以（角CBE）=（角BCF）（等式性质）
所以BE平行CF（ 平行线定理
证明：ABC=BCD=90°
因为角1=角2
所以EBC=FCB
所以FC平行BE
因为AB垂直BC，BC垂直CD，所以角ABC=角BCD=90因为角1=角2，所以角FBC=角BCF，所以BE平行CF(内错角相等，两直线平行)
因为AB垂直BC，BC垂直CD（已知）
所以角ABC=角BCD =90度（
垂直定理 ）
因为角1=角2（已知）
所以（角CBE）=（角BCF）（等式性质）
所以BE平行CF（ 平行线定理
）望采纳！祝你心想事成，新学期快乐！
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