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定积分的计算方法
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定积分的计算方法与技巧
　　摘 要： 定积分是积分学的重要组成部分，其概念抽象、难以理解、解题方法灵活多变。本文讨论了定积分计算的各种方法与技巧。 中国论文网 /9/view-962949.htm　　关键词： 定积分 换元积分法 分部积分法 计算方法 　　 　　定积分与不定积分是积分学的两个组成部分，定积分不仅是积分学的基础，而且是概率统计、复变函数等课程的重要知识工具.定积分概念抽象、定理较多，学生不仅在理论学习中难以理解掌握，在定积分计算中难度也很大，往往面对一个题目，不知如何下手.因此，本文通过对各种题型、各种解题方法的分析研究，讨论了定积分计算的方法与技巧，希望对初学者有所帮助. 　　一、 利用定积分定义计算定积分 　　定积分的思想方法是：“分割、取近似、求和、求极限”，实质是在连续区间上求和，我们通过例子来说明定积分定义的含义. 　　例1.用定积分定义计算：edx. 　　解：将区间［0，1］n等分，分成n个小区间［，］，则每个小区间的长为Δx=，并取ξ=为右端点（i=1，2，…，n），得到： 　　原式=f（ξ）Δx=e•==e-1. 　　注：一般来说，用定义计算定积分是十分麻烦的，实际计算中，并不用上述方法. 　　二、 利用定积分性质估算定积分的值 　　例2.估算定积分（1+sinx）dx的值 　　解：f（x）=1+sinx在［，π］上的最大值为f（）=2，最小值为f（π）=1，即：1≤1+sinx≤2，所以：π=1×（-）≤（1+sinx）dx≤2×（-）=2π. 　　三、利用Newton-Leibniz公式计算定积分 　　设f（x）在［a，b］上连续，且F′（x）=f（x），则f（x）dx=F（b）-F（a），这就是Newton-Leibniz公式.由此看出：Newton-Leibniz公式刻画了定积分与不定积分的紧密联系，它使得计算定积分时，只要找到被积函数f（x）的某个原函数F（x），F（x）在b，a两点的函数值的差就是所求的定积分.Newton-Leibniz公式是最基本的定积分计算公式，而找到f（x）的原函数F（x）是应用这个公式的关键，所以，熟练使用Newton-Leibniz公式的关键是对不定积分的计算相当熟练. 　　例3.计算定积分：（1）dx；（2）dx. 　　解：（1）原式=（3x+）dx=［x+arctanx］=1+ 　　（2）原式=dx=tanx|=1 　　四、利用定积分对积分区间的可加性计算定积分 　　如果被积函数含有绝对值或平方根时，应按绝对值内或被开方式子的正负号将积分区间分段求定积分的代数和.同样，对分段函数的定积分，也应该按分段情况逐段积分. 　　例4.计算定积分：（1）；（2）f（x）dx，其中f（x）=x+1，x≤1x，x＞1 　　解：（1）原式==（cosx-sinx）dx+（sinx-cosx）dx=［sinx+cosx］+［-cosx-sinx］=2（-1） 　　（2）f（x）dx=（x+1）dx+xdx=［x+x］+［x］= 　　五、利用换元积分法计算定积分 　　不定积分的换元积分法有两种类型，同样定积分的换元积分法也有两种类型：当用第一类换元积分法求定积分时，若未引进新的积分变量，则积分上、下限不变；当用第二类换元积分法求定积分时，由于引入了新的积分变量，因此，积分上、下限要作相应改变. 　　例5.计算定积分：（1）（1-sinθ）dθ；（2）dx；（3）dx；（4）已知dx=，求a. 　　解：（1）原式=dθ+（1-cosθ）dcosθ=π+［cosθ-cosθ］=π- 　　（2）原式=d（x-1）=［（x-1）+arcsin（x-1）］= 　　（3）令x=π-t，则原式=（-dt）=dt-dt 　　所以，原式=dt=-［arctan（cost）］=. 　　（4）令=t，即x=ln（t+1），dx=dt，则: 　　原式=•dt=2arctant|=π-2arctan，由-2arctan=得：arctan=，所以a=ln2. 　　六、利用分部积分法计算定积分 　　分部积分法的公式为：uv′dx=［uv］-u′vdx，而如何确定恰当的u，v与不定积分的思想完全相同，当u，v选择不恰当时，很难算出定积分，具体求解时，有时须先换元，再分部积分. 　　例6.计算定积分：dx 　　解：令x=sint，dx=costdt，则：原式=costdt= 　　-（cott）′tdt=-tcott|+cottdt=π+ln3. 　　七、对称区间上的定积分的计算 　　由公式f（x）dx=［f（x）+f（-x）］dx=2f（x）dx，f（x）为偶函数0，f（x）为奇函数，可计算对称区间上的定积分或者可化为对称区间上的定积分. 　　例7.计算定积分：（1）I=sin（lnx）dx；（2）I=dx 　　解：（1）令t=lnx，则I=esintdt=sint（e+e）dt=（e-e） 　　（2）令t=lnx并应用得arctanu+arctan=得： 　　I=（arctane+arctane）sintdt=sintdt=. 　　注：从上例看出：对积分上限、下限互为倒数的区间［，a］上的定积分f（x）dx，可引入变换t=lnx，化为对称区间［-lna，lna］上的定积分f（x）dx=ef（e）dt. 　　定积分的计算方法很多，除上面介绍的方法外，还有周期函数的定积分计算，建立递推公式计算定积分，等等，同时定积分的各计算方法不是孤立的，很多题目都可能是几种计算方法联合使用，只有多练习才能熟能生巧. 　　 　　参考文献： 　　［1］华东师范大学数学系. 数学分析［M］.高等教育出版社，2008. 　　［2］同济大学数学教研室. 高等数学［M］.高等教育出版社，2008. 　　［3］吉米多维奇. 数学分析习题集［M］.山东科技出版社，1999. 　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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∫x/((x^3)+((1-x)^3))dx,0&x&1
这个这个糊弄人的吗？分母可以消掉。
分母的3次方改成开平方，WA好像是竞赛题。
感谢大婶们！
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图形面积A(5-12)
这个图形的面积为
二、定积分的性质 设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简
单性质： 性质1
被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即
函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即
这个性质对有限个函数代数和也成立。
积分的上、下限对换则定积分变号，即
以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。
如果将区间分成两个子区间及
这个于区间分成有限个的情形也成立。
下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。
当a&c&b时，从图5-13a 可知，由
y=f与和x=a x=b及x 轴围成的曲边梯形面积
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寻找更多 ""EI是个常数，计算这个式子，虽然上边有答案，但是我不会计算过程，如果去掉这个积分符号我会算，但是加上积分符号就不会了，还有积分符号上的l和下面的0是什么意思。请会的朋友讲解一下，谢谢，可以追加分数
去掉这个积分符号我会算，？？
我不知道你能否理解不定积分，如果能理解，
那么，积分号上下有字的，称定积分，就是利用不定积分得出的代数式f（x）用积分上下限代入，得：
积分是一个独立的数学方法，不学是不行的，不是一句话就能说明白的！
其他答案（共3个回答）
】和【牛顿莱布尼茨公式】这两个概念。
∫f（x）dx 中的∫，是拉长的s，最初的意义是sum，求和。
dx，就是Δx，一个微元的“长度”。。。。。。如果认为f（x）是同一微元的“高度”，那么f（x）...
定积分的范围（a--b）
∫----积分号,是由英文字母S(sum)拉长变形而来的.就读作***的积分吧.
牛顿--莱布尼兹首先创造出微积分学,可是在英语里:积分学----integra...
“f”是数学界把两个变量之间的一个对应关系表示成统一的抽象符号，它取自英语中函数（function）的首写字母！在读的时候，汉语可直接说函数（也可说函数f(x)...
你作的完全正确，我再用公式编辑器写一遍，看起来更清楚些：
答: 什么是数学中的空间？
答: 对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评
答: 简而言之,概率论是属于随机数学的范畴,即研究随机现象的一门自然科学。
答: 中国人的数学理应比外国人好！ 这是我的个人观点，这在于中国人对数字的发音是单音，因此，对数字的记忆较为简单，提高了学习数学的效率！
而科学的发展，往往受制于社会...
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