谁有三年级数学应用题（不要太难）或数学计算题,要三年级的、计算题范围是四则混合运算、三位数的.
谁有三年级数学应用题（不要太难）或数学计算题,要三年级的、计算题范围是四则混合运算、三位数的.尽量多些、
369/3+127-200*5(159+456)/205+146-52+2255 (103-336÷21)×15 800-(÷8) 40×48-()÷5 (488+344)÷(202-194) ×7 605×(500-494)-1898 ()÷(400-346) ×22) (154-76)×(38+49) -798 (104+246)×(98÷7) 918÷9×(108-99) ()÷5 ()÷(113-79) 81÷3 ()+3397 ÷(21-15) 816÷() ()÷(801-792) (28+172)÷(24+16) ×48 950-28×6+666 86×(35+117÷9) 0÷4) 16×4＋6×3 39÷3＋48÷6 24×4－42÷3 7×6-12×3 56÷4＋72÷8
920- 690+47×52-398148+ 360×24÷32+730 ×5451+（）×23 4215+（）÷81 （247+18）×27÷2536-720÷（360÷18） 1080÷（63-54）×80 （528+912）×5-6178-904 264+318-8280÷69 （174+209）×26- 9000814-（278+322）÷15 ÷45 ÷38+504796-5040÷（630÷7） 285+（）÷36 546×（210-195）÷3045 × 2/3 + 1/3 × 15 7/19 + 12/19 × 5/6 1/4 + 3/4 ÷ 2/3 8/7 × 21/16 + 1/2 101 × 1/5 – 1/5 × 21 50＋160÷40 （58+370）÷（64-45） 120-144÷18+35 347+45×2-4160÷52 （58+37）÷（64-9×5） 95÷（64-45） 178-145÷5×6+42 420+580-64×21÷28 812-700÷（9+31×11） （136+64）×（65-345÷23） 85+14×（14+208÷26） （284+16）×（512-8208÷18） 120-36×4÷18+35125*3+125*5+25*3+25 *11*(101-92) (23/4-3/4)*(3*6+2) 3/7 × 49/9 - 4/3 8/9 × 15/36 + 1/27 12× 5/6 – 2/9 ×3 8× 5/4 + 1/4 6÷ 3/8 – 3/8 ÷6 4/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9 5/2 -（ 3/2 + 4/5 ） 7/8 + （ 1/8 + 1/9 ） 9 × 5/6 + 5/6 3/4 × 8/9 - 1/3 7 × 5/49 + 3/14 6 ×（ 1/2 + 2/3 ） 8 × 4/5 + 8 × 11/5 31 × 5/6 – 5/6 9/7 - （ 2/7 – 10/21 ） 920-690+47×52-398 97-12×6+43 26×4-125÷5 148+ 360×24÷32+730×54 51+()×23-716)÷81(247+18)×27÷25 36-720÷(360÷18)1080÷(63-54)×80 (528+912)×5-6178 -904264+318-8280÷69(174+209)×26- 9000 814-(278+322)÷15 ÷45÷38+504 796-5040÷(630÷7) 285+()÷36 546×(210-195)÷303/7 × 49/9 - 4/3 8/9 × 15/36 + 1/27 12× 5/6 – 2/9 ×3 6÷ 3/8 – 3/8 ÷6 4/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9 5/2 -（ 3/2 + 4/5 ） 7/8 + （ 1/8 + 1/9 ） 9 × 5/6 + 5/6 3/4 × 8/9 - 1/3 7 × 5/49 + 3/14 6 ×（ 1/2 + 2/3 ） 8 × 4/5 + 8 × 11/5 31 × 5/6 – 5/6 9/7 - （ 2/7 – 10/21 ） 5/9 × 18 – 14 × 2/7 4/5 × 25/16 + 2/3 × 3/4 14 × 8/7 – 5/6 × 12/15 17/32 – 3/4 × 9/24 3 × 2/9 + 1/3 5/7 × 3/25 + 3/7 1/5 × 2/3 + 5/6 9/22 + 1/11 ÷ 1/2 5/3 × 11/5 + 4/3 45 × 2/3 + 1/3 × 15 7/19 + 12/19 × 5/6 1/4 + 3/4 ÷ 2/3 8/7 × 21/16 + 1/2 101 × 1/5 – 1/5 × 21 50＋160÷40 （58+370）÷（64-45） 120-144÷18+35 347+45×2-4160÷52 （58+37）÷（64-9×5） 95÷（64-45） 178-145÷5×6+42 420+580-64×21÷28 812-700÷（9+31×11）2/3÷1/2－1/4×2/52－6/13÷9/26－2/32/9＋1/2÷4/5＋3/810÷5/9＋1/6×41/2×2/5＋9/10÷9/205/9×3/10＋2/7÷2/51/2＋1/4×4/5－1/83/4×5/7×4/3－1/223－8/9×1/27÷1/278×5/6＋2/5÷41/2＋3/4×5/12×4/58/9×3/4－3/8÷3/4÷28×21 920- 690+47×52-398 148+ 360×24÷32+730 ×54 51+（）×23 4215+（）÷81 （247+18）×27÷25 36-720÷（360÷18） 1080÷（63-54）×80 （528+912）×5-6178 -904 264+318-8280÷69 （174+209）×26- 9000 814-（278+322）÷15 ÷45 ÷38+504 796-5040÷（630÷7） 285+（）÷36 546×（210-195）÷30 有些我认为太难了,删了一些,这么多应该可以吧!不够来找我!
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甲乙丙丁四人的总捐款看成1甲捐款数=（1/3）/（1+1/3）= 1/4乙捐款数=1/5丙捐款数=1/6丁捐款 = 1-1/4-1/5-1/6= 23/60四人共捐款 =460/（23/60）=1200元。 再问： / 什么意思
没发现专门讲应用题的补习班.我推荐你买本讲解典型应用题的书.小学的就二十来个类型的应用题：植树、行程、和差倍……,我就是用书给孩子讲的,举一反三很容易.主要就是点透,开窍,我家孩子也三年级,讲了十几个类型后,他基本不怎么学数学了,作业也是我给写,考试还都很好.对了有时间也可学学速算,考试时做应用题用速算比竖式还准,而且
你们可以借助生活出一些数学题,把数学应用的生活中,让孩子感受到数学在生活中的运用.例如你买菜回来就可以给儿子出道以买菜为背景的数学题,也可以让儿子出题,我想慢慢您的儿子就会觉得很有趣的,从一些生活案例出发,最好是一些有趣的,启发引导孩子去学习.例如去游乐场玩耍的时候,买东西,或是买票之类的.
没题目没真相.
1、我和3位同学共搬了360本书,平均每人搬了多少本书?2、暑假里小利坚持每天写36个大字,八月份,她一共能写多少个大字?3、三年级3个班同学,一起外出参加“我爱科学”活动,每个班平均分成4组,每组14人,三年级一共有多少人参加这次活动?4、小明用150元买3个热水瓶,营业员找了6元,每个热水瓶多少元?5.兰兰从 7月
我帮你整理过的哦,希望对你有用!七年级数学上册应用题1.为节约能源,某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度,按每度0.43元收费；如果超过140度,超过部分按每度0.57元收费.若墨用电户四月费的电费平均每度0.5元,问该用电户四月份应缴电费多少元? 2.某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为1：8.今年
1.小芳上午练毛笔字用了2个小时,每小时写47个字；下午也写了2个小时,每小时写53个字.小芳全天一共写了多少个毛笔字?（你能用两种方法解决?）2.遮阳伞28元 手表92元王阿姨买了四把遮阳伞和四块手表,一共要付多少钱?王阿姨一共带了500元钱,够吗?3.一个电影院有45排座位,原来每排有28个座位,扩建后每排增加22
牛顿提出的问题：有三片牧场,上面的草长得一样密且长的一样快,它们的面积分别为3又3分之1亩,10亩,24亩.12头牛4个星期吃完第一片牧场原有的和4个星期内新长出来的草；21头牛9个星期吃完第2片牧场原有的和9个星期内新长出来的草；问多少头牛18个星期才能吃完第3片牧场原有的和18个星期内新长出来的草? 设每亩草场每星
这种题目不是很简单么 又不是不会做 初中的题目你抄的时间其实就已经够你写了 所以不要再盯着手机电脑 给自己借口说在等别人回答 先不写 自己抓紧写吧（但其实吧 数学足够好这些题目不用写也ok的 为什么明明会做了 而且很顺溜了 还要拼命写呢 当然 前提是你数学足够好~） 再问： 额，确实做不完了 再答： 三道题看下来就是解
六年级数学应用题大全六年级数学应用题1一、分数的应用题 1、一缸水，用去1／2和5桶，还剩30%，这缸水有多少桶？ 2、一根钢管长10米，第一次截去它的7／10，第二次又截去余下的1／3，还剩多少米？ 3、修筑一条公路，完成了全长的2／3后,离中点16.5千米，这条公路全长多少千米？ 4、师徒两人合做一批零件，徒弟做了
1.四年级上册 应用题；妈妈今年25岁,儿子今年5岁,过多少年妈妈的年龄是儿子的2倍? 2. 共有200名小学生,分成5队,每队分8组,一组几人? 3.买回750本书,装到5个柜子里,一个柜子有3层.一层有几本书? 4.一只山雀3天吃24只虫子,四月（30天）吃几只虫子? 5.笑笑一天跑3圈,一圈有400米,跑了5天.
It was Sunday. I got up at seven o'clock. After breakfast I cleaned my room. Then I did my homework. I went shopping with my mother by bike in the afternoon. I
每个学校的卷子是不一样的,谁知道你是什么学校的呢.要不你把题目打上来,
你先让他多做计算题,然后再做一些简单（表达直白）的应用题,最后再让他做绕弯的题.你试试吧,不光有没有效果,也能提高他的计算能力
是不是要传给你题目呢 再问： 是的 再答： 哪个版的，是上海版吗再问： 人教版 再答： 赵文卓01080，你要的题目我已经发给你，希望你采纳
这道题是错的,如果是甲乙两部车可以这样做.知道甲乙的速度,时间相同,那么他们所行的距离之比可以求:甲距：乙距=86：78=43：39可以看成甲行了全程的：43/82乙行了全程的：39/82中点的比列：1/232KM的比例：43/82-1/2=43/82 -41/82=2/82=1/41两地相距：32/(43/82 -1
一个数变化另一个数也随着变化而变化,是正比例.一个数扩大几倍,另一个数就缩小几倍,他们的积不变,是反比例.
1）7-76=×24+39×46+39×30=8×35=5×98=3×64×125×5=）（7）94×73+27×94=5×79=.2×99=118.8
小明的妈妈买了5个苹果,小明吃了2个,弟弟吃了1个,还剩几个?小红有10朵花,小明比小红少6朵,小明有几朵?小花今年10岁,6年前她几岁, 10年后呢?老师1奖励小兰9朵花,小明比小兰多奖励1朵花,小明有多少朵?小军有3元钱,小红比小军多1元钱,小红有多少钱?扫二维码下载作业帮
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683-146-293-54脱式简便运算
青枫byyb83
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=683-（146+54）-293=683-200-293=483-293=190
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四年级奥数知识点(上)
四年级奥数基础讲练教程第一讲 加减法的巧算速算奥数知识 ：在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结 果的算式。【例题1】计算9+99+999+9999【思路】这四个加数分别接近10、100、。 在计算这类题目时，常使用减整法，例如将99转化为100－ 1。这是小学数学计算中常用的一种技巧。 9+99+999+9999 =（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1） =10+100+－4 =11106【例题2】计算489+487+483+485+484+486+488【思路】认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近， 所以选490为基准数。 489+487+483+485+484+486+488 =490×7－1－3－7－5－6－4－2 =02 想一想：如果选480为基准数，可以怎样计算？.【例题3】计算下面各题。 （1）632－156－232 （2）128+186+72－86 【思路】在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算， 计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。（1）632－156－232 =632－232－156 =400－156 =244（2）128+186+72－86 =128+72+186－86 =（128+72）+（186－86） =200+100=300【例题4】计算：1.248+（152－127） 2. 324－（124－97） 【思路】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计 算简便可以去括号，如果括号前面是“+”号，去括号时，括号 内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括号时，括号内 的加号就要变成减号，减号就要变成加号。 我们可以把上面的计算方法概括为：括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。1.248+（152－127） =248+152－127 =400－127 =273 2.324－（124－97） =324-124+97 =200+97 =297【例题5】计算下面各题。 （1）286+879－679 （2）812－593+193 【思路】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时 可以根据题目的特点，采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要 变号。小结：加减法的巧算速算共5种典型题型一是减整法 二是选定基数法三是调换运算顺序法四是去括号法 五是添括号法练习： 【练习1】 1.+999+99+9 2.9+98+996+9+ 4.198+297+396+495 5.95+98++69996.【练习3】 1.－208 2.283+69－183 3.132－85+68 4.18+375【练习2】 1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264 3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379 5.33+30 6.46+2453.【练习4】 1.348+（252－166） 2.629+（320－129 3. 462－(262－129) 4. 662－(315－238) 5.5623－(623－289)+452－(352－211 6.736+678+2386－(336+278)－186【练习5】 1.368+.582+393－293 3.632－385+285 4.+.612－375+275+（388+286 6.756+－（256+278）－246第二讲 乘除法的巧算速算奥数知识： 乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算 定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变 形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这 道题计算中的一些数变得易于口算，从而使计算简便。【例1】计算325÷25。【思路】在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同 的倍数，商不变。利用这一性质，可以使这道计算题简便。 325÷25 =（325×4）÷（25×4）==13【例2】计算25×125×4×8 【思路】经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中，如 果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘，可以 得到1000；再把100与1000相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。25×125×4×8 =（25×4）×（125×8） =100×【例3】计算 （1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15 【思路】两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数 分别去除这两个数，再求出两个商的和（或差）。利用这一性质，可以使这道题计算简便。（1）（360+108）÷36 =360÷36+108÷36 =10+3 =13 （2）（450－75）÷15 =450÷15－75÷15 =30－5 =25【例4】计算158×61÷79×3。 【思路】在乘除法混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置。158×61÷79×3 =158÷79×61×3 =2×61×3 =366【例5】计算下面各题。（1）123×96÷16（2）200÷（25÷4）【思路】这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据 这两道题的特点，采用加括号或去括号的方法，使计算简便。 其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为： 括号前是乘号，添、去括号不变号；括号前是除号，添、去括号要变号。（1）123×96÷16 =123×（96÷16） =123×6 =738 （2）200÷（25÷4） =200÷25×4 =8×4 =32小结：乘除法的巧算速算常用3种方法： 一是同时扩大（缩小）除数与被除数倍数凑整 二是调换运算顺序凑整 三是去括号（添括号）【练习 1】 1.450÷25 2.525÷25 3..1. 【练习2】 1.125×15×8×4 2.25× 3.25×5×64×125 4.125×25×32 5.75×16 6.125×16【练习3】计算下面各题。 1．（720+96）÷24 2．（4500－90）÷45 3．．73÷36+105÷36+146÷36 5．（1－100－10）÷10 【练习4】 1.238×36÷119×5 2.624×48÷312÷8 3.138×27÷69×50 4.406×312÷104÷203 【练习5】计算下面各题。 1.612×366÷183 2.1000÷（125÷4） 3.（13×8×5×6）÷（4×5×6） 4.241×345÷678÷345×（678÷241）第三讲 小数巧算知识点拨 一、基本运算律及公式 一、加法 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置 ，他们的和不变。 即：a＋b＝b＋a 其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋ 7＝15. 总结：多个数相加，任意交换相加的次序， 其和不变．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相 加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加 ，再与第一个数相加，他们的和不变。 即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 其中a，b，c各表示任意一数． 例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8). 总结：多个数相加，也可以把其中的任意两 个数或者多个数相加，其和不变。二、减法 在连减或者加减混合运算中，如果算式中没 有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号 “搬家”． 例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c －b，其中a，b，c各表示一个数． 在加减法混合运算中，去括号时：如果括号 前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的 数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号 ，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“ ＋”变为“－”，“－”变为“＋”． 如：a＋（b－c）＝a＋b－ca－（b＋c）＝a－b－c a－（b－c）＝a－b＋c 在加、减法混合运算中，添括号时：如果添 加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原 运算符号不变；如果添加的括号前面是“－” ，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“ －”，“－”变为“＋”。 如：a＋b－c＝a＋（b－c） a－b＋c＝a－（b－c） a－b－c＝a－（b＋c）二、加减法中的速算与巧算 速算巧算的核心思想和本质：凑整 常用的思想方法： 1、 分组凑整法．把几个互为“补数”的减 数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那 些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是 两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千 ??，就把其中的一个数叫做另一个数的“补 数”． 2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显 ，这时可“借数”或“拆数”凑整．3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百 、整千??的数相加，然后再与其它的数相加 ． 4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于 某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数 ”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上 ） 例题精讲模块一：分组凑整思想 【例 1】 91.8?186.7?89.6?270.4?90.2?88.8?91.5【巩固】 ＋20.06＋2.006＋994 ＋99.4＋9.94＋0.994＝ 【例 3】 计算 56.43＋12.96＋13.57－4.33 －8.96－5.67模块二、加补凑整思想 【例 5】 (1) 0.9?0.999?0.99?0.9 (2)199.8?19.97?1.996 (3)???99.7?9.7? 0.7 【巩固】 （1） 9.996＋29.98＋169.9＋3999.5 （2） 89＋899＋＋899999模块三、位值原理 【例 7】 924.68?724.68?524.68?324.68? 124.68模块四、基准数思想 【例 8】 计算 0.9?0.999?0.99? 0.9【巩固】 199.8?19.97?1.996第四讲 体育比赛中的数学问题一、知识点总结1.单循环赛：每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分。（通俗的说就是除了不和自己比赛，其他人都要比）2.双循环赛：每两个队都要比赛一场，有主客场之分。 （每个队和同一个对手交换场地赛两次） 一共比赛场数=（人数-1）×人数3.淘汰赛：每两个队用一场比赛定胜负，经过若干轮之后，最后决出冠军。 （每场比赛输者打包回家）二、做题方法 1.点线图 2.列表法 3.极端性分析------根据个人比赛场数，猜个人最高分根据得分，猜“战况”例题分析 例题1：三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，每个班赛几场？一共要进行多少场比赛？解析：除了不和自己赛，和其他班都要赛，所以每个班赛 4-1=3场。 一共进行的场数：3×4÷2=6场练习1：每个学校都要赛一场，共赛了28场，那么有几 个学校参加比赛？ 解析：方法一：“老土方法”：1+2+3+4+??7=287+1=8个 方法二：（人数-1）×人数=28×2=56 7×8=56，所以为8人例题2：20名羽毛球运动员参加单打比赛，淘汰赛，那么冠军一共要比赛多少场？解析： 第一轮：20÷2=10（场），10名胜利者进入下一轮 第二轮：10÷2=5（场）， 5名胜利者进入下一轮 第三轮：5÷2=2（场）....1人，3名胜利者进入下一轮第四轮：2÷2=1（场） 胜利者和第三轮中剩下的一人进入下一轮比赛 第五轮：2÷2=1（场） 冠军一共参加了5场比赛。 决出冠军一共要比赛的场数：一场比赛淘汰一人，除了冠军不被淘汰：20-1=19场例题3：A,B,C,D,E,五位同学一起比赛象棋，单循环比赛，A 已经赛了4盘，B已经赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，此时E赛了几盘？解析：利用点线图例题4：A,B,C,D,E,五位同学一起比赛乒乓球，单循环比 赛，胜者得2分，负者不得分，比赛结果如下： (1)A与E并列第一 求B得分？ (2)B是第三名 (3)C和D并列第四名解析：根据个人比赛场数猜最高分每人比赛4场，全胜得8分，有并列第一，就没有全胜，所 以不可能得8分；有并列倒数第一，所以没有全败，没有0分； 而每个人得分是个偶数，在0和8之间的偶数只有2,4,6，三个 分数，三个名次，所以B得4分学案5：四名同学单循环比赛，胜者得2分，负者得0分，平 者各得1分。已知甲乙丙三人得分分别为3分，4分，4分，且丙 无平局，甲有胜局，乙有平局，那么丁同学得分？ 解析：共比赛场数 3×4÷2=6场每场比赛两人共得2分，6场比赛共得6×2=12分所以丁得分12-2-4-4=1分第五讲整除概念复习： 约数：整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。如：4是2的倍数，2是4的约数。 公约数：亦称“公因数”。它是几个整数同时均能整除的 整数。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它 们的“公约数”；如：3是6和9的公约数；30和40，它们的公约数有1，2，5，10。最大公约数：公约数中最大的一个，叫做这几个数的最大 公约数。如30和40，它们的最大公约数是10。 互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。称两数互质。整除的特性：一、看末位：能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。 能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数 能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。 能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数 能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。二、看数字和：能被3（9）整除的特征：如果一个数的各位数字之 和能被3（9）整除，那么这个数能被3（9）整除。 能被99整除的特征：如果一个数从右向左两位两位 和能被99整除，那么这个数能被99整除。 能被999整除的特征：如果一个数从右向三位三位和 能被999整除，那么这个数能被999整除。三、看数段差 能被7（11/13）整除的特征：如果一个数奇数位上 的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数） 能被7（11/13）整除，那么这个数能被7（11/13）整除。当一个多位数中有一个或几个数字用字母表示时，为防止 理解错误，就在这个多位数的上面划一线段来表示这个多位 数。例如， 表示这个三位数的百、十、个位依次是3，a，5；例1：判断下列各数是否能被3整除：，587931例2：六位数能被3整除，字a=？解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2， 5或8。即符合题意的a是2，5或8。 例3：已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。 【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位 是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。 当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。所以这个6位数是141525或 146520例4： 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时， 这个四位数分别能被9，8，4整除？ 解：如果56□2能被9整除： 那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除， 所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除； 如果56□2能被8整除： 那么6□2应能被8整除， 所以当十位数是3或7，即四位数是时能被8 整除； 如果56□2能被4整除： 那么□2应能被4整除， 所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612， ，时能被4整除。数的整除具有如下性质： 性质1： 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2： 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的 和与差也一定能被这个自然数整除。 例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。性质3 ：如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。 例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126 能被9×7＝63整除。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩 大。 例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质， 所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同 时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能 否同时被8和9整除；如此等等。 例5：要使六位数18ABC6能被36整除，而且所得的商最小，这个六位数是多少？【发散思维】由于18ABC6能被36整除，36=4×9，且4和9互质，所以这个6位数既能被4整除又能被9整除。再考虑“所得的商最小”这个条件，应首先是A尽量小， 其次是B尽量小，最后是C尽量小。 【解题步骤】18ABC6能被4整除，则C6能被4整除，因此C可能 取1、3、5、7、9。18ABC6能被9整除，则1+8+A+B+C+6=15+A+B+C能被9整除。要使所得的商最小，就要使18ABC6尽可能小，即ABC尽可 能小，因此首先A尽可能小，其次B,最后C尽可能小。先试取A=0，此六位数之和为15+B+C,欲使B+C尽可能小，而且15+B+C能被9整除，则（B+C）取3，因为B+C=3，且C只能取1、3、 5、7、9。则C=3,B=0.当A=0,B=0,C=3时，此六位数能被36整除， 而且所得的商最小，为=5001。 例6： 五位数 能被72整除，A与B各代表什么数字？分析与解：已知9是互质数，所以能被72整除。因为72＝8×9，8和既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要能被8整除，那么末三位数 能被8整除，由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征（各位数字之和能被9整除），即：A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，能被9整除因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有 27能被9整除，所以A＝7。解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小 的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易 确定了。【巩固练习】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能得小。 解：假设这个数为865ABC，因为能被5整除，所以C为0或5 因为能被4整除，所以末两位BC数能被4整除，当C为0时， B为2、4、6、8；当C为5时，B没有取值，所以，C只能为0；因为能够被3整除，所以各位数字之和能被3整除，即8+6+5+A+B+C能被3整除。8+6+5+A+B+C=8+6+5+A+B+0=19+A+B 当B为2时，19+A+B=21+ A，所以A为0、3、6、9； 当B为4时， 19+A+B=23+ A，所以 A为1、4、7 当B为6时， 19+A+B=25+ A，所以 A为2、5、8当B为8时，19+A+B=27+ A，所以 A为0、3、6、9 因为要求这个数值尽可能的小，所以A、B、C要尽可能的小， 所以： A=0，B=2，C=0，所以这个数为：865020例7：要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数 应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除，就 要 能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。 要使所得的商最小，就要使 这个六位数 尽可能小。因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数 的各位数字之和为12＋B＋C。 它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因为B，C应尽量 小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使 尽可能小，应取B＝1，C＝5。当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为＝4171。例8： 判断七位数1839673能否被11整除。 分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位 上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以 1839673能被11整除。根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数 位上的数字之和（大数减小数）所得的差除以11的余数相同。 例9：求 除以11的余数。分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。 （9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，11-7=4，所求余数是4。例10：六位数分析与解：能被33整除，求A+B。由33=3×11，且3与11互质，所以六位数既能被3整除又能被11整除。因为能被3整除， 所以5+A+6+3+4+B=18+A+B能被3整除， 所以：A+B可以为0、3、6、9、12、15、18 因为能被11整除，所以（A+3+B） -（5+6+4）= （A+B）-12能被11整除。如果（A+B）―12能被11整除，则A+B可以为12、23. 因为A+B小于20，所以A+B=12试除法和数字谜法： 当末尾数不知道，用试除法。 当前边或中间数不知道，用数字谜法。例11：9解：设是12的倍数，求这个数的末位？=9，则99÷12=8......3，99-3=96，则 =6例12：如果2能被79整除，求这个数的末两位？解1：设这个数为299，则299 ÷79=3......62，299-62=237, 这个数的末两位为37. 解2：设这个数为200，则200 ÷79=42，200+（79-42）=237例13：能同时被7、17整除的最大和最小四位数是多少？ 解（一）设这个数为9999： 则：9999 ÷7=1428......3，说明能被7整除的最大四位数是6，那么9996-n ×7都能被7整除，依次为、9975...... 9999 ÷17=576......7， 说明能被17整除的最大四位数是2， 那么9992-n ×17都能被17整除，依次为、9941......综上，能同时被7、17整除的最大四位数是9975。（二）设这个数为1000： 则1000 ÷7=142......6， 说明能被7整除的最小四位数是1000+（7-6）=1001， 那么1001+n ×7都能被7整除，依次为、1022、、、、...........14， 说明能被17整除的最小四位数是1000+（17-14）=1003， 那么1003+n ×17 都能被17整除，依次为、......。综上，能同时被7、17整除的最小四位数是1071例14：一个五位数的末三位为999，如果这个数能被23整 除，那么这个五位数最小是多少？（数字谜法） 解：设这个五位数数为 999。 999除以23，可以是四位数或三位，因为求最小值，所以，商为三位数，设为，则得竖式：×23999根据上图计算，这个五位数为25999第六讲 列方程式解应用题一、 解简易方程 什么是方程？首先，它是一个等式（用等号连接的式子）。 例如：X+2=7 这里的x是我们要求的数，在没有求出之前我们还 不知道x是多少，称它为未知数。像上面的“含有未知数的等式”叫做方程。求方程的未知数的值（叫做方程的解）的过程叫做解方程。 使得方程的左右两边都相等的未知数的值称之为方程的解。 二、等式的基本性质 1、等式的两边同时加上或减去同一个数，结果还是等式.2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，结果还是等式.【例】下列各式，属于方程的是？（1）68-3.4=-x(3)x÷3.2=6 (5)x+y=5 (7) 2.3(1-1.5)x=x+x 【例】解方程。（2） 5x-3.6÷1.2(4) (6) 0=x 6(x-2)&76x+5-7=16600÷（15－x）=2004×0.9-4x=1.2x÷6－2.5=1.1三、解方程的一般步骤 （一）把一个数从方程的一边移动到另一边，要改变符号 （加变减，减变加， 乘变除，除变乘）。 10-3x=4 3x-5+2x+4=14 45-6x+9x=15 7x+18-6x+12=60（二）有多个未知数的方程，要把含有未知数的部分移动到方程的同一边，不含有未知数的部分移动到方程的另一边。3x+5=6x-10 5x-8=16-3x 20-4x=x+516-2x=46-8x（三）有括号的先打开括号（原则：乘法对加减法的分配 律）。 2×(4x+3)=x+1 3×(2x-3)=2 2x-3(4x-9)=x-6括号前面的乘号可以省略 ：2(2x+7)=5-4(x-1)+21四、 列方程解应用题的一般步骤是（五步） ①弄清题意，找出已知条件和所求问题； ②设未知数x，依题意确定等量关系； ③根据等量关系列出方程；④解方程；⑤检验，写出答案。 【例】已知一个三角形的面积是40平方厘米，它的高时8厘 米，请问高所在的底边长多少？ 【解析】1、已知两个条件：三角形面积=40平方厘米，高=8厘米。求一个量：高所在的底边长？2、依题意确定等量关系：三角形面积公式：面积=底边长 ×高；设未知数x：设高所在的底边长为x厘米： 底 × 高 ÷ 2 = 三角形面积设为X8厘米40平方厘米3、列方程：40=x ×8 ÷2 4、解方程：x=10（厘米） 5、检验，把x=10带入方程，看等式两边是否相等。 6、写答案：答：高所在的底边长为10厘米。*红字为解题过程六、方程解应用题与算术解应用题的联系与区别 联系：都是以四则运算的意义，相互关系以及常见的数量 关系为基础和依据的 区别：1、解题思路不同。列方程解应用题，以字母“X”代替未知数, 按题中的等量关系, 使字母“X” 直接参与列式计算；而算术解时, 未知数处于特殊的地位, 不能直接参加运算, 只根据已知条件和问题间的数量关系直接用已知数量列出算式。 例3：一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是20厘米， 高是多少厘米？如果本例用算术解，就属于逆向思考的问题，从而使学生思考困难，会出现不应有的错误。这时，应利用三角形的面积计算公式列出方程求解。2、解题的步骤与方法不同。列方程解应用题是利用等式 的性质进行计算，而算术解主要通过四则运算及其定律进行 计算。比如上面例3就可用方程解：20×X÷2＝100；算术解 则就是100÷20×2。3、难易程度不同。算术法比较曲折、间接、不大容易掌握。而方程解则比较简明、清晰、容易掌握。在小学的应用 题教学中，即使学了方程解法，也不宜用其完全代替算术解 法。例4：买3张桌子和4把椅子一共用了308元。每把椅子32元， 每把桌子多少元？ 本例是逆向思考的题目，如果用算术方法来想，解题思路和 列式就很难。如果把每张桌子的价钱用X表示，进行顺向思考，按照数量间的相等关系列方程就比较容易。桌子 个数 每个的钱数 花费总数 3 设为X 3X + 椅子 4 32 32×4 = 308 总数七、设未知数的方法。列方程解应用题，首先要设未知数X, 是关键。 一般来说，设未知数有两种方法： 1.直接设未知数。题目问什么（求什么）就设什么。 例5：少年宫合唱队有64人，比舞蹈队人数的2倍多16人， 舞蹈队有多少人？ 这题就直接设题目中问什么，即设舞蹈队人数有x人。根据题目的意思，列出方程：2X＋16＝64。2、间接设未知数。用间接法求出的X并不是题目要求的结 果，求出X后，还要根据题目中的数量关系求出题中要求的未 知量。 例6：果园里桃树和杏树一共180棵，杏树的棵数是桃树的3倍，桃树和杏树各有多少棵？这例要求的未知数有两个，有很多的同学就会直接设桃树 和杏树各有X棵。这样设的话，就显得模棱两可的，不知道到 底是设哪一个量。 如果设杏树为X棵，就会给列方程和解方程带来困难。间接设桃树为X棵, 就显得容易多了.八、正确分析数量关系，掌握列方程解应用题的思路和途径。 列方程解应用题的思路和途径是多种多样的：。 1.利用数形结合找等量关系列方程。 在感知应用题情景的基础上，画出示意图，采用数形结合的方法分析数量关系，实际上使视觉参与了解题过程，它能直观地再现题目的数量关系，便于列出方程。 例：同学们种向日葵，四年级种的棵数是三年级的3倍，还 知道四年级比三年级多种128棵，问两个年级各种多少棵？ 解：设三年级种X棵，那么，四年级种3X棵。三年级：X四年级：3X可列出方程： 3X－X＝1282、借助数量关系，找出等量关系列出方程。 在小学数学中，数量关系很多，比如面积、体积公式；常 见的“三量”关系（单价×数量＝总价、．．．．．．），几 何图形的特征等。根据数量关系就可列出方程。例8：已知：∠1＝37°、∠2＝63°。求：∠3＝？。这题就根据“任意三角形的内角和是180°”这个特征来列 出一个方程：37°＋63°＋X＝180°，这样既简单又明了。九、直接设未知数解应用题例1：长方形周长是66厘米，长比宽多3厘米，求长方形的长 和宽各是多少厘米？ 周长 66厘米 则：[（3+x）+x] ×2=66 = 2× （长 + 宽） 设为X厘米X+3厘米解：依题意设长方形的宽是x厘米，则长方形的长3+x（厘米）6+4x=664x=60 x=15（厘米） x+3=18（厘米） 答：长方形的长18厘米，长方形的宽是15厘米例2：某八位数形如 2abcdrfg ，它与3的乘积形如abcdrfg4， 则七位数abcdrfg 应是 解：设abcdrfg =x 则：2abcdrfg =+ abcdrfg = +x ？abcdrfg 4 =10 × abcdrfg + 4=10x+4依据题意列方程： 3 × （+x）= 10x+4
+ 3x = 10x+4
= 7xx = 8571428答：七位数abcdrfg 应是 8571428。例3：有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍 再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数。 解：设最小的那个数为X ，那么中间的数和最大的数分别为 X+1 和 X+2。则 X+2（ X+1 ）+3（ X+2）=686X+8=68 6X=60 X=10 所以这三个连续整数依次为10、11、12．二、间接设未知数解应用题 例：平行四边形ABCD的周长是80厘米（cm），以AD边为底 时，高为12cm，以AB为底边时，高为20cm，求ABCD的面积。 分析：平行四边形的周长是两条邻边之和的2倍，所以：AB+AD=40cm设：AB= Xcm，则AD=（40-X）cm 根据平行四边形面积公式，得 AB × 20=AD × 12，则： 20X=12（40-X）解得：X=15所以：平行四边形面积=15 ×20=300（平方厘米）例：小龙、小虎、小方和小圆四个孩子共有45个球，但不 知道每个人各有几个球，如果变动一下，小龙的球减少2个， 小虎的球增加2个，小方的球增加一倍，小圆的球减少一半， 那么四个人球的个数就一样多了．求原来每个人各有几个球？设：变动后，每个孩子有X个球小龙 原来： X+2 小虎 X-2 小方 X÷2 小圆 X×2 共有 45个得：（X+2）+（X-2）+（X ÷2）+（X×2）=45 解：4.5X=45X=10所以：小龙有12个，小虎8个，小方5个，小10个。练习：1.已知三个连续奇数之和为为75，求这三个数？ 2.兄弟二人共养鸭550只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一 半，弟弟卖出70只时，两人余下的鸭只数相等，求兄弟两人原来各养鸭多少只？3.一人看见山上有一群羊，他自言自语到：“我如果有这 些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的一半，又加上这些 羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共有 只 羊”．山上的羊群共有______只．4.某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将一组人数调整为二组人数的 一半，应从一组调多少人到二组去？第七讲 行程问题相遇问题：所谓相遇问题就是指两个运动物体以不同的地点作为出发 地作相向运动的问题。 基本公式： 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行， 甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。两人几小时后相遇？分析与解答：这是一道相遇问题。 根据题意，出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离 每小时缩短6＋4=10千米，这也是两人的速度和。 所以，求两人几小时相遇，就是求20千米里面有几个10千 米。因此，两人20÷（6＋4）=2小时后相遇。例2：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行， 王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米。如果一只狗与王欣 同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王 欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断来回，直到 王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？ 分析与解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度 和狗所行的时间。 根据题意可知，狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出 狗所行的时间， 根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行 的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间，即 2000÷（110＋90）=10分钟。 所以狗共行了500×10=5000米。所谓相背问题是指两个运动的物体作背向运动的问题。 在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立。例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18 千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔54千米？分析与解答：这是一道相背问题。 根据题意，甲乙两人共行的路程应该是54－18=36千米，而 两人每小时共行7＋5=12千米。要求几小时能行完36千米，就 是求36千米里面有几个12千米。 所以，36÷12=3小时。追及问题： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题）， 也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生 快的追及慢的问题。 根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下 面的公式： 速度差=快的速度-慢的速度 距离差（路程差）=速度差×追及时间 追及时间=距离差（路程差）÷速度差 速度差=距离差（路程差）÷追及时间 平均速度=总路程÷总时间 解题的关键是：在互相关联、互相对应的距离差、速度差、 追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来 达到解题目的。例4：甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行，甲 骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米。几小时后 甲可以追上乙？ 分析与解答：这是一道追及问题。 根据题意，甲追上乙时，比乙多行了24千米（路程差）。 甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米，甲每小 时比乙多行13－5=8千米（速度差），即甲每小时可以追上乙8 千米。所以要求追上乙所用的时间，就是求24千米里面有几个8千 米。因此，24÷8=3小时甲可以追上乙。火车行程问题： 1、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、 没速度 解法：总路程 (火车车长)＝火车速度×通过时间；火车车长 路程长2、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长 度、但没速度， 解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通 过的时间；桥长火车车长路程长3、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速 度（1）火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题， 解法：路程和 (火车车长) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错 过的时间；人路程火车路程火车车长(路程和)（2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题， 解法：路程差 (火车车长) ＝(火车速度―人的速度) ×追及 的时间；人路程火车车长(路程差)车路程4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有 速度， （1）错车问题：相当于相遇问题， 解法：路程和 (快车车长＋慢车车长) ＝ (快车速度＋慢车 速度) ×错车时间；慢车路程快车路程 快车车长 慢车车长路程和（2）超车问题：相当于追及问题 解法：路程差 (快车车长＋慢车车长) ＝ (快车速度―慢 车速度) ×错车时间；慢车路程 快车路程路程差 慢车车长快车车长例1：一列火车通过一条长240米的铁路桥用了30秒，用这 样的速度通过320的隧道用了34秒，求火车的车长和车速。 分析与解：从图中可知，火车过桥行驶的路程是桥长+车长； 同样的道理，火车过隧道行驶的路程是隧道长+车长。两次所 用时间的不同是因为铁路桥与隧道的长度不同引起的，利用两 次的时间差与路程差可以求出火车的速度。??解：火车的速度：（320－240）÷（34－30）=20米/秒； 车长：20×30－240=360米。 答：火车的车长是360米，车速是20米/秒。第八讲加法原理和乘法原理1、加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在 第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。每一种方法都能够直接达 成目标。2、乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不 同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。3、注意 区分两个原理。要做一件事，完成它若是有n类办法，是分 类问题，第一类中的方法都是独立的，因此使用加法原理； 做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。 完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将 两个原理区分开来。 4、口诀加法原理：类类独立；乘法原理：类类相关。例1：从甲地到乙地，有3条公路和2条铁路可以直接到达。从 甲地到乙地共有多少种走法？ 【思路导航】加法原理。 分类：第一类，“走公路”，共有3种方法。 第二类，“走铁路”，共两种方法。 所以从甲地到乙地的方法总和是3+2=5（种） 解答：从甲地到乙地共有5种走法。例2：十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。请 问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来? 【分析】任意取一把钥匙去试开锁，要试9次；其次，再从剩下的9把钥匙中任取一把去试开锁，要试8次?照此方法进行下去，最后，只剩下一把钥匙和一把锁，就不需要试了。 运用加法原理。 解：9+8+7+......+3+1=45 答：最多试开45次，就能把锁和钥匙配起来。例3：用0,1,2,3,4,5,6组成四位数的密码共有几种？ 思路：其实就是组成四位数（千位可以为0）。 分四步：确定个位数字个数、确定十位数字个数、确定百位 数字个数、确定千位数字个数。（用乘法原理）。 每一位都有0,1,2,3,4,5,6，六种选择（加法原理）四位数个数=个位数字个数×十位数字个数×百位数字个数×千位数字个数=6 ×6 ×6 ×6例4：如图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丁地有三条 路，从甲地到丙地有两条路，从丙地到丁地有四条路。问：从 甲地到丁地有多少条路？ 【分析】1、甲到丁，是完成一件事，有两种途径，即： 甲经乙到丁和甲经丙到丁，用加法原理。即： 甲地到丁的路=甲经乙到丁+甲经丙到丁 2、甲经乙到丁，分两步：即甲先到乙，由乙到丁，属完成 一件事情的两步，用乘法原理，即甲经乙到丁的路=甲到乙的 路×乙到丁的路=3×3 同理，甲经丙到丁的路=甲到丙的路×丙到丁的路=2×4 。 所以：甲地到丁的路=甲经乙到丁+甲经丙到丁 =（甲到乙的路×乙到丁的路）+（甲到丙的路×丙到丁的路） = 3×3+ 2×4 =9+8 =17例5：从1到500的所有自然数中,不含有数字4的自然数有 多少个? 分析： 从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数， 两位数，三位数．一位数中：不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9； 两位数中：不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有 1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、 1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含4．三位数中，小于500并且不含数字4的可以这样考虑：百位上，不含4的有1、2、3、这三种情况．十位上，不含4的有0、 1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含4的也有 九种情况．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数， 最后取个位数，应用乘法原理，这时共有3×9×9=243个三位数．由于500也是一个不含4的三位数．所以，1～500中，不含4的三位数共有3×9×9+1=244个． 解：在1～500中，不含4的一位数有8个；不含4的两位数 有8×9=72个；不含4的三位数有3×9×9+1=244个，由加法原 理，在1～500中，共有：8+8×9+3×9×9+1=324（个）解法二：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个0的三位数，如：把1看成是001．把两位数看成是前面有一个0的三位数．如：把11看成 011．那么所有的从1到500的自然数都可以看成是“三位数”， 除去500外，考虑不含有4的这样的“三位数”．百位上，有0、 1、2、3这四种选法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、 9这九种选法；个位上，也有九种选法．所以，除500外，有 4×9×9=324个不含4的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应该去掉．而500还没有算进去，应该加进去．所以，从1到500中，不含4的自然数仍有324个．例6：数学活动课上，张老师要求同学们用0、1、2、3这四个数字组成三位数， 请问：（1）可以组成多少个没有重复数字的三位数？ （2）可以组成多少个不相等的三位数？ 解：（１）3×3×2=18（个） （3）3×4×4=48（个）第九讲求平均数什么是平均数：把一个(总)数平均分成几个相等的数，相等的数的数值就叫做这个(总)数的平均数。如，24平均分成四个数：6，6，6，6，数6就叫做24分成 四份的平均数。 由此可见，平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而 言的。知道了被均分的“总数”和均分的“份数”，就可以求出平均数： 总数÷份数=平均数。 总数量÷平均数=总份数; 平均数×总份数=总数量。根据求平均数的一般公式可以得到它们的计算方法：全班同学的总成绩÷全班同学人数=平均成绩， 几件货物的总重量÷货物件数=平均重量， 一辆汽车行驶的路程÷所用的时间=平均速度。这三个数量中，知道其中任意两个数量，就可以求出第三个数量。解题的关键是弄清题意，找准题中什么数量是总数量， 其对应的总份数及平均数各是什么数量，再运用对应的数量关 系求解。例1：求下列20个数的平均数：401，398，400，403，399， 396，402，402，404，403，399，396，398，398，405，401， 400，402，403，400。【解析】：解法一：先求出这20个数的和，即总数量，再用20个数的和除以总份数20，求出平均数。 因为这20个数据比较大，这种解法计算量很大，容易出 错。解法二：仔细观察这20个数据都接近400，有的比400大， 有的比400小，我们可以借鉴移多补少的思想，以400作为基准， 把这20个数都看作400，求出它们比400多出或不足的部分， 多出1记作“+1”，不足2记作“-2”，计算时多出和不足的部分让它们互相抵消，得这20个数据共多出：1-2+0+3-1-4+2+2+4+3-1-4-2-2+5+1+0+2+3+0=10 这20个数的和就是：400×20+10； 因此：平均数=（400×20+10）÷20=400.5。 对于求多个比较接近的大数的平均数，直接计算很麻烦，我们可以选择这些数最接近的整数作为基准数，运用上面的方法解答，计算就简单多了。（找基准数法）例2：四（1）班有52人，四（2）班有48人。在一次考试中，两班全体学生的平均分为 78分，四（2）班的平均分比四 （1班）的平均分高5分。两个班的平均分各是多少？ 解法1：用方程解平均数问题： 设1班平均分为X，列方程：52×X+48×(X+5)=78×(52+48)52X+ 48X+240= X=7560 X=75.6 75.6+5=80.6答：1班平均分为75.6，2班为80.6例3：有五个数，平均数是9。如果把其中一个数改为1，那 么这五个数的平均数为8，这个改动的数原来是多少? 【解析】：改动前五个数的和为：9×5=45; 改动后五个数的和为：8×5=40;改动后总和比改动前减少了：45-40=5;所以被改动的数减少了5， 这个数原来是：1+5=6。例4：一辆小轿车，装有4个轮胎，还有1只备用轮胎，司 机适当地轮换这5只轮胎，使每只轮胎行程相同。小车共行驶 了3200千米，每只轮胎平均行驶了多少千米? 【解析】：小轿车在任何时候都是4个轮胎同时行驶，小车行驶3200千米，即所有5只轮胎共行驶4个3200千米：00(千米)。 平均每只轮胎的行驶路程为：10(千米)。例5：机器猫玩电子游戏，必须打过10关。在过第6，7，8，9关时分别得了90，84，81，93分，他过前9关所得的平均分数高于前5关所得的平均分数。如果机器猫想要在第10关后所 得的平均分数超过88分。那么，他在过第10关时至少要得多 少分?【解析】：机器猫过前9关所得的平均分数高于前5关所得 的平均分数，则他过前9关所得的平均分数低于后4关所得的平 均分数：(90+84+81+93)&4=87(分)。 所以，机器猫过前9关所得的总分低于9个87分，最多只能得：87×9-1=782(分)。如果机器猫想要在第10关后所得的平均分数超过88分，10 关总分至少要：88×10+1=881(分)。 所以，他在过第10关时至少要得分：881-782=99(分)。例题6：已知七个连续偶数的和是84，求这七个连续偶数。 解： 84÷7=12 七个连续偶数是 6、8、10、12、14、16、18 奇数个连续偶（奇）数的平均数是中间数的数值例题7：有七个数，这些数的平均数是49，其中前四个数的平均数是28，后四个数的平均数是60，求第四个数是多少？ 解：前四个数的和：28×4；后四个数的和：60×4 七位数的和：49×7 第四位数=前四个数的和+后四个数的和-七位数的和=28×4 ＋60×4-49×7=112+240-343=352-343=9答：第四个数是9。第十讲数字谜数字谜题目：在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数 字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式， 叫做数字谜题目。 解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。例如，求算式324+□=528中□所代表的数。 根据“加数=和-另一个加数”知， □=582-324＝258。一、横式数字谜： 解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则： (1)一个加数+另一个加数=和； (2)被减数-减数=差；(3)被乘数×乘数=积；(4)被除数÷除数=商。 由它们推演还可以得到以下运算规则： 由(1)，得 和―一个加数=另一个加数；其次，要熟悉数字运算和拆分。 例如， 8可用加法拆分为：8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4； 24可用乘法拆分为 ：24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6(两个数之积)＝ 1×2×12＝2×2×6=?(三个数之积) ＝ 1×2×2×6＝2×2×2×3=?(四个数之积)例1 下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？ (1)□+5＝13-6； (2)28-○＝15＋7； (3)3×△=54；(4)☆÷3＝87；(5)56÷*＝7。 解：(1)由加法运算规则知，□=13-6-5＝2； (2)由减法运算规则知，○＝28-(15＋7)＝6； (3)由乘法运算规则知，△＝54÷3＝18；(4)由除法运算规则知，☆=87×3＝261；(5)由除法运算规则知，*＝56÷7＝8。例2 下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (1)□+□+□=48； (3)5×△-18÷6＝12； (2)○＋○＋6＝21-○； (4)6×3-45÷☆＝13。解：(1)□表示一个数，根据乘法的意义知，□+□+□=□×3，故□=48÷3＝16。(2)先把左端(○＋○＋6)看成一个数，就有 (○＋○＋6)＋○＝21， ○×3＝21-6， ○＝15÷3＝5。(3)把5×△，18÷6分别看成一个数，得到 5×△=12＋18÷6， 5×△=15， △=15÷5＝3。(4)把6×3，45÷☆分别看成一个数，得到45÷☆＝6×3-13， 45÷☆＝5， ☆＝45÷5＝9。例3：180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？ 试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。 180=□×□×□×□。 分析与解： 拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如180＝1×4×5×90＝1×2×3×30＝?但拆分成四个“大于1”的数字的乘积，范围就缩小了，如 180＝2×2×5×9＝2×3×5×6＝? 若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小 了。按从小到大的次序排列只有下面一种：180＝2×3×5×6。所以填的四个数字依次为2，3，5，6。例4：若数□，△满足□×△=48和□÷△=3，则□，△各等于多少？分析与解：依题48拆分为以下两数乘积：48＝48×1＝ 24×2＝16×3＝12×4＝8×6。由□÷△=3知，□＞△，因此， 只考虑其中蓝色四组。其中，只有48＝12×4中，12÷4=3，因 此=12，△=4。这道题还可以这样解：由□÷△=3知，□=△×3。把□×△=48中的□换成△×3，就有 (△×3)×△＝48， 于是得到△×△=48÷3＝16。因为16＝4×4，所以△=4。 再把□=△×3中的△换成4，就有□=△×3=4×3=12。 这是一种“代换”，在今后的数学学习中应用十分广泛。例5： 在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立： (1)4 4 4 4＝24； (2)5 5 5 5 5=6。解：(1)因为4＋4＋4＋4＜24，所以必须填一个“×”。 4×4＝16，剩下的两个4只需凑成8，因此，有如下一些填法： 4×4＋4＋4＝24； 4＋4×4＋4＝24； 4＋4＋4×4＝24。 (2)因为5+1=6，等号左端有五个5，除一个5外，另外四个5凑成1，至少要有一个“÷”，有如下填法： 5÷5+5-5+5＝6；5＋5÷5＋5-5＝6； 5＋5×5÷5÷5=6； 5＋5÷5×5÷5＝6。 由例4看出，填运算符号的问题一般会有多个解。这些填 法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的，如果只是 盲目地“试算”，那么就可能走很多弯路。例5 在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立： 8 2 3＝3 3。 分析与解：首先考察右端“3 3”，它有四种填法： 3+3＝6； 3-3＝0； 3×3＝9； 3÷3=1。再考察左端“8 2 3”，因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数，3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶数，3的前面 只能填“×”。经试算，只有两种符合题意的填法： 8-2＋3＝3×3；8÷2-3＝3÷3练习： 1.120是由哪四个不同的一位数字相乘得到的？试把这四个 数字按从小到大的次序填在下式的□里： 120＝□ ×□×□×□。2.若数□，△同时满足 □×△=36和□-△=5， 则□，△各等于多少？ 3.在两数中间添加运算符号，使下列等式成立： (1)5 5 5 5 5＝3； (2)1 2 3 4＝1。 4.在下列各式中，□，○，△各代表什么数？150-□-□=□；○×○＝○＋○； △×9＋2×△=22。例1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立：5+7×8+12÷4-2＝20。分析：等式右边是20，而等式左边算式中的7×8所得的积 比20大得多。因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为 小。 从整个算式来看，7×8是4的倍数，12也是4的倍数，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括号，再除以4得17，5＋17-2=20。 解：5+（7×8+12）÷4-2=20。例2 把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：分析：如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能：2×3＝6或2×4＝8， 所以应当从乘法算式入手。 因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以 加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+□，所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。于是可知， 原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。 若乘法算式是2×4＝8，则剩下的六个数1，3，5，6，7， 9的和是奇数，不合题意；若乘法算式是2×3＝6，则剩下的六个数1，4，5，7，8，9可分为两组： 4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）； 1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。例3 下面的算式是由1～9九个数字组成的，其中“7”已填好， 请将其余各数填入□，使得等式成立：□□□÷□□=□-□=□-7。分析与解：因为左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被减数只能填9，由此知左端被除数的百位数只能填1，故中间减式有8-6，6-4，5-3和4-2四种可能。经逐一验证，8-6，6-4和42均无解，只有当中间减式为5-3时有如下两组解： 128÷64=5-3=9-7， 或 164÷82＝5-3＝9-7。例4 将1～9九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个 等式都成立：□+□=6， □×□=8，□-□=6， □□÷□=8。分析：因为每个□中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：1＋ 5或2＋4；对于乘式也只有两种填法：1×8或2×4。加式与乘式的数 字不能相同，搭配后只有两种可能： （1）加式为1＋5，乘式为2×4；（2）加式为2+4，乘式为1×8。对于（1），还剩3，6，7，8，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式无法满足； 对于（2），还剩3，5，6，7，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式可填56÷7。答案如下：2＋4＝6， 1×8＝8， 9－3＝6， 56÷7＝8。例2～例4都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所 有可能情况全部列举出来，再逐一试算，决定取舍。这种方法 叫做枚举法，也叫穷举法或列举法，它适用于只有几种可能情 况的题目，如果可能的情况很多，那么就不宜用枚举法。例5 从1～9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使 得算式的结果尽可能大： [○÷○×（○ ＋ ○）] －[○×○ ＋ ○ － ○]。分析与解：为使算式的结果尽可能大，应当使前一个中括号内 的结果尽量大，后一个中括号内的结果尽量小。为叙述方便， 将原式改写为： [A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。通过分析，A，C，D，H应尽可能大，且A应最大，C，D次之，H再次之；B，E，F，G应尽可能小，且B应最小，E，F次之， G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3， G=4，其中C与D，E与F的值可互换。将它们代入算式，得到 [9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。二、竖式数字谜 重点：分析出数之间的关系，得出关键字母的大小 关键：通过综合观察、分析，找出解题的“突破口”（找 出从哪入手）。题目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。这需要通过不断的“学”和“练”，逐步积累知识和经验，总结提高解题能力。 例1 在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。分析与解：由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个 位数中，一个是5，另一个是奇数。 因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即 只能是9(这是问题的“突破口”)，被乘数的个位数是5。因为7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只能是7。至此，求出被乘数是785，乘数是9例3 在左下边除法竖式的□中填入适当的数，使竖式成立。分析：由48÷8=6即8×6=48知，商的百位填6，且被除数的千位、百位分别填4，8。又显然，被除数的十位填1。 由1□=商的个位×8知，两位数1□能被8除尽，只有 16÷8=2，推知被除数的个位填6，商的个位填2。。例4 在右边除法竖式的□中填入合适的数字。使竖式成立。 分析：从已知的几个数入手分析。首先，由于余数是5，推知除数＞5，且被除数个位填5。 由于商4时是除尽了的，所以，被除数的十位应填2，且由于3×4=12，8×4=32，推知，除数必为3或8。由于已经知道除数＞5，故除数=8。(这是关键！)从8×4=32知，被除数的百位应填3，且商的百位应填0。从除数为8，第一步除法又出现了4，8×8=64，8×3=24，这说明商的千位只能填8或3。试算知，8和3都可以。所以，此 题有下面两种填法。练习1：在下面的算式中，A、B、C、D各代表什么数字？例2：□里填哪些数字，可以使这道除法算式成为一道完整的 算式？练习3：在下列各竖式的□里填上合适的数：练习4：在下式的□里填上合适的数。例1 把下面算式中缺少的数字补上：分析：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必 然小于1100。由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。 （1）填百位与千位。由于被减数是四位数，减数是三位 数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。（2）填个位。由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1， 所以减数的个位数字是9。 （3）填十位。由于个位向十位借1，十位又向百位借1， 所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。所求算式如右式。由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。例2 在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不 同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式：分析与解：（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同 数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉 字“学”。 从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两 种可能情况：2＋2＋2＋2＝8与7＋7＋7＋7＝28，即“学” ＝2或7。如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加 的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。此时，百位上的 和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“学”≠2。 如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数 字3。 满足条件的解如右式。分析：由千位看出，“努”=4。由千、百、十、个位上都 有“努”，8，可将竖式简化为左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。 满足条件的算式如右下式。例5 在□内填入适当数字，使左下方的除法竖式成立。（一）巧填方框中的数 【例1】（学而思题库）在下面的3 个方框内分别填入恰当 的数字，可以使得这3 个数的平均数是150．那么所填的3 个数 字之和是多少？□ ，□8，□97分析：（方法一）这3 个数的平均数是150，所以三个数的和是150×3＝450，三个数的和的个位数字是0，即□＋8＋7 ＝□＋15 的和的个位数字是0， 所以第一个方框里填的数是5．同理，因为第二个数的十位 数□＋9＋2＝11＋□，这个数的个位数字是5，所以第二个□是4，三位数的百位上□加1 等于4，所以第三个□填3，则三个数之和为3＋4＋5＝12．（方法二）由于150×3－8－97＝345，所以我们可以在三 个空格中填上：5、4 和3，则3 个数之 和为3＋4＋5＝12． 【例2】在下列各等式的方框中填入恰当的数字，使等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称：（1）12×23□＝□32×21分析： 从个位上考虑，在等式右边结果的个位是2，所以左边结果的 个位也是2，那么左空格处只能填写1，并且算式中的数字关于 等号左右对称，即得12×231＝132×21 ，最好再验算一遍；（2） 6□□4÷56＝□0□。当碰到除法时，我们最好将除 法转换成乘法，则有6□□4＝56×□0□， 从个位上考虑：□0□中的个位只能填写4或9 ，从总体观 察估计，56×200 就是五位数了，所以□0□只可能是104或109，我们再近一步进行验算发现:56×109＝6104 符合题意，即9； （3）8□□□÷58＝□□6。即8□□□＝58×□□6 ， 考虑个位可得：8□□8＝58×□□6 ，总体估值可得： 8□□8＝58×1□6。试验填数，最好从0～9 的中间数字5 开始考虑，58×156＝9048 ，9048＞8□□8，接下来试：58×146＝8468，符合题意，所以6 ．【例3】在下面的○内填人1～9 这9 个数字(数字不重复出现)，使两个等式都成立．○＋○―○＝○ (1) ○×○÷○＝①⑧ (2) 分析：因为(2)式中有已知数，很明显是解决问题的突破口． 由(2)式可知，○×○是18 的倍数．下面我们逐一分析两 数相乘是18 的倍数的各种情况．2×9＝18 (2×9÷1＝18)有重复数字；3×6＝18 (3×6÷1＝18)有重复数字； 4×9＝36 (4×9÷2＝18)符合； 6×6＝36 有重复数字； 6×9＝54 (6×9÷3＝18)符合；8×9＝72 (8×9÷4＝18)有重复数字． 根据上面的分析，有两种情况满足(2)式． ①4×9÷2＝18，还余下3，5，6，7 四个数字，而这四个 数字无法使(1)式成立，所以不能按这种情况来填．②6×9÷3＝18，还余下2，4，5，7 四个数字，这四个数字使(1)式成立有4 种填法，所以本题共有下面4 组答案（加数 之间和乘数之间也可互换）：第十讲几何计数一、数线段 我们把直线上两点间的部分称为线段。这两个点称为线段的终点。线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素。 例1：数一数下列图形中各有多少线段： A B C A B C D A B C D E（图一）（图二）（图三）分析：要想数出线段的总条数，就需要按照一定的顺序、 规律去观察、去数。我们可以按照两种顺序或规律去数。第一种：按照线段的端点顺序去数。如图一：线段最左边端点是A，即以A为端点的线段有AB、AC，共2条；以B为端点的线段有BC，共1条。所以，图一共有线段为2+1=3条（ AB、AC、 BC ） 图二：以A为端点的线段有AB、AC、AD，共3条；以B为端 点的线段有BC、BD，共2条；以C为端点的线段有CD，共1条。 所以，图二共有线段为3+2+1=6条（ AB、AC、AD、 BC、BD、CD、 ）图三：为10条第二种：按照基本线段多少的顺序去数。 所谓基本线段：是指一条大线段中，若有N个分点，则这条 大线段就被这N个分点分成了N+1个小线段，这每条小线段称为 基本线段。如图二，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三个基本线段。 那么，AD共有多少个线段呢？ 首先计算基本线段的个数：AB、BC、CD三个； 再计算包含两个基本线段的线段的个数：共有AC、BD两条再计算包含三个基本线段的线段个数：共有AD一条；所以：线段AD共有3+2+1=6条线段数线段公式：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点) （或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一 共分成的线段总数为n+(n-1)+?+2+1条（等差数列） 公式：线段数=n+(n-1)+?+2+1=（1+n）×n÷2=点数×（点数-1）÷2 例2：数线段解：线段AF上共有6个点，线段数=6 ×（6-1）÷2=15个二、数角 数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边。 即：角的个数=边数×（边数-1）÷2 例3：下图中各有多少个角？解：共有11个边，所以：角的个数=边数×（边数-1）÷2 =11×10÷2 =55二、数三角形 （一）共顶点只有一个公共底边的三角形数法： （1）底边包含多少个线段，就有多少个三角形。 如图（1），底边BC包含线段数=点数×（点数-1）÷2= 4 ×3÷2 =6 所以图（1）有6个三角形。 （2）顶点包含多少个角，就有多少个三角形。 如图（1），顶点A包含角的个数=边数×（边数-1）÷2= 4 ×3÷2 =6（二）有多条底边的三角形数法： 分开看各底边用之前方法进行计数，即：每一条底边分别 计算一次三角形个数，最后求和。 例4：求下图包含三角形个数：解：当GH为底边时，与顶点A共组成三角形的个数为：5×4÷2 =10个 当MN、BC为底边时，与顶点A共组成三角形的个数也同样 为10， 所以该图共包含30个三角形。练习题：下图有多少线段，多少个三角形？ 1. 2.3.（1） 解答：包含线段：（5×4÷2）×4+（5×4÷2）×5= 90包含三角形：（5×4÷2）×4 =40（2） 解答：包含线段： 6×5÷2+10+3= 28 包含三角形：6×5÷2×2+5=35 （3） 解答：包含线段：(8×7)÷2+8× 2+1=45 包含三角形： (8×7)÷2×2+7=63四、数长方形分析：图（1）中，长方形的个数与AB边上所分成的线段的 条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等 于AB边上线段的条数，即长方形的个数为：4+3+2+1=10条 图（2）中，AB边上所共有线段4+3+2+1=10条，BC边上所共有线段2+1=3条，把AB边上的每条线段作为长，BC边上每条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成了长方形，所以图（2） 有长方形：（4+3+2+1） × （2+1）=30个图（3）依据图（2）的方法计算，有长方形： （4+3+2+1） × （3+2+1）=60个 小结： 1.一般情况下，任一个长方形一边上有n+1个分点（包括这条边的两个端点），另一边上有m+1个分点（括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交， 这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为： （1+2+3+?+m）×（1+2+3+?+n）。 2.一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个。五、数正方形 一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形有：（n-1）×（n-1）= （n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有： 2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1 （个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽上 的每一份是相等的；且n＜m），那么正方形的总数为： mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）?1
六、数复杂图形中三角形 分析：这样的图形只能分类数，从边长 为一条基本线段的最小三角形开始数： （一）以一条基本线段为边长的三角形：1.尖朝上的三角形共有四层，总数为：1+2+3+4=10（个）2.尖朝下的三角形共有三层，总数为：1+2+3=6（个） 共16个 （二）以两条基本线段为边长的三角形： 1.尖朝上的三角形共有三层，总数为：1+2+3=6（个）2.尖朝下的三角形只有1个共7个（三）以三条基本线段为边长的三角形： 1.尖朝上的三角形共有两层，总数为：1+2=3（个） 2.尖朝下的三角形有0个 共3个（四）以四条基本线段为边长的三角形：只有1个 所以，三角形总数=16+7+3+1=（27）个我们还可以用另一种方法计算三角形个数：方法二：按照尖朝上和尖朝下两种分类情况计算三角形个数：（一）尖朝上的三角形共有四种： 1.以1个基本线段为底边，共有：1+2+3+4=10个 2.以2个基本线段为底边，共有：1+2+3=6个 3.以3个基本线段为底边，共有：1+2=3个4.以4个基本线段为底边，共有：1个尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20个（二）尖朝下的三角形共有两种： 1.以1个基本线段为底边，共有：1+2+3=6个 2.以2个基本线段为底边，共有：1个 3.以3个基本线段为底边，共有：0个4.以4个基本线段为底边，共有：0个尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7个 所以，共有三角形：20+7=27个尖朝上的三角形共有四种。每一种尖朝上的三角形个数都 是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最 大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个 连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止.尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和 少最大的两个加数，以此类推直到零为止.练习题：数一数下图中有多少个三角形？ 解：（一）尖朝上的三角形共有五种： 1.以1个基本线段为底边，共有：8+7+6+5+4=30个2.以2个基本线段为底边，共有：7+6+5+4=22个3.以3个基本线段为底边，共有：6+5+4=15个 4.以4个基本线段为底边，共有：5+4=9个 5.以5个基本线段为底边，共有：4个 尖朝上的三角形共有：30+22+15+9=4=80个（二）尖朝下的三角形共有两种： 1.以1个基本线段为底边，共有：3+4+5+6+7=25个 2.以2个基本线段为底边，共有： 2+3+4+5=14个 3.以3个基本线段为底边，共有： 1+2+3=6个4.以4个基本线段为底边，共有：1个尖朝下的三角形共有：25+14+6+1=46个 所以，共有三角形：80+46=126个六、数综合图形 我们已对较基本、简单的图形的数法作了较系统的研究， 寻找到了一般规律.而对于较复杂的图形即综合图形的数法， 我们仍需遵循不重复、不遗漏的原则，采用能按规律数的，按规律数，能按分类数的就按分类数，或者两者结合起来就一定能把图形数清楚了. 例：数一数有多少三角形？ 分析：图中有若干大小不同，形状各异， 但有规律的三角形，因此，适合分类来数。首先要找出三角形不同的种类？每种相同的三角形各有多少？
例：数一数有多少三角形？
第十一讲平均数公式：平均数=总数÷总份数（个数） *平均数一定大于或等于最小的，一定小于等于最大的。 求平均数窍门：先确定一个基准数，然后‘减少加多法’ 如：前进小学8个班去帮助农民摘豆角，每个班摘豆角的重 量分别是：55千克、50千克、48千克、54千克、49千克、53千 克、54千克、53千克。问平均每班摘豆角多少千克？先在这些数中确定一个基准数，50。然后把5个班分别比基准数多出的千克数加起来，并从中减去剩下那2个班比基准数 少的千克数，所得的数除以8，商再加上基准数，就是所求平 均数。例1：用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米，5厘 米，7厘米，8厘米，这4 个杯子水面平均高度是多少厘米？ 例2：小强的哥哥骑自行车旅游，第一天行32千米，第二天行41千米，第三天行44 千米，第四天行的路程比前三天的平均路程还多9千米，第四天行多少千米？ 例3：五（1）班有男生23人，平均体重38.5千克，女生27 人，平均体重36.5千克，这个班同学的平均体重是多少？ 【思考】平均数应是总数量与总份数的商。千万不要把2个平均体重相加，然后再除以2。例4：有五个数，平均数是9，如果把其中的一个数改为1， 那么这五个数的平均数是8，这个改动的数原来是多少？ 例5：平平在一次登山比赛中，上山每分钟行50米，18分钟 到山顶。从原路下山，每分钟行75米，求平平往返一次的平均速度是多少？【思考】要求往返一次的平均速度是多少，需先求出下山 用的时间，然后根据公式“平均速度=总路程÷总时间”计算。例6：下面一串数是一个等差数列：3、7、11、?，643.这串数的平均数是多少？ 【思考】等差数列的平均数等于这一串数的总和除以项数， 而等差数列的求和公式为（首项+末项）×项数÷2。所以等 差数列的平均数为（首项+末项）÷2，即头、尾两数的平均数。例7：一人骑自行车过桥，上桥速度为每小时12千米，下桥速度为每小时24千米，上、下桥的路程相等，且中间没有 停顿，这人骑车过这座桥的平均速度是多少？ 【思考】求上下桥的平均速度，就必须知道总路程和总时 间，但题中并没有出现。因此，可以用设数法设上、下桥的路程都是24千米，再求就容易了。例8：幼儿园20个男生、30个女生一起分饼干，男生每人 分10块，女生每人分的块数比男、女生平均分的块数多2块， 求一共分掉了多少块饼干。【思考】只要知道了男生、女生分得的平均数，再乘全班人数，就能求出饼干的总块数。因为女生每人分的比全班的 平均数多2块，30个女生一共比这个平均数多2×30=60块。而 这60块饼干平均分给男生，每人可分得60÷20=3块。因此， 全班每人平均分得10+3=13块，一共分掉了13×（20+30） =650块。第十二讲植树问题奥数知识 1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形：（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1.即：棵数=段数＋1； （2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等， 即：棵数=段数； （3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1.即：棵数=段数－1。2．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：棵数=段数。【例题1】 城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。这条路长多少米？【思路】题中已知栽树28棵，28棵树之间有28－1=27段，每隔6米为一段，所以这条大路长6×27=162米。 【例题2】在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一 棵，一共要栽多少棵树？ 【思路】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。240÷5=48（棵）【例题3】在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都 挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两 盏彩灯之间的距离。 【思路】大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2=101盏，101盏彩灯把800米长的大桥分成101－1=100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。 【例题4】一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分 锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。每根短木条 长多少米？【思路】根据题意，把长19－1=18米的木条锯了5次，可以锯成5＋1=6段，所以每根短木条长18÷6=3米。【例题5】有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层 走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10需要多少秒？ 【思路】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔，1层至3 层有两个时间间隔，所以每个间隔用去的时间是30÷（3－1）=15秒，3层到10层经过了10－3=7个时间间隔，所以，他从3层到10层需要15×7=105秒。 练习：1.同学们做早操，21个同学排成一排，每相邻两个 同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离是40米， 相邻两个人隔多少米？2.一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种多少棵杨树？3.一座长400米的大桥两旁挂彩灯，每两个相隔4米，从桥头到桥尾一共装了多少盏灯？4.一个木工锯一根长17米的木料，他先把一头损坏的部分 锯下来2米，然后锯了4次，锯成同样长的短木条，每根短木条 长几米？ 5.把6米长的木料平均锯成3段要6分钟，照这样计算，如果锯成6段，需要多少分钟？6.一游人以等速在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距 离都相等，他从第一棵树走到第10棵树用了11分钟，如果这个 游人走22分钟，应走到第几棵树？第十三讲数阵图在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的 数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙 无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫， 它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸 引力，以至有些人留连其中，用毕生的精 力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对 它都有着浓厚的兴趣。 那么，到底什么是数阵呢？我们先观 察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个 数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之 和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个 数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与 每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三 个数字之和都等于15，不信你就算算。上面两个图就是数阵图。准确地说： 数阵图是将一些数按照一定要求排列而 成的某种图形，有时简称数阵。例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中， 使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄 懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问 题。 分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的 三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它 叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之 和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了 两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。 因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都 等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 重叠数求出来了，其余各数就好填了例2 把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已 填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5， 而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所 以，必须先求出这个“和”。 根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有 重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1， 2， 3， 4中，只有1+4=2+ 3=5。例3 把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直 线上的三个数之和相等。分析：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。 因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数 只可能是1，3或5。 若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为 (15+1)÷2=8。 若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为 (15+3)÷2=9。 若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为 (15+5)÷2=10。由以上几例看出，求出重叠数是解决数 阵问题的关键。例4 将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使 得每条边上的三个数之和都等于10。分析：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不 知道重叠数。 因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是 (1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。 得到 [10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。 由此得出重叠数为 剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3， 6；4，5。可得右上图的填法。例5 将 10～20填入左下图的○内，其中15已填好， 使得每条边上的三个数字之和都相等。解：与例2类似，中间○内的15是重叠数，并且 重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于 [(10+11+?+20)+15×4]÷5=45。 剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的 有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于 是得到右上图的填法。知识点：例1～5都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。例4的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射型3―3图；例5有五条边每边有三个数，称为辐射型5―3图。一般地，有m条边，每边有n个数的形如 下图的图形称为辐射型m－n图。辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条 数”-1，即m-1。对于辐射型数阵图，有 已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之 和×直线条数。 由此得到： (1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于 (直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。 (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于 (已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例3。练习：1.将1～7这七个数分别填入左下图中的○里， 使每条直}