圆的面积计算公式怎么算来的？
圆的面积计算公式怎么算来的？
金卷名题 七年级上 数学 第二页15题 ....
面积公式：派乘以半径的平方
据历史是在地画一直径1M的大圆,祖冲之用笔在那画了很多个多边形才知道的.你可以看&龙脉传奇*祖冲之&后来得到圆的周长是半径的3倍多,如果你有时间就看一看.
将一个圆分割成2n个小扇形，分别交叉放好，它的形状近似于一个矩形，宽是半径，长是周长的一半πr，根据矩形的面积公式S=ab可得圆的面积公式:S=ab=r*πr=πr^2
通过长方形或平行四边行得出的。3.14*r*r
面积：用半径x半径x3.14就可以了圆面积 怎样求圆面积？这已是一个非常简单的问题，用公式一算，结论就出来了。可是你可知道这个公式是怎样得来的吗？在过去漫长的年代里，人们为了研究和解决这个问题，不知遇到了多少困苦，花费了多少精力和时间。 在平面图形中，以长方形的面积最容易计算了。用大小一样的正方形砖铺垫长方形地面，如果横向用八块，纵向用六块，那一共就用了8×6=48块砖。所以求长方形面积的公式是：长×宽。 求平行四边形的面积，可以用割补的方法，把它变成一个与它面积相等的长方形。长方形的长和宽，就是平行四边形的底和高。所以求平行四边形面积的公式是：底×高。 求三角形的面积，可以对接上一个和它全等的三角形，成为一个平行四边形。这样，三角形的面积，就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半。因此，求三角形面积的公式是：底×高÷2 任何一个多边形，因为可以分割成若干个三角形，所以它的面积，就等于这些三角形面积的和。 4000多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一个正方形，占地52900m2。它的底座边长和角度计算十分准确，误差很小，可见当时测算大面积的技术水平已经很高。 圆是最重要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。怎样求圆的面积，是数学对人类智慧的一次考验。 也许你会想，既然正方形的面积那么容易求，我们只要想办法做出一个正方形，使它的面积恰好等于圆面积就行了。是啊，这样的确很好，但是怎样才能做出这样的正方形呢？ 你知道古代三大几何难题吗？其中的一个，就是刚才讲到的化圆为方。这个起源于古希腊的几何作图题，在2000多年里，不知难倒了多少能人，直到19世纪，人们才证明了这个几何题，是根本不可能用古代人的尺规作图法作出来的。 化圆为方这条路行不通，人们不得不开动脑筋，另找出路。 我国古代的数学家祖冲之，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。 古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。 古印度的数学家，采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去代替圆面积。 众多的古代数学家煞费苦心，巧妙构思，为求圆面积作出了十分宝贵的贡献。为后人解决这个问题开辟了道路。 16世纪的德国天文学家开普勒，是一个爱观察、肯动脑筋的人。他把丹麦天文学家第谷遗留下来的大量天文观测资料，认真地进行整理分析，提出了著名的“开普勒三定律”。开普勒第一次告诉人们，地球围绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳位于其中的一个焦点上。 开普勒当过数学老师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他们不断地增加分割的次数。但是，不管分割多少次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。 开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形；不同的是，他一开始就把圆分成无穷多个小扇形。 圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以 在最后一个式子中，各段小弧相加就是圆的周长2πR，所以有 这就是我们所熟悉的圆面积公式。 开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他将自己创造的这种求圆面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。 开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上，向前迈出了重要的一步。 《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。 一种新的理论，在开始的时候很难十全十美。开普勒创造的求圆面积的新方法，引起了一些人的怀疑。他们问道：开普勒分割出来的无穷多个小扇形，它的面积究竟等于不等于零？如果等于零，半径OA和半径OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了；如果客观存在的面积不等于零，小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等。开普勒把两者看作相等就不对了。 面对别人提出的问题，开普勒自己也解释不清。 卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生，他研究了开普勒求圆面积方法存在的问题。 卡瓦利里想，开普勒把圆分成无穷多个小扇形，这每个小扇形的面积到底等不等于圆面积，就不好确定了。但是，只要小扇形还是图形，它是可以再分的呀。开普勒为什么不再继续分下去了呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度为止呢？这些问题，使卡瓦利里陷入了沉思之中。 有一天，当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时，他忽然灵机一动：唉，布不是可以看成为面积嘛！布是由棉线织成的，要是把布拆开的话，拆到棉线就为止了。我们要是把面积像布一样拆开，拆到哪儿为止呢？应该拆到直线为止。几何学规定直线没有宽度，把面积分到直线就应该不能再分了。于是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可分量，直线是平面面积的不可分量。 卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想，可以把长方体看成为一本书，组成书的每一页纸，应该是书的不可分量。这样，平面就应该是长方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的，这样也是有道理的。 卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求圆面积和体积的新方法。 1635年，当《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候，意大利出版了卡瓦利里的《不可分量几何学》。在这本书中，卡瓦利里把点、线、面，分别看成是直线、平面、立体的不可分量；把直线看成是点的总和，把平面看成是直线的总和，把立体看成是平面的总和。 卡瓦利里还根据不可分量的方法指出，两本书的外形虽然不一样，但是，只要页数相同，薄厚相同，而且每一页的面积也相等，那么，这两本书的体积就应该相等。他认为这个道理，适用于所有的立体，并且用这个道理求出了很多立体的体积。这就是有名的“卡瓦利里原理。” 事实上，最先提出这个原理的，是我国数学家祖 。比卡瓦利里早1000多年，所以我们叫它“祖 原理”或者“祖 定理”。 在一个正方形里，圆占正方形面积的78.5% 在一个圆里画一个最大的正方形，正方形面积占圆形面积的157%。
参考资料：
其他回答 (2)
面积=π(r^2)
具体点，咱笨
圆的面积公式:3.14R^2
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微积分求圆的面积问题收藏
将圆心角划分为n等分，每份的角度为θ，则一个微小三角形的面积是0.5R^2.dsinθ。圆的面积就是所有微小三角形面积之和，对微小三角形的面积积分得圆的面积2R^2；另一种微小三角形的面积是0.5R^2.dθ（因为θ趋于零时，dsinθ=dθ），积分得圆面积πR^2。两种方法中的微元素应该是相等的，为什么结果不相符，求高手详解？
哪里有两种啊？第一种是将角微分d©, 每小部分面积就是((r^2)d©)/2 , 得到的面积公式是正确的..
你说的第二个dsin©, 明显就没说清楚的嘛
我问的是微元素为什么不是dsin©？d©明显就是正确的还用你去说吗！
你的最开始的想法就是错的 这个面积不能用微分三角形来逼近 因为这个误差太大了 就像求旋转面面积一样 不能用折线长度微分 而应该用那个小弧长的微分 应该是用小扇形的面积来逼近 即 ds=0.5^2dθ
难道真的没人给解释吗？说明还没真的领会微积分11
无限个微三角形的面积就是圆的面积，这不容置疑的，所以用三角形的面积逼近是可以的，这在微积分之前是一种计算面积的方法。另外假如你不知道扇形的面积，你怎么去逼近？！！圆面积问题可以用三角形去逼近，你还是没说到点上。
无限个微三角形的面积就是圆的面积，这不容置疑的 这是谁给你说的啊 你自己想的吧哪里有什么依据啊
圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。这个对不对你可以慢慢考虑。欢迎讨论
算不对肯定是积分区间弄错了。
1楼将圆心角划分为n等分，每份的角度为θ，则一个微小三角形的面积是0.5R^2.sindθ好不？
如果简单的认为小扇形面积是1/2*r*r*dθ这个在逻辑是循环论证。因为这个公式本身是从圆的面积公式推导出来的。
可根据圆方程x∧2+y∧2＝r∧2..半圆为y＝根号下r∧2-x∧2.然后对这个函数（0～r）积分就是半圆的面积，
顺便问下高手们，如何用微积分计算球的表面积，对体积求导的方法除外
上面打错了，是－r～r
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圆的周长和面积计算公式是什么？是怎样得出这两个公式的？
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谢了 你的下下下楼的说的太多了,我没法看
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周长 等于 直径 乘 圆周率面积 等于 半径的平方 乘 圆周率半径直径的，应该会求吧。
参考资料：
上楼太厉害了！！！
周长是π d,面积是π d
周长 c=2πr=πd面积 S=πr^2 (r的平方）推导圆的面积。其实你没必要知道的。S=派R^2 设圆的方程：x^2+y^2=R^2 (x,y是圆在平面直角坐标系中的坐标，R为半径。) 取第一象限的四分之一圆，积分 得出1/4个圆面积*4=派R^2 教学内容:九年义务教育六年制小学数学第十一册第115页至116页。 教学目的: 1.通过操作,引导学生推导出圆面积的计算公式,并能运用公式解答一些简单的实际问题。 2.激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣,培养学生的分析、观察和概括能力,发展学生的空间观念。 3.渗透转化的数学思想和极限思想。 教学重点:圆面积公式的推导。 教学关键:弄清圆与转化后的近似图形之间的关系。 教具:多媒体计算机、幻灯片。 学具:16等份和32等份的圆形、剪刀、刻度尺、一张圆形纸片。 教学过程: 一、设疑导入 1.启发学生回忆平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程。(微机演示) 2.微机显示一个圆,再把圆涂成红色。提问:这是什么图形?看到圆想到什么?圆所围平面部分的大小叫什么?(圆的面积)出示课题。怎样计算圆的面积呢?请同学们思考。 [评:通过对旧知的回忆,激起学生从旧知识探索新知识的兴趣,并决定思想方向,有利于学生想象能力的培养。] 二、新课教学 1.通过度量,猜想圆面积的大小。 用边长等于半径的小正方形透明塑料片,直接度量圆面积, (如图)观察后得出圆面积比4个小正方形小,好象又比3 个小正方形大一些。初步猜想:圆的面积相当于r2的3倍多 由此看出,要求圆的精确面积通过度量是无法得出的。我们在学习推导几何图形的面积公式时,总是把新的图形经过分割、拼合等办法,将它们转化成我们熟悉的图形,今天我们能不能也用这样的方法推导出圆面积的计算公式呢? [评:这一探索性地设问,使学生产生悬念,引入深思。它与得出圆面积计算公式后的验证,前后呼应,融为一体。使学生对圆面积与r2的倍数关系,获得十分鲜明的表象,而且有助于避免与圆周长的计算公式(C=2πr)产生混淆。] 2.学生操作。 (1)学生分别把16等份和32等份的圆形剪开,拼成两个近似的长方形。(微机显示)老师提问: ①拼成的图形是长方形吗?(是近似的长方形,因为它的上下两条边不是线段。) ②圆和近似的长方形有什么关系?(形状变了,但面积相等) ③把圆16等份和32等份后,拼成的图形有什么区别?(32等份后拼成的图形更接近于长方形) 如果把一个圆等分成64份、128份……拼成的长方形会怎样呢?(微机显示)(圆等分的份数越多,拼成的图形越接近于长方形。) ④近似长方形的长相当于圆的哪一部分?怎样用字母表示?(圆周长的一半，C/2=πr),它的宽是圆的哪一部分?(半径r) ⑤你能推导出圆面积计算公式吗? [评:指导学生自己动手,并通过微机演示,把一个圆剪拼成近似的长方形,从长方形面积公式,推出圆面积计算公式。这样,可以培养学生初步的空间想象力,也可以渗透以直代曲的辩证唯物主义观点。] (2)把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr2 (见图一) (3)把圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。三角形的底 相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/2·2πr/4r=πr2 (见图二)。 (4)把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2 (见图三)。 3.小结:无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。说明在求圆的面积时,都要知道半径。 4.比较圆周长和圆面积的计算公式,找出联系和区别,加强记忆。两个公式都与π有关,但圆周长等于直径长度的π倍,而圆面积等于以半径为边长的正方形面积的π,即r2等的π倍。 5.自学例1。注意书写格书和运算顺序。 [评:引导学生通过多次不同的实验,采用转化的方法,利用等积变形把圆面积转化成近似的长方形、等腰三角形和等腰梯形,从而推导出圆面积计算公式。同时,利用计算机的演示,化静为动,化虚为实,帮助学生把抽象的内容具体化,进一步加深对圆面积公式推导过程的理解。 三、看书质疑 四、巩固练习 1.看图计算圆的面积。 2.根据下面的条件,求圆的面积。 r=6厘米 d =0.8厘米 r=1.5分米 3.一块圆形铁板的半径是3分米,它的面积是多少平方分米? 4.要求一张圆形纸片的面积,需测量哪些有关数据?比比看谁先做完,谁想的办法多? (1)可测圆的半径,根据S=πr2求出面积。 (2)可测圆的直径,根据S=π(d/2)2求出面积。 (3)可测圆的周长,根据S=π·(c/2π)2求出面积。 [总评:这节课有两大特色: 一、始终把学生放在学习的主体地位,有目的地培养学生获取知识的能力。 学习是学生的内部活动,因此,在课堂教学中既重视其学习结果,更要重视学习过程,培养学生自己探索获取知识的能力。这节课的教学,紧紧抓住&圆面积公式的推导&这一教学重点,敢于放手让学生自己动手操作,归纳推理。通过学生多次不同的剪拼,采用假设、转化、想象等方法,利用等积变形把圆面积转化成其他的平面图形,逐步归纳概括出圆面积的计算方法。这样多层次的操作,多角度的思考,既沟通了新旧知识的联系,又最大限度地激发了学生的求知欲,学生学习兴趣盎然,课堂气氛十分活跃,使学生不仅知其然,更知其所以然。 (二)运用现代教学手段辅助课堂教学,提高了教学效率。 计算机辅助课堂教学,有其直观、形象而又生动的特点,它能使静态的画面动态化,抽象的内容形象化,同时还不受时间和空间的限制,这节课恰当地运用了微机演示,充分调动了学生的学习兴趣,提高了课堂教学的效率,是其它教学手段无法比拟的。] 利用求条件极值的拉格朗日乘数法给出了空间中点P(x0,y0,z0)到直线{A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 距离的一个公式:d=|(A1x0+B1y0+C1z0+D1)n→2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n→1||n→1×n→2|其中n→i={Ai,Bi,Ci},(i=1,2)参考 周长在古代这个问题几乎是依赖于对实验的归纳。人们在经验中发现圆的周长与直径有着一个常数的比，并把这个常数叫做圆周率（西方记做π）。于是自然地，圆周长就是 C = π * d 其中d是圆的直径。 后来的古代数学家们就想办法算出这个π的具体值来，早期数学家都用的是类似“割圆术”的方法，也就是用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长逼近圆周长，以期求得圆周率的近似解。 割圆术的大致方法在中学的数学教材上就有。然而必须看到，它很大程度上只是计算圆周率的方法，而圆周长是C = π * d似乎已经是事实了，这一方法仅仅是定出π的值来。我们仔细想想就知道这样做有问题，因为他们并没有从逻辑上证明圆的周长确实正比于直径，更进一步说他们甚至对周长的概念也仅是直观上的、非理性的。 真正从理论上严密推导圆的周长必须依赖近代的分析数学，包括微积分的使用才行。 现在推导圆周长最简洁的办法是用积分。 在平面直角坐标下圆的方程是x^2 + y^2 = r^2 这可以写成参数方程 x = r * Cos t y = r * Sin t t∈[0, 2π] 于是圆周长就是 C = ∫√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt，t从0积到2π. 结果自然就是 C = 2π * r （注：三角函数一般的定义是依赖于圆的周长或面积的，为了避免逻辑上的循环论证，可以把三角函数按收敛的幂级数或积分来定义而不依赖于几何，此时圆周率就不是由圆定义的常数，而是由三角函数周期性得到的常数） 如果不需要更多的理论讨论，上面的做法就足够了。当然更确切地，我们或许还需要知道在数学上曲线的周长是如何定义的，以及圆的周长的存在性问题。这里就一时之间说不清了。参考
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出门在外也不愁图形计算．一个圆的周长是37.68分米，这个圆的面积是多少平方分米？_百度知道
图形计算．一个圆的周长是37.68分米，这个圆的面积是多少平方分米？
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这个圆的面积是113.14÷2 =6（分米）.14×62=113；3.04（平方分米）答37.68÷3
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