跪求「俺妹本子熟肉桐乃」的这2张原画! QAQ
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时间：2014-11-23 04:30
&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/691904& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&& data-name=&& data-poster=&https://pic3.zhimg.com/v2-3852e8fdda9b35d3ee68a4ace20c84bf.jpg& data-lens-id=&691904&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3852e8fdda9b35d3ee68a4ace20c84bf.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/691904&/span&
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f864ec40d834abdabd52df09_b.jpg& data-rawwidth=&1030& data-rawheight=&372& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1030& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f864ec40d834abdabd52df09_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&语言类：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10742 两句话分清主题和主语&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10703 「奥」字读「おく」是音读还是训读？&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10458 「基本」的反义词为什么是「応用」？&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10376 山东龙口话中「知庄章」组字的声母分合条件&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10340 三种「语基」搞定韩语用言活用&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10310 「道歉」还是「借口」？——那些恰好对调的「假朋友」们&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10269 App推介：“韵典”，电子版广韵&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10235 “汉字古今中外读音查询”3.0版发布！&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10226 “十六摄”顺序的由来&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10094 《施氏食狮史》中古汉语朗读&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10039 区分「は/?」「が/?」之道&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&9978 方言音系/韵母“存古度”的一种定量描述&/a&&/p&&p&9910 ~ 9918 我是怎样学习外语的 &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[英语篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[日语篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[韩语篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[西班牙语篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[法语篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[越南语及中古汉语篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[方法篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[答疑与资源篇]&/a&&/p&&h2&&b&数学类：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10935 梯度、散度、旋度、Jacobian、Hessian、Laplacian 的关系图&/a&&/p&&p&10809 ~ 10811 一种错误的洗牌算法，以及乱排常数 &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&(1)&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&(2)&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&(3)&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10784 小算法题，大应用：如何「掰平」一个不单调的序列？&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10716 身份证会有连号吗？&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10678 如何准确计算 log(1 - exp(-x))&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10597 超级任务、一致收敛与共产主义&/a&&/p&&p&10560 ~ 10561 怎样在球面上「均匀」排列许多点？ &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[上]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[下]&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10373 高中立体几何向量法全攻略&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10241 张大伯买米的暂态分析&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10170 Sprague-Grundy定理是怎么想出来的&/a&&/p&&p&10035 ~ 10037 赌徒的长征 &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[1.序言]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[2.递推法的困境]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[3.鞅的停时定理]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[4.会长大的笼子]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[5.靠谱的谱分析]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[6.尾声]&/a&&/p&&h2&&b&计算机类：&/b&&/h2&&p&10897 如何不重复地枚举 24 点算式？&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[上]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[中]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[下]&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10784 小算法题，大应用：如何「掰平」一个不单调的序列？&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10678 如何准确计算 log(1 - exp(-x))&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10676 怎样暴力读取二进制数据文件&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10584 二叉树怎样序列化才能重建&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10562 Windows 中输入法快捷键莫名消失&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10450 用 Unicode 分析韩文字词&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10394 用位运算速解 n 皇后问题&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10291 用Python忽略全部邀请&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10064 记第一次“黑客松”&/a&&/p&&h2&&b&机器学习类：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10859 在 glibc & 2.17 的系统上安装 TensorFlow&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10686 一次 CTC-RNN 调参经历&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10678 如何准确计算 log(1 - exp(-x))&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10320 CTC开山之作中的推导错误及更正&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&9987 用Theano实现Nesterov momentum的正确姿势&/a&&/p&&h2&&b&信号处理类：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10978 Yanny 还是 Laurel？共振峰骗了你&/a&&/p&&p&10877 「人耳对相位不敏感」到底是什么意思 &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[上]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[下]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[续]&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10492 你可曾听过位运算的天籁？&/a&&/p&&h2&&b&音乐类：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10724 我与钢琴的故事&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10285 「オレンジ」翻唱（四月是你的谎言）&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10272 「君がいない夏」春晚复刻版&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10130 《小幸运》歌词日文试译&/a&&/p&&h2&&b&旅游类：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10712 自驾去看日全食&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10592 参观美国高中&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10477 阿根廷采风：塑料瓶房子&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10299 华盛顿至匹兹堡骑行记&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10109 坎昆游记&/a&&/p&&h2&&b&其它干货：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10661 太阳为什么会跳「8字舞」？&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10565 我的联觉&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10281 漫谈“猴年马月”与“blue moon”&/a&&/p&&h2&&b&非干货：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10369 由阿里「月饼门」想开去&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10255 [已解决] 支付宝海外用户余额被冻结，转出无门&/a&&/p&
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-269d694ecc1dfd8bed6ef84cbebd3363_b.jpg& data-rawwidth=&1002& data-rawheight=&652& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1002& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-269d694ecc1dfd8bed6ef84cbebd3363_r.jpg&&&/figure&&p&.&/p&&p& 在这个春不暖花未开的时节，我又跟一道数学题杠上了：怎样在球面上「均匀」地排列许多点呢？&/p&&p& 这是一个很有实际意义的问题。比如我要测量地球上陆地的总面积。如果能在地球表面「均匀」地取 n 个点，那么我只要简单地数一下其中落在陆地上的点的个数 m，就可以知道陆地面积约占地球总表面积的 m/n 了。注意，按照一定的经纬度间隔，取经纬线的交点是不行的，因为这样取出的点不均匀：两极附近的点比赤道处更密集，如下图所示。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fbd3868ddabf207af0bcaa6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&385& data-rawheight=&391& class=&content_image& width=&385&&&/figure&&p& 要严格解决这个问题，首先要把直观感觉上的「均匀」用数学语言定义出来。一种定义方法是：让各点之间距离的最小值最大。这样定义出来的问题叫 &a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Tammes_problem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Tammes problem&/a&，是密铺问题（&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Packing_problems& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Packing problems&/a&）的一个特例。很不幸的是，密铺问题往往没有很优雅的解。另一种定义方法是：把各个点看成同种电荷，让整个系统的电势能最小。这个问题可以通过模拟电荷的运动来解决，但计算复杂度非常高，而且只能得到数值解。&/p&&p& 经过一番搜索，我在 StackOverflow 上找到了一种令我惊艳的近似解法：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//stackoverflow.com/questions/9600801/answer/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Evenly distributing n points on a sphere&/a&。这种解法只用几个简单的公式，就给出了每个点的坐标。设球面半径为 1，一共要取 N 个点，则第 n 个点的坐标&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_n%2C+y_n%2C+z_n%29& alt=&(x_n, y_n, z_n)& eeimg=&1&&由下列公式给出：&/p&&p& ★ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+z_n+%26%3D+%282n-1%29%2FN+-+1+%26+%281%29+%5C%5C+x_n+%26%3D+%5Csqrt%7B1+-+z_n%5E2%7D+%5Ccdot+%5Ccos%282+%5Cpi+n+%5Cphi%29+%26+%282%29+%5C%5C+y_n+%26%3D+%5Csqrt%7B1+-+z_n%5E2%7D+%5Ccdot+%5Csin%282+%5Cpi+n+%5Cphi%29+%26+%283%29+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align} z_n &= (2n-1)/N - 1 & (1) \\ x_n &= \sqrt{1 - z_n^2} \cdot \cos(2 \pi n \phi) & (2) \\ y_n &= \sqrt{1 - z_n^2} \cdot \sin(2 \pi n \phi) & (3) \end{align}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中常数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+%28%5Csqrt%7B5%7D+-+1%29+%2F+2+%5Capprox+0.618& alt=&\phi = (\sqrt{5} - 1) / 2 \approx 0.618& eeimg=&1&&正是黄金分割比。&/p&&p& 用这套公式生成 1000 个点的效果如下，它惊人地符合我们对「均匀」的预期：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-1e90eadcd10cb0ce7b0a5d8bf8c8d23a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&392& data-rawheight=&389& class=&content_image& width=&392&&&/figure&&p& 公式 (1~3) 生成的点阵，称为「&b&菲波那契网格&/b&」（Fibonacci lattice 或 Fibonacci grid）。至于为什么叫菲波那契网格，目前可以简单地用「黄金分割比也出现在菲波那契数列中」来解释，在下文中你还会见到菲波那契数的出现。这篇文章（&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download%3Fdoi%3D10.1.1.742.7550%26rep%3Drep1%26type%3Dpdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Measurement of areas on a sphere using Fibonacci and latitude–longitude lattices&/a&）说明，使用菲波那契网格测量球面上不规则图形的面积，与用经纬网格（并加权）相比，误差可以减小 40%。&/p&&p& 仔细观察上图中点的分布，可以发现它其实有好几条特点：&/p&&ol&&ol&&li&&b&均匀&/b&：宏观上看，各处点的密度都差不多；&/li&&li&&b&密集&/b&：各点之间没有较大的缝隙，以容纳更多的点而不减小点的间距；&/li&&li&&b&混乱&/b&：点的排列似乎有规律，但具体是什么规律又说不出来。&/li&&/ol&&/ol&&p&我们在说「均匀」的时候，其实是暗含了这三条性质的。&/p&&p& 公式 (1~3) 对于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&的值非常敏感。哪怕&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&稍微偏离黄金分割比一丁点儿，作出的图效果就不好。例如，下面三个图分别是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&取 0.616、0.617 和 0.619 时得到的点阵。可以看到，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+0.617& alt=&\phi = 0.617& eeimg=&1&&时点阵在两极处形成螺旋，在赤道附近形成条纹，不满足「混乱」；而左、右图两中的点不仅形成螺旋或条纹，而且间距还很大，连「密集」都不满足。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-8c3d898f17b0c638b007_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&918& data-rawheight=&323& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&918& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-8c3d898f17b0c638b007_r.jpg&&&/figure&&p& 一个很自然的问题就是：为什么公式 (1~3) 有这么神奇的效果呢？我们先来看看它到底做了什么。&/p&&p& 第一条公式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z_n+%3D+%282n-1%29%2FN-1& alt=&z_n = (2n-1)/N-1& eeimg=&1&&，说明各个点的&b&竖坐标成等差数列&/b&。这相当于把球面切成相同厚度的 N 层，并在每一层的厚度中点处的表面上取一个点。注意，各层的厚度相同，但纬度的跨度是不同的：两极处纬度的跨度更大。这样切出来的各层有一个性质：侧面积都相等。这是因为各层的侧面可以近似看成环面，在纬度为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&处，环面的半径为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos%5Ctheta& alt=&\cos\theta& eeimg=&1&&，而环面的宽度为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%2F%28N%5Ccos%5Ctheta%29& alt=&2/(N\cos\theta)& eeimg=&1&&（思考：为什么要除以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos%5Ctheta& alt=&\cos\theta& eeimg=&1&&？），故各环面的面积均为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=4%5Cpi%2FN& alt=&4\pi/N& eeimg=&1&&。这个性质保证了点阵分布在宏观上的均匀性：不管在什么纬度，都是每&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=4%5Cpi%2FN& alt=&4\pi/N& eeimg=&1&&面积上有一个点。&/p&&p& 第二、三条公式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+x_n+%26%3D+%5Csqrt%7B1+-+z_n%5E2%7D+%5Ccdot+%5Ccos%282+%5Cpi+n+%5Cphi%29+%5C%5C+y_n+%26%3D+%5Csqrt%7B1+-+z_n%5E2%7D+%5Ccdot+%5Csin%282+%5Cpi+n+%5Cphi%29+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align} x_n &= \sqrt{1 - z_n^2} \cdot \cos(2 \pi n \phi) \\ y_n &= \sqrt{1 - z_n^2} \cdot \sin(2 \pi n \phi) \end{align}& eeimg=&1&&，实际上就是指明了各个点的&b&经度成等差数列&/b&。也可以这样形象地理解：从每一个点到下一个点，首先沿着经线向上爬，使得竖坐标增加&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%2FN& alt=&2/N& eeimg=&1&&；然后沿着纬线转&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&圈。当然，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%5Capprox+0.618& alt=&\phi \approx 0.618& eeimg=&1&&比半圈大，只绕&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1+-+%5Cphi+%5Capprox+0.382& alt=&1 - \phi \approx 0.382& eeimg=&1&&圈也是可以的，如下图所示。这两个值对应的角度分别为 222.5 度和 137.5 度，它们是把 360 度黄金分割后的两部分，称为「黄金角」（&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Golden_angle& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Golden angle&/a&）。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-6bad2be51daed1df2616c7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&323& data-rawheight=&258& class=&content_image& width=&323&&&/figure&&p&&i&（图片取自：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//perswww.kuleuven.be/%7Eu0017946/publications/Papers97/art97a-Saff-Kuijlaars-MI/Saff-Kuijlaars-MathIntel97.pdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Distributing Many Points on a Sphere&/a&）&/i&&/p&&p& 正是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+%28%5Csqrt%7B5%7D+-+1%29+%2F+2+%5Capprox+0.618& alt=&\phi = (\sqrt{5} - 1) / 2 \approx 0.618& eeimg=&1&&这个常数让产生的点阵具有「密集」和「混乱」两条性质。这是为什么呢？我们观察前文中&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+0.619& alt=&\phi = 0.619& eeimg=&1&&时的点阵，它明显形成几乎沿经线方向的条纹，仔细数一下的话，这样的条纹共有 21 条。原来，0.619 十分接近于分数 13/21（注意啦，13 和 21 都是菲波那契数哦），后者的精确值为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=0.%5Cdot%7B6%7D1904%5Cdot%7B7%7D& alt=&0.\dot{6}1904\dot{7}& eeimg=&1&&。若每产生一个点转 0.619 圈，那么产生 21 个点一共就转过了差不多正好 13 圈。第 n 个点和第 n + 21 个点的经度十分接近，这就是条纹的来源。再看&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+0.616& alt=&\phi = 0.616& eeimg=&1&&时的点阵，它形成 13 条螺旋。这是因为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=0.616+%5Capprox+8%2F13+%3D+0.%5Cdot%7B6%7D1538%5Cdot%7B4%7D& alt=&0.616 \approx 8/13 = 0.\dot{6}1538\dot{4}& eeimg=&1&&（注意，8 和 13 也是菲波那契数），但误差比 0.619 和 13/21 大一些，所以条纹旋转了起来。从这两个例子我们可以发现，当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&接近分数 p/q 时，就会形成 q 条条纹或螺旋。要满足「密集」和「混乱」，就要选取不接近任何有理数的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&值。&/p&&p& 网上有许多科普资料，说明「黄金分割比是最难用有理数逼近的无理数」，或称「&b&最无理的无理数&/b&」，所以黄金角是能使得点阵最密集、最混乱的转角。说明方法一般是把黄金分割比&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&写成连分式（&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Continued fraction&/a&）：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-109930bed67bd06c34c749b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&218& data-rawheight=&155& class=&content_image& width=&218&&&/figure&&p&要用有理数逼近&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&，可以在连分式的任意一层截断，比如舍弃上式中省略号的部分。如果某一层分母的整数部分比较大，那么在这一层舍弃小数部分，误差就比较小。而黄金分割比的连分式中，每一层的分母都是 1，截断误差相对就比较大，故最难用有理数逼近。&/p&&p& 但这种解释，我总觉得不够直接。比如，我还想弄清下列问题：&/p&&ul&&ul&&li&当连分式中出现较大的项时，点阵会呈现怎样的分布？&/li&&li&为什么当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+0.617& alt=&\phi = 0.617& eeimg=&1&&时，点阵在两极和赤道处呈现出不同的有规律分布，而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&取黄金分割比时则呈现一片混乱？&/li&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+%28%5Csqrt%7B5%7D+-+1%29+%2F+2+%5Capprox+0.618& alt=&\phi = (\sqrt{5} - 1) / 2 \approx 0.618& eeimg=&1&&真的是最优值吗？我在试探的过程中发现&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+%5Csqrt%7B2%7D+-+1+%5Capprox+0.414& alt=&\phi = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414& eeimg=&1&&也不错（见下图对比），它比黄金分割比差在哪里？&/li&&/ul&&/ul&&p&这几个问题，我将在下一篇专栏中详细分析。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d767cd54b8d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&864& data-rawheight=&453& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&864& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d767cd54b8d_r.jpg&&&/figure&&p& 顺便说一下，在平面上也可以讨论怎样生成「均匀、密集、混乱」的点阵。一个与公式 (1~3) 类似的解答如下：&/p&&p& ★ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+x_n+%26%3D+%5Csqrt%7Bn%7D+%5Ccos%282%5Cpi+n+%5Cphi%29+%26+%284%29%5C%5C+y_n+%26%3D+%5Csqrt%7Bn%7D+%5Csin%282%5Cpi+n+%5Cphi%29+%26+%285%29+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align} x_n &= \sqrt{n} \cos(2\pi n \phi) & (4)\\ y_n &= \sqrt{n} \sin(2\pi n \phi) & (5) \end{align}& eeimg=&1&&&/p&&p&即第 n 个点落在半径为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7Bn%7D& alt=&\sqrt{n}& eeimg=&1&&的圆上，连续两点之间也是转过一个黄金角。半径&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7Bn%7D& alt=&\sqrt{n}& eeimg=&1&&中的根号保证了均匀（证明留给读者），黄金角保证了密集和混乱。(4,5) 两个公式描述的排列规律，在自然界中很常见，一个例子就是题图中向日葵的花序。&/p&&p& 与公式 (1~3) 不同，(4,5) 两式可以生成无穷多个点，它们排成一个越来越大的圆盘。这种无限使得 (4,5) 两式容易揭示更多规律，所以我下一篇中的分析将从平面点阵的分布入手。&/p&
. 在这个春不暖花未开的时节，我又跟一道数学题杠上了：怎样在球面上「均匀」地排列许多点呢？ 这是一个很有实际意义的问题。比如我要测量地球上陆地的总面积。如果能在地球表面「均匀」地取 n 个点，那么我只要简单地数一下其中落在陆地上的点的个数 m，就…
一位商人发现并买下了一块晶莹剔透、大如蛋黄的钻石。他请专家检验，专家大加赞赏，但为钻石中有道裂纹表示惋惜，并说：“如果沿裂纹切割成两块，能使钻石增值，只是一旦失败，损失就大了。”怎样切割这块钻石呢？商人咨询了很多切割师，他们都不愿动手，说是风险太大。&br&&br&后来，一位技艺高超的老切割师答应试试，他设计了周密的切割方案，然后指导年轻的徒弟动手操作。当着商人的面，徒弟一下子就把钻石切碎了。&br&&br&&br&……………………………………………………………………………&br&&br&&br&&br&商人向徒弟索取了巨额赔偿，徒弟不得不借了一笔高利贷。为了还清债务，徒弟决定去找他的哥哥帮忙。而商人则觉得买卖钻石风险太大，改行做起了珍珠生意。徒弟的哥哥告诉他：门与路，永远相连。门是路的起点，也是路的终点。门可以挡住你前进的脚步，也可以让你通向未来。从过去到未来，无数的脚步在这里交集，有的人走的很浅，有的人走的很深。徒弟问这是什么意思，哥哥说，想赚钱就要有门路。&br&&br&在哥哥的介绍下，徒弟和一群探险者来到光线暗淡、人迹罕至的洞穴里探险，洞穴里很神秘，他们点了几只蜡烛，发现里面竟然有一群色彩斑斓的蝴蝶。这种在黑暗的洞穴里还能进化成五颜六色的对进化论发出了无耻挑战的神奇物种肯定能卖很多钱，大家激动极了，他们欣赏了一会儿，发现没带捕捉工具，就先离开了。几天后，他们回到原地，想看看蝴蝶在不在，却发现蝴蝶已经栖居到更深更黑的地方去了。于是他们多走了几步，把蝴蝶都抓走了。&br&&br&&br&&br&……………………………………………………………………………&br&&br&&br&&br&徒弟分到了一只神奇的蝴蝶，他想带上蝴蝶去做鉴定，但是鉴定费太贵了，他听说为了丰富中小学生的课余生活，让同学们领略科技的魅力，过一把尖端科技的瘾，中科院某研究所推出了公众开放日系列科普活动。活动期间，科研人员特地设计了一个有趣的实验，让同学们亲手操作扫描式电子显微镜，观察蝴蝶的翅膀。他也偷偷混了进去，通过这台可以看清纳米尺度物体三维结构的显微镜，他惊奇地发现：原本色彩斑斓的蝴蝶翅膀竟然失去了色彩，显现出奇妙的凹凸不平的结构。工作人员说，原来，蝴蝶的翅膀本是无色的，只是因为具有特殊的微观结构，才会在光线的照射下呈现出缤纷的色彩.....他一生气就把那只蝴蝶丢了，但是出来后听说其他探险者都发了大财，把蝴蝶卖出了高价。原来扫描电镜是电子成像，而不是可见光成像，本身就是灰度图像。用通俗一点的话来说，它本来就是黑白相机，是根本不可能看到颜色的。&br&&br&徒弟绝望之下决定去跳崖自杀。徒弟跟着一群人去山上游玩，他打算看完风景就从山上跳下来。一行人在山脚遇到了下山的游客，问山上的风景，有人说好，有人说不好，于是有一部分人留在了山脚，另一部分人继续向上，在山腰处又碰到一批下山的游客，问山上的风景，有人说好，有人说不好，于是一部分人留在了山腰，一部分人继续前进，最后只有徒弟一个人到达了山顶，发现一片云海茫茫，远处山峰若隐若现。徒弟一看就剩他一个人了，要是跳崖肯定没人来拉住他，就下来了，临走前发誓再也不和天秤座一起出来玩了。&br&&br&……………………………………………………………………………&br&&br&&br&&br&徒弟为了赚钱写了一首诗投稿给杂志，他写道：我仰望着夜空，感到一阵惊恐；如果地球失去引力，我就会变成流星，无依无附在天宇飘行。哦，不能！为了拒绝这种“自由”，我愿变成一段树根，深深地扎进地层。编辑把他的稿退了，还留了一句话给他：植物的向地性是因为重力产生的，所以如果地球没有了引力，树的根还真不一定会往哪个方向长。&br&&br&徒弟的哥哥正在拍一部电影，为了拯救经济困难的弟弟，他把徒弟招进了剧组。在剧组中徒弟听到一位表演艺术家和一位剧作家就演员改动剧本台词一事，发表了不同的意见。表演艺术家说：演员是在演戏，不是念剧本，可以根据表演的需要改动台词。剧作家说：剧本是一剧之本，体现了作者的艺术追求；如果演员随意改动台词，就可能违背创作的原意。徒弟给他们出了一个主意，让他们边拍边商量，不要耽误时间。一个月后电影杀青了，叫天鸡之富春山居图。&br&&br&剧组解散了，徒弟又失业了，他的哥哥安慰他说，你看到了这马路上来来往往的车了吗？车有各种类型，车来车往，车传递着真情，承载着时代的变迁，折射人世的变化，道出人生的哲理。你就像一辆车，虽然现在还很青涩，但只要你努力下去，总会有开上秋名山的一天。徒弟茅塞顿开，重燃对生活的希望，两周后就被网警以传播淫秽色情制品的罪名抓了起来。&br&&br&……………………………………………………………………………&br&&br&&br&&br&生活中，大家往往努力做自己认为重要的事情，但世界上似乎还有更重要的事。对徒弟来说，成为一个老司机曾经是他的梦想，但是现在他只想还掉高利贷。&br&&br&徒弟又找到了他的哥哥，哥哥正在客厅和一个科学家聊天，科学家说：如果爱迪生来到21世纪，他一定会感到很新奇，他会觉得什么很新奇呢？哥哥说：手机一定让他觉得不可思议。科学家说：我同意，手机是信息时代的标志，就像一部掌上电脑，丰富的功能一定会让他感到新奇。徒弟忍不住插嘴说：可是爱迪生是一个聋子，他连电话都打不了。科学家和哥哥觉得很有道理，于是合力把徒弟赶了出去。&br&&br&&br&……………………………………………………………………………&br&&br&&br&&br&多年之后，徒弟事业无成，非常郁闷。一天他在海滩上遇到一位老人。老人抓起一把沙子扔在沙滩上，问“你能找到吗？”，徒弟说不能。老人又抓起一颗珍珠扔在沙滩上，问：“这回呢？”，徒弟捡起珍珠就跑了。
一位商人发现并买下了一块晶莹剔透、大如蛋黄的钻石。他请专家检验，专家大加赞赏，但为钻石中有道裂纹表示惋惜，并说：“如果沿裂纹切割成两块，能使钻石增值，只是一旦失败，损失就大了。”怎样切割这块钻石呢？商人咨询了很多切割师，他们都不愿动手，说…
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&p&清理一波手机图片&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b2d5b3adf6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&784& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b2d5b3adf6_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c261a7efb15d57bfe8ab62_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&444& data-rawheight=&540& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&444& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c261a7efb15d57bfe8ab62_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-01c8e5f8ed587dcefd5be3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&404& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-01c8e5f8ed587dcefd5be3_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-12e1c062dd91518ddb15160e07daf1b8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&488& data-rawheight=&185& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&488& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-12e1c062dd91518ddb15160e07daf1b8_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-84da04c8e2f3c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&633& data-rawheight=&633& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&633& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-84da04c8e2f3c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-becdaa2bcc85_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&514& data-rawheight=&558& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&514& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-becdaa2bcc85_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-feaea4e3cbaafeb6bf39ab605b1c9e2c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&514& data-rawheight=&759& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&514& 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src=&https://pic4.zhimg.com/v2-374d9db8bece13332e4eb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&578& data-rawheight=&471& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&578& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-374d9db8bece13332e4eb_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fc42f203ec_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-fc42f203ec_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-be751038bcd51d0dfa54f2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&776& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&776& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-be751038bcd51d0dfa54f2_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b1dc3a113832_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&876& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b1dc3a113832_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e6ef10f6be1a76bf4baffe_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&338& data-rawheight=&600& class=&content_image& width=&338&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-40d10a5d552e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&1160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-40d10a5d552e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bf6f8e2f852_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&1683& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bf6f8e2f852_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-831a3de38c4d5eb58f683b6c217d8978_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&1066& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-831a3de38c4d5eb58f683b6c217d8978_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fe20fd63d77_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&706& data-rawheight=&583& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&706& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fe20fd63d77_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a5c46b50688bdc88d71c5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&5976& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a5c46b50688bdc88d71c5_r.jpg&&&/figure&
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&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ca629e3baa8a45f800c24f7a65c39e76_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2929& data-rawheight=&1072& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2929& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ca629e3baa8a45f800c24f7a65c39e76_r.jpg&&&/figure&&p&想了解更多有趣的人工智能资讯？记得关注 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/c4f835f3f6ecae6f8738f1& data-hash=&c4f835f3f6ecae6f8738f1& data-hovercard=&p$b$c4f835f3f6ecae6f8738f1&&@景略集智&/a& &/p&&hr&&p&先说说故事背景：&/p&&p&前段时间谷歌的 Google Arts & Culture APP 添加了一个新功能，用户可以上传自己的自拍照，然后系统会将照片与艺术画作进行对比，匹配出一张和用户长得很像的画作中的人物肖像。&/p&&p&&br&&/p&&p&这个功能一经推出，就在社交网络上引起病毒式的传播，人们纷纷晒出自己的自拍匹配成果，效果看起来确实不错，APP 匹配出的人物肖像和人物自拍照相似度非常高：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1d2afa27bc8e4f0359587_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&710& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1d2afa27bc8e4f0359587_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-6a8fe72c642abbbdaf8580c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-6a8fe72c642abbbdaf8580c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&上面这些看起来都没什么毛病吧？&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-20a6f366b4a5afe5328e19b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&115& data-rawheight=&99& class=&content_image& width=&115&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这本来会是一波很美好的操作，直到一位叫 Biniam Bizuneh 的小伙愤怒地在推特上 Po 出了自己匹配结果的史诗级 bug：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-da4c99f281f72f7c3e277_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&433& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-da4c99f281f72f7c3e277_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e7d37cfcff512b0354a4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1250& data-rawheight=&917& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1250& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e7d37cfcff512b0354a4_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a5b1caafecae7f74de3ac9a6840cdf62_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&也不能怪人家小伙这么生气，毕竟这&b& 74 %&/b&的匹配率看着也的确太伤人了。&/p&&p&&br&&/p&&p&目前小伙这条推文下面，已是一片同情和安慰的海洋。很多人也顺道分享了一下自己不忍直视的匹配结果：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9d5b2bd3d93105a59cdb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&849& data-rawheight=&476& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&849& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-9d5b2bd3d93105a59cdb_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这个差的也太多了&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8fede902bd0b52fb42c51a3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&821& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-8fede902bd0b52fb42c51a3_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这么耿直的暴露人家秃顶的事实真的好么？&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&Google Art & Culture APP &/b&的这项新功能应用的正是人工智能领域的脸部识别技术，可以检测人脸的特征，将一个人和另一个人相区分。&/p&&p&&br&&/p&&p&这个过程听起来很简单，但实际上 AI 要首先学习很多东西：&b&在识别出照片中的人脸后，为了更好的读取数据，通常还得调整大小和方向，因为很多时候用户自拍时离摄像头太近，导致人脸出现扭曲。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&AI 在重新调整人脸的大小和方向后，接着会创建一个“脸部指纹”，是独特描述一个人脸部的一组数据特征，比如脸部器官之间的距离，眼睛大小，鼻子形状等。然后可以将其同其它一张照片或包含很多张照片的数据集进行比较。&/p&&p&&br&&/p&&p&在Google Art & Culture APP 新添的这个功能里，用户将自拍上传至应用后，AI 会将照片与后台包含了7万张艺术画作照片的庞大数据库进行比较，然后匹配出类似的人物肖像。&/p&&p&&br&&/p&&p&其实谷歌早在几年前就发布了人脸识别技术，2015 年时准确率就已达到 99.63 %，其它公司如 Facebook 的人脸识别技术准确率也达到了 97.25 %。但这个系统仍不完美，比如谷歌的 FaceNet 在 2015 年就曾错误地将两名非裔美国人标注为大猩猩，这次推特用户 Biniam Bizuneh 的不幸遭遇也说明人脸识别技术会偶尔“扑街”。&/p&&p&&br&&/p&&p&可能也是因为脸部识别技术的这项新操作尚不成熟，目前只有美国部分地区的用户可以体验 Google Art & Culture APP 的这个新功能，谷歌表示会在改进技术后向更多国家和地区的用户开放。&/p&&p&&br&&/p&&p&希望他们早点改掉这些 bug 吧&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-04fcb7a07dcd09bafae50_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&hr&&p&&i&参考资料：&/i&&/p&&p&&i&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.inverse.com/article/40177-google-arts-and-culture-technology& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&inverse.com/article/401&/span&&span class=&invisible&&77-google-arts-and-culture-technology&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/i&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-06f4e1cfcf44_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-06f4e1cfcf44_r.jpg&&&/figure&
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先说说故事背景：前段时间谷歌的 Google Arts & Culture APP 添加了一个新功能，用户可以上传自己的自拍照，然后系统会将照片与艺术画作进行对比，匹配出一张和用户长得很像的画作中的人物肖像。 这个功…
&p&有一道网上流传的趣题：有2男2女，每个人都各自携带不同的性病，而且传染性都很强。如果每个男的和每个女的都发生性关系，但是现在只有2个套套，请问怎样操作才能让每个人都不会感染别人的病？&/p&&p&事实上这是一道极为精彩的数学题，这背后的数学结构非常美妙，也非常具有启发性质。很多看起来很无聊的数学问题，最终都能在计算机、物理学、运筹学等很多学科中有意想不到的应用。比如这道题属于离散数学分支图论，在密码学、计算机通讯与信息安全等领域可能有所应用。&/p&&p&这道题的本意并不是啪啪，比如我可以改为：在只有两个手套的情况下，两个医生分别对两个病人互相做手术。当然严格上这样改动是有问题的，详情见文章末尾。因此本文章通篇将会以性交的模式来阐述这个数学问题。&/p&&p&这道题的答案是：&/p&&p&第一步：男一号先戴上套套A，然后外面套上套套B，与女一号啪啪；&/p&&p&第二步：男一号脱掉套套B，与女二号啪啪；&/p&&p&第三步：男二号戴上套套B（套套B的内侧是干净的），与女一号啪啪；&/p&&p&第四步：男二号外面再套上套套A，与女二号啪啪。&/p&&p&这样无论如何都无法感染性病。&/p&&p&原题是没有注解的，我有必要加上五个注解：&/p&&p&①允许套套多层叠加用，但不允许套套翻过来反着用；&/p&&p&②套套可以重复使用；&/p&&p&③阴茎接触到其他男人的精液也会使得该男子感染其他男人的性病；女性之间同理；&/p&&p&④只能异性之间发生性关系，评论区有人提到男性与男性之间的交配，我们暂时不考虑；&/p&&p&⑤这道题是在&b&理想情况&/b&下研究&b&纯数学问题&/b&，评论区有大量“两个套套容易破”“避孕套不能百分百防止性病”“为什么不用水洗一下套套”等内容，这并不是本篇文章的核心。请记住这本质上是一个数学问题。&/p&&p&我看到这道题的时候一开始没想出怎么做，后来一看答案才啧啧称奇。&/p&&p&我不禁想，如果推广一下：现在有n对男女，每个人都各自携带不同的性病，而且传染性都很强。如果每个男的对每个女的都发生性关系，最少需要多少个套套，才能使得他们不感染呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&以下的内容是我的探索过程，讲述的是我是如何把下界一步步缩小，从一开始的4*n?，到3n，到2n，到2n-1，到2n-2，到1.5n，到(4/3)n+2，直到目前确定的下界是(4/3)n+2/3个套套（我仍然不知道这是不是最小的下界）。这其中难免走了很多弯路，如果你觉得太长，或者说你觉得没意义（当然我是觉得有意义的），可以绕到最后看我的最终答案以及解释。如果中途有答案看不懂也没关系，因为对于这道题来说，给出的答案越小，思路反而越简单，这就是数学的魅力。&/b&&/p&&p&&b&温馨提示：如果你想绕到最后看我的最终答案，为了节省你的时间，请认准三行“***********”标志，该标志往下即最终答案。如果是一行或者两行星号标志的，（虽然不是最终答案）是比较推荐读者看的内容。&/b&&/p&&p&&b&（值得一提的是，我在发出文章的24小时内，不断有网友提出新思路，下界不断地刷新，“***********”标志也不断地下移）&/b&&/p&&p&n=2的情况已经在开始考虑过了。&/p&&p&我们来看一下n=3的情况，有如下六个人：&/p&&p&男1号
女1号&/p&&p&男2号
女2号&/p&&p&男3号
女3号&/p&&p&我花了半小时枚举，得出3个套套是不够的，4个套套是可行的。过程如下：&/p&&p&第一步：男一》TB》TA》女一，这表示男一号戴着套套B，然后外面再套上套套A，与女一号啪啪。&/p&&p&剩下的八步也是如此表示：&/p&&p&男一》TB》女二
； &/p&&p&男三》TC》TA》女一
； &/p&&p&男三》TC》女三
； &/p&&p&男二》TA》女一
； &/p&&p&男一》TB》TC》女三
&/p&&p&男二》TA》TB》TC》女三
&/p&&p&男三》TD》女二
； &/p&&p&男二》TA》TD》女二。&/p&&p&我们再来看一下n=4的情况，有如下八个人：&/p&&p&男1 女1&/p&&p&男2 女2&/p&&p&男3 女3&/p&&p&男4 女4&/p&&p&我们可以分为四个步骤：&/p&&p&第一个步骤：&/p&&p&男1 女1&/p&&p&男2 女2&/p&&p&这是两对男女，我们根据一开始的讨论得出，只需要2个套套即可完成互相交配而又不感染性别。&/p&&p&第二个步骤：&/p&&p&男1 女3&/p&&p&男2 女4&/p&&p&第三个步骤：&/p&&p&男3 女1&/p&&p&男4 女2&/p&&p&第四个步骤：&/p&&p&男3 女3&/p&&p&男4 女4&/p&&p&每个步骤需要2个套套，4个步骤需要8个套套。因此，对于4对男女，只需要8个套套。&/p&&p&但是这个结果是很粗糙的，我觉得8个套套太多了。有没有更好的办法？我尝试通过枚举法来找到比8更小的值，尝试了一个小时后发现这个过程太艰辛了，就放弃了。不过我的直觉是，对于4对男女的情况，真正的下界应该比8小。&/p&&p&因此目前的结果是：&/p&&p&2对男女，2个套套足够；&/p&&p&3对男女，4个套套足够；&/p&&p&4对男女，8个套套足够。&/p&&p&我可以拓展下：&/p&&p&根据上面的讨论，n=4时，我们分了四个组，即四个步骤。同样的道理：&/p&&p&当n=6时，我们可以像n=4一样进行两两配对，两对男女为一组，这样的组数是9组，正好是3的平方。（男1，男2，女1，女2）、（男1、男2、女3、女4）、（男1、男2、女5、女6）、（男3，男4，女1，女2）、（男3、男4、女3、女4）、（男3、男4、女5、女6）、（男5，男6，女1，女2）、（男5、男6、女3、女4）、（男5、男6、女5、女6）。&/p&&p&每个组需要2个套套，这样一来，全部需要2*3?个套套。&/p&&p&继续拓展：当有2n对男女时，需要的套套数是2*n?。如果是奇数的情况，我没有想到好的方法，不过如果当做下一个偶数的情况算，至少可以保证满足的。&/p&&p&比如当有12对男女时，需要72个套套。&/p&&p&另一个拓展思路是，我们能不能换一种分组的方式？&/p&&p&比如n=6时，我们作如下的分组：&/p&&p&（男1、男2、男3、女1、女2、女3）、（男1、男2、男3、女4、女5、女6）、（男4、男5、男6、女1、女2、女3）、（男4、男5、男6、女4、女5、女6）。&/p&&p&一共四组。根据n=3的讨论，3对男女需要4个套套，因此四组的情况是，需要16个套套。我们发现按三个分组比按两个分组更优。&/p&&p&一般化，当有3n对男女时，需要的套套数是4*n?。如果是3n-1或者3n-2的情况，我目前没有想到好方法，只能按照3n的情况算。&/p&&p&&br&&/p&&p&但是这样的结果还是太差，有没有更好的下界？&/p&&p&注意：当n&2时，男女交配问题与医生手套问题&b&不等价&/b&。&b&因为不同的医生戴相同的手套是没事的，但不同的男性戴相同的套套会发生感染。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&我在睡觉前一直在想这个问题，到凌晨三点突然灵光一现，想到了一个新的思路：3n是可行的。&/b&（我是在思考“套多层套套的意义是什么？”这个问题中想到如下解法）&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ba7ef5bacdd2c7c06ef34bc_b.jpg& data-rawwidth=&4185& data-rawheight=&2177& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4185& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ba7ef5bacdd2c7c06ef34bc_r.jpg&&&/figure&&p&如图，我们随机把n个男性与n位女性进行缘分配对，一共配对成为n对“情侣”。每对情侣有三个套套：A、B、C，每个套套的功能是不一样的，我在下面有说明。&/p&&p&（根据评论区的情况，可能有人没看懂下面的过程，为了更加形象地说明我的结论，我假定有n个房间，第一对情侣在第一个房间，第二对情侣在第二个房间……等等）&/p&&p&首先，n对情侣可以在自己的房间里啪啪一次。以男一号为例，男一号与女一号在1号房间相处二人世界，男穿上套套B1，与女一号啪啪。同理，其他男性也是穿上各自的套套B，在各自的房间与各自的情侣啪啪。&/p&&p&接下来，当男一号想要和其他女性啪啪时，他首先得在自己的房间里穿上套B1，然后再穿上套A1，再去其他房间敲门。&/p&&p&为什么要套上A1？这样的作用是防止套B1的外层受到感染，因为套B1的外层只能有女一号的液体与病毒，不管经过多少次交配，B1的外层只能是女一号的病毒专属；&/p&&p&去其他房间敲门之后（我们假设他要去第二个房间，即想要和女二号交配），2号房间的门口有一个套套C2，男一号目前已经穿上B1与A1了，他还需要在门口穿上C2，进门后，再穿上B2。这样套了四个套套，才能和女二号啪啪。C2的作用是防止B2的内部受到感染，因为B2的内层（即B2套套里面）只能有男二号的液体与病毒，即B2的内层只是男二号专属。&/p&&p&事实上，每个房间的门口都放有属于各自的套套C。进门之前得穿上，啪啪完事后出门后得放回门口。&/p&&p&这样下来，所有情侣的套套B都不会受到感染，且所有的情侣之间都可以互相交配……&/p&&p&我再重复一遍，以男一号为例：套套A1是用来保护套套B1的外层不受其他病毒感染，套套B1的外层只能有女一号的病毒；套套C1是用来保护套套B1的内层不受其他病毒感染，套套B1的内层只能有男一号的病毒。&/p&&p&对于其他的“情侣”，也是类似的过程。套套A是保护套套B的外层，套套C是用来保护套套B的里面。&/p&&p&所以对于n对男女，3n个套套可以保证互相交配而又不感染性病。&/p&&p&但是直觉告诉我，3n这个下界可能还不够好。&/p&&p&&b&的确，在我发出回答后的不到四个小时，马上有评论区的朋友告诉我，2n是可行的&/b&：&br&&br&每个女的自身准备一个自己的专属套套，每个男的自身自备一个自己的专属套套。啪啪时，男的先戴好自己的专属套套，然后再戴上性交对象的专属套套即可。&/p&&p&比如，女二号的专属套套是A2，男八号的专属套套是B8，那么男八号与女二号要啪啪的话，需要男八号先戴上B8，再戴上A2。&br&&br&这样一来，只需要2n个套套，大家就可以愉快地互相玩耍。&br&&br&是不是很简单？是我一开始把问题想复杂了。&br&&br&&b&接着不到两小时，又有评论区的朋友指出，2n-1是可行的。&/b&&/p&&p&还是一样的情况，每个女性有自身的专属套套；然后选n-1个男性，每个男性有自己的专属套套。剩下那个男性先上场，对每一个妹子，使用那个妹子的专属套套，等到那个男性结束后，他的使命就完成了，可以离开游戏了。于是n-1个男性带着各自自己的专属套套上场。接下来的事情就和上面所说的2n的答案一样的构造了。&/p&&p&但是，这个结果能不能再小一点呢？&/p&&p&我猜测下界应该是2n-2。&/p&&p&&b&终于，在我发出这篇文章的10小时的时候，我突然迸发了一个崭新的灵感：2n-2是可行的。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e143a67bb_b.jpg& data-rawwidth=&3609& data-rawheight=&1225& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3609& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e143a67bb_r.jpg&&&/figure&&p&首先还是得先配对：每一个男性i都有自己的专属套套Bi。比如男1号有专属套套B1，男2号有专属套套B2……&/p&&p&第一步:男i号(i∈{2,3,……n})》Bi》B1》女1号。 （n-1） &/p&&p&这代表男i号（第2号男人到第n号男人的其中一个），先戴上套套Bi（即自己的专属套套），然后再戴上套套B1，接着就能和女1号啪啪了。（n-1）表示在第一步中，发生了n-1次不同的有效的交配，这里是第2号男人到第n号男人都和女一号啪啪了，所以共有n-1次交配。（注意：n对男女共需要完成n?次不同的有效交配）&/p&&p&第二步：男i号（i∈{1,2,3,……n}）》Bi》女i号。 （n），女1 号over&/p&&p&这代表所有男人分别用自己的专属套套与对应编号的妹子进行交配，通俗点来说，就是男1号用套套B1与女1号啪啪，男2号用套套B2与女2号啪啪……（n）表示这一步发生了n次有效交配。“女1 号over”表示截止到这一步，女一号已经完成了所有的使命。&/p&&p&第三步：男i号(i∈{1,2,3,……n-1})》Bi》Bn》女n号。 （n-1），女n号 over&/p&&p&第四步：男n号》Ci(i∈{2,3,……n-1})》女i号。 （n-2），男n号 over&/p&&p&注：这里是C是新的套套，共有n-2个C类套套。加上之前n个B类套套，一共2n-2个套套，即是本题答案。&/p&&p&第五步：男i号(i∈{1,2,3,……n-1})》Bi》Cj(j∈{2,3,……n-1})》女j号。&/p&&p&这一步共有[n-2+(n-3)*(n-2) ]次有效交配。其中男1号只需和n-2个女性交配了，男2号到男n-1号只需和n-3个女性交配了。&/p&&p&所以，所有的交配过程都已经完成了。我们可以相加所有的交配次数，发现正是等于n?。&/p&&p&*********************************&br&&/p&&p&这还没有完，让我自愧不如的是，在我给出如上2n-2的答案后，即在我发出文章的16小时后，&b&有评论区的朋友&/b& &a class=&member_mention& href=&http://www.zhihu.com/people/25ae76c0b9e& data-hash=&25ae76c0b9e& data-hovercard=&p$b$25ae76c0b9e&&@team bright&/a& &b&给出更简单的算法，虽然还是2n-2的答案，但过程比我上面的方法简单多了&/b&：&/p&&p&&br&&/p&&p&一开始还是一样的思路：前n-1个男性有自己的专属套套，前n-1个女性有自己的专属套套。&/p&&p&第一步：这n-1对男女两两配对，这样可以有（n-1）?次有效配对。&/p&&p&第二步：前n-1个男性各自用自己的专属套套与第n个女性配对，这一步有（n-1）次有效配对。&/p&&p&第三步：前n-1个女性各自用自己的专属套套与第n个男性配对，这一步有（n-1）次有效配对。&/p&&p&第四步：第n个男性穿上女1号的专属套套（事实上他可以穿上前n-1个女性的任何一个套套），然后穿上男1号的专属套套，这样就可以与第n个女性交配了。这是最后一次配对。&/p&&p&这是目前为止我最满意的答案。&/p&&p&不过，有没有比2n-2更小的答案呢？&/p&&p&我认为应该没有了。因为2对男女至少要2个套套，3对男女至少要4个套套，4对男女至少要6个套套，都是符合2n-2的。&/p&&p&&br&&/p&&p&*********************************&/p&&p&&br&&/p&&p&*********************************&/p&&p&但是，然而，不过，我又一次被打脸了！&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&在我发出文章的24小时后，有评论区的朋友&/b& &a class=&member_mention& href=&http://www.zhihu.com/people/e175db650c708a5cbe3daa& data-hash=&e175db650c708a5cbe3daa& data-hovercard=&p$b$e175db650c708a5cbe3daa&&@拒绝咖啡&/a& &b&提出1.5n是可行的下界！&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&为了方便读者阅读，我写了两个版本：简单版本和复杂版本。两个版本的本质是一样的，只是描述方式的不同。&/p&&p&下面是简单版本，如果没看懂的话可以跳过，去看复杂版本：&/p&&p&男的等分为两组ab，女的等分为两组AB。每一组有n/2个人。&/p&&p&每个女的有专属套套，在a组里的每个男的有专属套套。这样一共就有1.5n个套套了。&/p&&p&第一步：a组男人穿上自己的专属套套，再分别穿上每个女的专属套套，和每个女的交配一遍，即a组男性与所有女性自由交配；&/p&&p&第二步：a组男人走人，但是套套留下。注意到，a组的套套外侧都是干净的，且所有女性的专属套套的内侧都是干净的！把A组女性的专属套套变成b组男性的专属套套，把a组男性的专属套套变成A组女性的专属套套；&/p&&p&第三步：b组男性与所有女性可以自由交配。&/p&&p&这样全部过程就算完成了。&/p&&p&&br&&/p&&p&下面是复杂版本：保证你能看懂。如果你觉得不想看的话可以回去看简单版本：&/p&&p&假设有n对男女，n是偶数。那我们设n=2m。于是变成了2m对男女。&/p&&p&第1步：给女1、女2、……、女2m 每个女性发一个套套，成为他们的专属套套B，然后给男1、男2、……、男m每人发一个套，成为他们的专属套套C（如图）。那么这前m个男性 和所有2m个女性可以自由玩耍。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ea9bac7dea8f517cb09531ccda68dd7e_b.jpg& data-rawwidth=&4216& data-rawheight=&1280& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4216& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ea9bac7dea8f517cb09531ccda68dd7e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这一步共发生了2m?次交配。然后男1号到男m号的使命都已经完成了，但是他们的套套C的外面还是干净的，后面还需要用到。&/p&&p&第2步我们分为m次小步骤来完成：&/p&&p&第2.1步：男（m+1）号》B1》B(m+j) 》女（m+j）号。其中j 取从1到m的m个整数。&/p&&p&比如，男m+1号，先穿着套套B1，再穿上套套B(m+1) ，和女(m+1) 号啪啪。&/p&&p&然后，他脱下套套B(m+1) ，再穿上套套B(m+2) ，和女(m+2) 号啪啪。&/p&&p&这样，男m+1号可以和女m+1号到女2m号啪啪，这一步共发生了m次交配。&/p&&p&第2.2步，男（m+2）号》B2》B(m+j) 》女（m+j）号。和2.1步类似，这一步是让男m+2爽一遍，这一步也是发生了m次交配。&/p&&p&这样的步骤可以持续到第2.m步，第2.m步是：男（m+m）号》Bm》B(m+j) 》女（m+j）号。&/p&&p&因此，整个第2步发生了m?次交配。&/p&&p&第3步：我们注意到，套套C的外面还是干净的}
&img class=&thumbnail& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3852e8fdda9b35d3ee68a4ace20c84bf.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/691904&/span&
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f864ec40d834abdabd52df09_b.jpg& data-rawwidth=&1030& data-rawheight=&372& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1030& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f864ec40d834abdabd52df09_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&语言类：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10742 两句话分清主题和主语&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10703 「奥」字读「おく」是音读还是训读？&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10458 「基本」的反义词为什么是「応用」？&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10376 山东龙口话中「知庄章」组字的声母分合条件&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10340 三种「语基」搞定韩语用言活用&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10310 「道歉」还是「借口」？——那些恰好对调的「假朋友」们&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10269 App推介：“韵典”，电子版广韵&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10235 “汉字古今中外读音查询”3.0版发布！&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10226 “十六摄”顺序的由来&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10094 《施氏食狮史》中古汉语朗读&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10039 区分「は/?」「が/?」之道&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&9978 方言音系/韵母“存古度”的一种定量描述&/a&&/p&&p&9910 ~ 9918 我是怎样学习外语的 &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[英语篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[日语篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[韩语篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[西班牙语篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[法语篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[越南语及中古汉语篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[方法篇]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[答疑与资源篇]&/a&&/p&&h2&&b&数学类：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10935 梯度、散度、旋度、Jacobian、Hessian、Laplacian 的关系图&/a&&/p&&p&10809 ~ 10811 一种错误的洗牌算法，以及乱排常数 &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&(1)&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&(2)&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&(3)&/a& &/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10784 小算法题，大应用：如何「掰平」一个不单调的序列？&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10716 身份证会有连号吗？&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10678 如何准确计算 log(1 - exp(-x))&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10597 超级任务、一致收敛与共产主义&/a&&/p&&p&10560 ~ 10561 怎样在球面上「均匀」排列许多点？ &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[上]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[下]&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10373 高中立体几何向量法全攻略&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10241 张大伯买米的暂态分析&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10170 Sprague-Grundy定理是怎么想出来的&/a&&/p&&p&10035 ~ 10037 赌徒的长征 &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[1.序言]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[2.递推法的困境]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[3.鞅的停时定理]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[4.会长大的笼子]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[5.靠谱的谱分析]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[6.尾声]&/a&&/p&&h2&&b&计算机类：&/b&&/h2&&p&10897 如何不重复地枚举 24 点算式？&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[上]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[中]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[下]&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10784 小算法题，大应用：如何「掰平」一个不单调的序列？&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10678 如何准确计算 log(1 - exp(-x))&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10676 怎样暴力读取二进制数据文件&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10584 二叉树怎样序列化才能重建&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10562 Windows 中输入法快捷键莫名消失&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10450 用 Unicode 分析韩文字词&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10394 用位运算速解 n 皇后问题&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10291 用Python忽略全部邀请&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10064 记第一次“黑客松”&/a&&/p&&h2&&b&机器学习类：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10859 在 glibc & 2.17 的系统上安装 TensorFlow&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10686 一次 CTC-RNN 调参经历&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10678 如何准确计算 log(1 - exp(-x))&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10320 CTC开山之作中的推导错误及更正&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&9987 用Theano实现Nesterov momentum的正确姿势&/a&&/p&&h2&&b&信号处理类：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10978 Yanny 还是 Laurel？共振峰骗了你&/a&&/p&&p&10877 「人耳对相位不敏感」到底是什么意思 &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[上]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[下]&/a& &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&[续]&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10492 你可曾听过位运算的天籁？&/a&&/p&&h2&&b&音乐类：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10724 我与钢琴的故事&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10285 「オレンジ」翻唱（四月是你的谎言）&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10272 「君がいない夏」春晚复刻版&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10130 《小幸运》歌词日文试译&/a&&/p&&h2&&b&旅游类：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10712 自驾去看日全食&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10592 参观美国高中&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10477 阿根廷采风：塑料瓶房子&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10299 华盛顿至匹兹堡骑行记&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10109 坎昆游记&/a&&/p&&h2&&b&其它干货：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10661 太阳为什么会跳「8字舞」？&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10565 我的联觉&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10281 漫谈“猴年马月”与“blue moon”&/a&&/p&&h2&&b&非干货：&/b&&/h2&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10369 由阿里「月饼门」想开去&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&10255 [已解决] 支付宝海外用户余额被冻结，转出无门&/a&&/p&
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-269d694ecc1dfd8bed6ef84cbebd3363_b.jpg& data-rawwidth=&1002& data-rawheight=&652& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1002& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-269d694ecc1dfd8bed6ef84cbebd3363_r.jpg&&&/figure&&p&.&/p&&p& 在这个春不暖花未开的时节，我又跟一道数学题杠上了：怎样在球面上「均匀」地排列许多点呢？&/p&&p& 这是一个很有实际意义的问题。比如我要测量地球上陆地的总面积。如果能在地球表面「均匀」地取 n 个点，那么我只要简单地数一下其中落在陆地上的点的个数 m，就可以知道陆地面积约占地球总表面积的 m/n 了。注意，按照一定的经纬度间隔，取经纬线的交点是不行的，因为这样取出的点不均匀：两极附近的点比赤道处更密集，如下图所示。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fbd3868ddabf207af0bcaa6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&385& data-rawheight=&391& class=&content_image& width=&385&&&/figure&&p& 要严格解决这个问题，首先要把直观感觉上的「均匀」用数学语言定义出来。一种定义方法是：让各点之间距离的最小值最大。这样定义出来的问题叫 &a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Tammes_problem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Tammes problem&/a&，是密铺问题（&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Packing_problems& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Packing problems&/a&）的一个特例。很不幸的是，密铺问题往往没有很优雅的解。另一种定义方法是：把各个点看成同种电荷，让整个系统的电势能最小。这个问题可以通过模拟电荷的运动来解决，但计算复杂度非常高，而且只能得到数值解。&/p&&p& 经过一番搜索，我在 StackOverflow 上找到了一种令我惊艳的近似解法：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//stackoverflow.com/questions/9600801/answer/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Evenly distributing n points on a sphere&/a&。这种解法只用几个简单的公式，就给出了每个点的坐标。设球面半径为 1，一共要取 N 个点，则第 n 个点的坐标&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_n%2C+y_n%2C+z_n%29& alt=&(x_n, y_n, z_n)& eeimg=&1&&由下列公式给出：&/p&&p& ★ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+z_n+%26%3D+%282n-1%29%2FN+-+1+%26+%281%29+%5C%5C+x_n+%26%3D+%5Csqrt%7B1+-+z_n%5E2%7D+%5Ccdot+%5Ccos%282+%5Cpi+n+%5Cphi%29+%26+%282%29+%5C%5C+y_n+%26%3D+%5Csqrt%7B1+-+z_n%5E2%7D+%5Ccdot+%5Csin%282+%5Cpi+n+%5Cphi%29+%26+%283%29+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align} z_n &= (2n-1)/N - 1 & (1) \\ x_n &= \sqrt{1 - z_n^2} \cdot \cos(2 \pi n \phi) & (2) \\ y_n &= \sqrt{1 - z_n^2} \cdot \sin(2 \pi n \phi) & (3) \end{align}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中常数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+%28%5Csqrt%7B5%7D+-+1%29+%2F+2+%5Capprox+0.618& alt=&\phi = (\sqrt{5} - 1) / 2 \approx 0.618& eeimg=&1&&正是黄金分割比。&/p&&p& 用这套公式生成 1000 个点的效果如下，它惊人地符合我们对「均匀」的预期：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-1e90eadcd10cb0ce7b0a5d8bf8c8d23a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&392& data-rawheight=&389& class=&content_image& width=&392&&&/figure&&p& 公式 (1~3) 生成的点阵，称为「&b&菲波那契网格&/b&」（Fibonacci lattice 或 Fibonacci grid）。至于为什么叫菲波那契网格，目前可以简单地用「黄金分割比也出现在菲波那契数列中」来解释，在下文中你还会见到菲波那契数的出现。这篇文章（&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download%3Fdoi%3D10.1.1.742.7550%26rep%3Drep1%26type%3Dpdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Measurement of areas on a sphere using Fibonacci and latitude–longitude lattices&/a&）说明，使用菲波那契网格测量球面上不规则图形的面积，与用经纬网格（并加权）相比，误差可以减小 40%。&/p&&p& 仔细观察上图中点的分布，可以发现它其实有好几条特点：&/p&&ol&&ol&&li&&b&均匀&/b&：宏观上看，各处点的密度都差不多；&/li&&li&&b&密集&/b&：各点之间没有较大的缝隙，以容纳更多的点而不减小点的间距；&/li&&li&&b&混乱&/b&：点的排列似乎有规律，但具体是什么规律又说不出来。&/li&&/ol&&/ol&&p&我们在说「均匀」的时候，其实是暗含了这三条性质的。&/p&&p& 公式 (1~3) 对于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&的值非常敏感。哪怕&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&稍微偏离黄金分割比一丁点儿，作出的图效果就不好。例如，下面三个图分别是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&取 0.616、0.617 和 0.619 时得到的点阵。可以看到，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+0.617& alt=&\phi = 0.617& eeimg=&1&&时点阵在两极处形成螺旋，在赤道附近形成条纹，不满足「混乱」；而左、右图两中的点不仅形成螺旋或条纹，而且间距还很大，连「密集」都不满足。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-8c3d898f17b0c638b007_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&918& data-rawheight=&323& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&918& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-8c3d898f17b0c638b007_r.jpg&&&/figure&&p& 一个很自然的问题就是：为什么公式 (1~3) 有这么神奇的效果呢？我们先来看看它到底做了什么。&/p&&p& 第一条公式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z_n+%3D+%282n-1%29%2FN-1& alt=&z_n = (2n-1)/N-1& eeimg=&1&&，说明各个点的&b&竖坐标成等差数列&/b&。这相当于把球面切成相同厚度的 N 层，并在每一层的厚度中点处的表面上取一个点。注意，各层的厚度相同，但纬度的跨度是不同的：两极处纬度的跨度更大。这样切出来的各层有一个性质：侧面积都相等。这是因为各层的侧面可以近似看成环面，在纬度为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&处，环面的半径为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos%5Ctheta& alt=&\cos\theta& eeimg=&1&&，而环面的宽度为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%2F%28N%5Ccos%5Ctheta%29& alt=&2/(N\cos\theta)& eeimg=&1&&（思考：为什么要除以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos%5Ctheta& alt=&\cos\theta& eeimg=&1&&？），故各环面的面积均为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=4%5Cpi%2FN& alt=&4\pi/N& eeimg=&1&&。这个性质保证了点阵分布在宏观上的均匀性：不管在什么纬度，都是每&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=4%5Cpi%2FN& alt=&4\pi/N& eeimg=&1&&面积上有一个点。&/p&&p& 第二、三条公式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+x_n+%26%3D+%5Csqrt%7B1+-+z_n%5E2%7D+%5Ccdot+%5Ccos%282+%5Cpi+n+%5Cphi%29+%5C%5C+y_n+%26%3D+%5Csqrt%7B1+-+z_n%5E2%7D+%5Ccdot+%5Csin%282+%5Cpi+n+%5Cphi%29+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align} x_n &= \sqrt{1 - z_n^2} \cdot \cos(2 \pi n \phi) \\ y_n &= \sqrt{1 - z_n^2} \cdot \sin(2 \pi n \phi) \end{align}& eeimg=&1&&，实际上就是指明了各个点的&b&经度成等差数列&/b&。也可以这样形象地理解：从每一个点到下一个点，首先沿着经线向上爬，使得竖坐标增加&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2%2FN& alt=&2/N& eeimg=&1&&；然后沿着纬线转&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&圈。当然，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%5Capprox+0.618& alt=&\phi \approx 0.618& eeimg=&1&&比半圈大，只绕&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1+-+%5Cphi+%5Capprox+0.382& alt=&1 - \phi \approx 0.382& eeimg=&1&&圈也是可以的，如下图所示。这两个值对应的角度分别为 222.5 度和 137.5 度，它们是把 360 度黄金分割后的两部分，称为「黄金角」（&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Golden_angle& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Golden angle&/a&）。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-6bad2be51daed1df2616c7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&323& data-rawheight=&258& class=&content_image& width=&323&&&/figure&&p&&i&（图片取自：&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//perswww.kuleuven.be/%7Eu0017946/publications/Papers97/art97a-Saff-Kuijlaars-MI/Saff-Kuijlaars-MathIntel97.pdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Distributing Many Points on a Sphere&/a&）&/i&&/p&&p& 正是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+%28%5Csqrt%7B5%7D+-+1%29+%2F+2+%5Capprox+0.618& alt=&\phi = (\sqrt{5} - 1) / 2 \approx 0.618& eeimg=&1&&这个常数让产生的点阵具有「密集」和「混乱」两条性质。这是为什么呢？我们观察前文中&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+0.619& alt=&\phi = 0.619& eeimg=&1&&时的点阵，它明显形成几乎沿经线方向的条纹，仔细数一下的话，这样的条纹共有 21 条。原来，0.619 十分接近于分数 13/21（注意啦，13 和 21 都是菲波那契数哦），后者的精确值为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=0.%5Cdot%7B6%7D1904%5Cdot%7B7%7D& alt=&0.\dot{6}1904\dot{7}& eeimg=&1&&。若每产生一个点转 0.619 圈，那么产生 21 个点一共就转过了差不多正好 13 圈。第 n 个点和第 n + 21 个点的经度十分接近，这就是条纹的来源。再看&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+0.616& alt=&\phi = 0.616& eeimg=&1&&时的点阵，它形成 13 条螺旋。这是因为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=0.616+%5Capprox+8%2F13+%3D+0.%5Cdot%7B6%7D1538%5Cdot%7B4%7D& alt=&0.616 \approx 8/13 = 0.\dot{6}1538\dot{4}& eeimg=&1&&（注意，8 和 13 也是菲波那契数），但误差比 0.619 和 13/21 大一些，所以条纹旋转了起来。从这两个例子我们可以发现，当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&接近分数 p/q 时，就会形成 q 条条纹或螺旋。要满足「密集」和「混乱」，就要选取不接近任何有理数的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&值。&/p&&p& 网上有许多科普资料，说明「黄金分割比是最难用有理数逼近的无理数」，或称「&b&最无理的无理数&/b&」，所以黄金角是能使得点阵最密集、最混乱的转角。说明方法一般是把黄金分割比&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&写成连分式（&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Continued fraction&/a&）：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-109930bed67bd06c34c749b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&218& data-rawheight=&155& class=&content_image& width=&218&&&/figure&&p&要用有理数逼近&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&，可以在连分式的任意一层截断，比如舍弃上式中省略号的部分。如果某一层分母的整数部分比较大，那么在这一层舍弃小数部分，误差就比较小。而黄金分割比的连分式中，每一层的分母都是 1，截断误差相对就比较大，故最难用有理数逼近。&/p&&p& 但这种解释，我总觉得不够直接。比如，我还想弄清下列问题：&/p&&ul&&ul&&li&当连分式中出现较大的项时，点阵会呈现怎样的分布？&/li&&li&为什么当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+0.617& alt=&\phi = 0.617& eeimg=&1&&时，点阵在两极和赤道处呈现出不同的有规律分布，而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&取黄金分割比时则呈现一片混乱？&/li&&li&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+%28%5Csqrt%7B5%7D+-+1%29+%2F+2+%5Capprox+0.618& alt=&\phi = (\sqrt{5} - 1) / 2 \approx 0.618& eeimg=&1&&真的是最优值吗？我在试探的过程中发现&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi+%3D+%5Csqrt%7B2%7D+-+1+%5Capprox+0.414& alt=&\phi = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414& eeimg=&1&&也不错（见下图对比），它比黄金分割比差在哪里？&/li&&/ul&&/ul&&p&这几个问题，我将在下一篇专栏中详细分析。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d767cd54b8d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&864& data-rawheight=&453& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&864& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d767cd54b8d_r.jpg&&&/figure&&p& 顺便说一下，在平面上也可以讨论怎样生成「均匀、密集、混乱」的点阵。一个与公式 (1~3) 类似的解答如下：&/p&&p& ★ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+x_n+%26%3D+%5Csqrt%7Bn%7D+%5Ccos%282%5Cpi+n+%5Cphi%29+%26+%284%29%5C%5C+y_n+%26%3D+%5Csqrt%7Bn%7D+%5Csin%282%5Cpi+n+%5Cphi%29+%26+%285%29+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align} x_n &= \sqrt{n} \cos(2\pi n \phi) & (4)\\ y_n &= \sqrt{n} \sin(2\pi n \phi) & (5) \end{align}& eeimg=&1&&&/p&&p&即第 n 个点落在半径为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7Bn%7D& alt=&\sqrt{n}& eeimg=&1&&的圆上，连续两点之间也是转过一个黄金角。半径&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7Bn%7D& alt=&\sqrt{n}& eeimg=&1&&中的根号保证了均匀（证明留给读者），黄金角保证了密集和混乱。(4,5) 两个公式描述的排列规律，在自然界中很常见，一个例子就是题图中向日葵的花序。&/p&&p& 与公式 (1~3) 不同，(4,5) 两式可以生成无穷多个点，它们排成一个越来越大的圆盘。这种无限使得 (4,5) 两式容易揭示更多规律，所以我下一篇中的分析将从平面点阵的分布入手。&/p&
. 在这个春不暖花未开的时节，我又跟一道数学题杠上了：怎样在球面上「均匀」地排列许多点呢？ 这是一个很有实际意义的问题。比如我要测量地球上陆地的总面积。如果能在地球表面「均匀」地取 n 个点，那么我只要简单地数一下其中落在陆地上的点的个数 m，就…
一位商人发现并买下了一块晶莹剔透、大如蛋黄的钻石。他请专家检验，专家大加赞赏，但为钻石中有道裂纹表示惋惜，并说：“如果沿裂纹切割成两块，能使钻石增值，只是一旦失败，损失就大了。”怎样切割这块钻石呢？商人咨询了很多切割师，他们都不愿动手，说是风险太大。&br&&br&后来，一位技艺高超的老切割师答应试试，他设计了周密的切割方案，然后指导年轻的徒弟动手操作。当着商人的面，徒弟一下子就把钻石切碎了。&br&&br&&br&……………………………………………………………………………&br&&br&&br&&br&商人向徒弟索取了巨额赔偿，徒弟不得不借了一笔高利贷。为了还清债务，徒弟决定去找他的哥哥帮忙。而商人则觉得买卖钻石风险太大，改行做起了珍珠生意。徒弟的哥哥告诉他：门与路，永远相连。门是路的起点，也是路的终点。门可以挡住你前进的脚步，也可以让你通向未来。从过去到未来，无数的脚步在这里交集，有的人走的很浅，有的人走的很深。徒弟问这是什么意思，哥哥说，想赚钱就要有门路。&br&&br&在哥哥的介绍下，徒弟和一群探险者来到光线暗淡、人迹罕至的洞穴里探险，洞穴里很神秘，他们点了几只蜡烛，发现里面竟然有一群色彩斑斓的蝴蝶。这种在黑暗的洞穴里还能进化成五颜六色的对进化论发出了无耻挑战的神奇物种肯定能卖很多钱，大家激动极了，他们欣赏了一会儿，发现没带捕捉工具，就先离开了。几天后，他们回到原地，想看看蝴蝶在不在，却发现蝴蝶已经栖居到更深更黑的地方去了。于是他们多走了几步，把蝴蝶都抓走了。&br&&br&&br&&br&……………………………………………………………………………&br&&br&&br&&br&徒弟分到了一只神奇的蝴蝶，他想带上蝴蝶去做鉴定，但是鉴定费太贵了，他听说为了丰富中小学生的课余生活，让同学们领略科技的魅力，过一把尖端科技的瘾，中科院某研究所推出了公众开放日系列科普活动。活动期间，科研人员特地设计了一个有趣的实验，让同学们亲手操作扫描式电子显微镜，观察蝴蝶的翅膀。他也偷偷混了进去，通过这台可以看清纳米尺度物体三维结构的显微镜，他惊奇地发现：原本色彩斑斓的蝴蝶翅膀竟然失去了色彩，显现出奇妙的凹凸不平的结构。工作人员说，原来，蝴蝶的翅膀本是无色的，只是因为具有特殊的微观结构，才会在光线的照射下呈现出缤纷的色彩.....他一生气就把那只蝴蝶丢了，但是出来后听说其他探险者都发了大财，把蝴蝶卖出了高价。原来扫描电镜是电子成像，而不是可见光成像，本身就是灰度图像。用通俗一点的话来说，它本来就是黑白相机，是根本不可能看到颜色的。&br&&br&徒弟绝望之下决定去跳崖自杀。徒弟跟着一群人去山上游玩，他打算看完风景就从山上跳下来。一行人在山脚遇到了下山的游客，问山上的风景，有人说好，有人说不好，于是有一部分人留在了山脚，另一部分人继续向上，在山腰处又碰到一批下山的游客，问山上的风景，有人说好，有人说不好，于是一部分人留在了山腰，一部分人继续前进，最后只有徒弟一个人到达了山顶，发现一片云海茫茫，远处山峰若隐若现。徒弟一看就剩他一个人了，要是跳崖肯定没人来拉住他，就下来了，临走前发誓再也不和天秤座一起出来玩了。&br&&br&……………………………………………………………………………&br&&br&&br&&br&徒弟为了赚钱写了一首诗投稿给杂志，他写道：我仰望着夜空，感到一阵惊恐；如果地球失去引力，我就会变成流星，无依无附在天宇飘行。哦，不能！为了拒绝这种“自由”，我愿变成一段树根，深深地扎进地层。编辑把他的稿退了，还留了一句话给他：植物的向地性是因为重力产生的，所以如果地球没有了引力，树的根还真不一定会往哪个方向长。&br&&br&徒弟的哥哥正在拍一部电影，为了拯救经济困难的弟弟，他把徒弟招进了剧组。在剧组中徒弟听到一位表演艺术家和一位剧作家就演员改动剧本台词一事，发表了不同的意见。表演艺术家说：演员是在演戏，不是念剧本，可以根据表演的需要改动台词。剧作家说：剧本是一剧之本，体现了作者的艺术追求；如果演员随意改动台词，就可能违背创作的原意。徒弟给他们出了一个主意，让他们边拍边商量，不要耽误时间。一个月后电影杀青了，叫天鸡之富春山居图。&br&&br&剧组解散了，徒弟又失业了，他的哥哥安慰他说，你看到了这马路上来来往往的车了吗？车有各种类型，车来车往，车传递着真情，承载着时代的变迁，折射人世的变化，道出人生的哲理。你就像一辆车，虽然现在还很青涩，但只要你努力下去，总会有开上秋名山的一天。徒弟茅塞顿开，重燃对生活的希望，两周后就被网警以传播淫秽色情制品的罪名抓了起来。&br&&br&……………………………………………………………………………&br&&br&&br&&br&生活中，大家往往努力做自己认为重要的事情，但世界上似乎还有更重要的事。对徒弟来说，成为一个老司机曾经是他的梦想，但是现在他只想还掉高利贷。&br&&br&徒弟又找到了他的哥哥，哥哥正在客厅和一个科学家聊天，科学家说：如果爱迪生来到21世纪，他一定会感到很新奇，他会觉得什么很新奇呢？哥哥说：手机一定让他觉得不可思议。科学家说：我同意，手机是信息时代的标志，就像一部掌上电脑，丰富的功能一定会让他感到新奇。徒弟忍不住插嘴说：可是爱迪生是一个聋子，他连电话都打不了。科学家和哥哥觉得很有道理，于是合力把徒弟赶了出去。&br&&br&&br&……………………………………………………………………………&br&&br&&br&&br&多年之后，徒弟事业无成，非常郁闷。一天他在海滩上遇到一位老人。老人抓起一把沙子扔在沙滩上，问“你能找到吗？”，徒弟说不能。老人又抓起一颗珍珠扔在沙滩上，问：“这回呢？”，徒弟捡起珍珠就跑了。
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&p&没人发这个老帖子吗？&br&&b&《闲的蛋疼搞了五流氓~求轻喷》&/b&你试过同时安装360，瑞星，百度卫士，腾讯电脑管家，金山杀毒五大国内XX软件吗？ &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//jump.bdimg.com/safecheck/index%3Furl%3Dx%2BZ5mMbGPAs95UolpNuq%2BCwM2BpViN6QF0BYrUCVRu892Hd8BqIuzEWWpY/Y1JvnTyJSfkqg31WBf0/zFZ0intHhFSF2Kbl5X92PKLqeFOQ58CA1bb3DSHTNnBI9rL1iiDw6VCZ317KYsBnbBXflW8TMzog9QslPec/AZ%2BIFwcQwPGbuJnYGNA%3D%3D& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&http://tieba.baidu.com/p/?see_lz=1&/a&&br&我直接搬运一下吧&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/de8afff81a9374_b.jpg& data-rawwidth=&736& data-rawheight=&4704& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&736& data-original=&https://pic1.zhimg.com/de8afff81a9374_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/95ba9df4b8df35f40fff1f_b.jpg& data-rawwidth=&737& data-rawheight=&4360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&737& data-original=&https://pic1.zhimg.com/95ba9df4b8df35f40fff1f_r.jpg&&&/figure&&br&&p&&b&-------------&/b&&/p&&br&&figure&&img data-rawwidth=&776& data-rawheight=&524& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1acc3ed8eb46_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&776& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1acc3ed8eb46_r.jpg&&&/figure&
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&p&清理一波手机图片&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b2d5b3adf6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&784& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b2d5b3adf6_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c261a7efb15d57bfe8ab62_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&444& data-rawheight=&540& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&444& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c261a7efb15d57bfe8ab62_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-01c8e5f8ed587dcefd5be3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&404& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-01c8e5f8ed587dcefd5be3_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-12e1c062dd91518ddb15160e07daf1b8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&488& data-rawheight=&185& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&488& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-12e1c062dd91518ddb15160e07daf1b8_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-84da04c8e2f3c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&633& data-rawheight=&633& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&633& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-84da04c8e2f3c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-becdaa2bcc85_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&514& data-rawheight=&558& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&514& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-becdaa2bcc85_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-feaea4e3cbaafeb6bf39ab605b1c9e2c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&514& data-rawheight=&759& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&514& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-feaea4e3cbaafeb6bf39ab605b1c9e2c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-22a90a34effe12484cf4e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-22a90a34effe12484cf4e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1ba7bed4c6f72dcf00c86_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&540& data-rawheight=&294& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&540& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1ba7bed4c6f72dcf00c86_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-cce33cb58eb9ea3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&772& data-rawheight=&721& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&772& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-cce33cb58eb9ea3_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-99f0bdfd5bd11c5a3cafd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&759& data-rawheight=&915& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&759& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-99f0bdfd5bd11c5a3cafd_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-227cbf41d3cbf3688dbd922e4d7e77ab_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&527& data-rawheight=&327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&527& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-227cbf41d3cbf3688dbd922e4d7e77ab_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f74b81b18569ddcc1b63b642d75bd4ca_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&448& data-rawheight=&553& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&448& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f74b81b18569ddcc1b63b642d75bd4ca_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f59bfdacb8bd599e229c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&550& data-rawheight=&786& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-f59bfdacb8bd599e229c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4cf303de823bc2c804fc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&474& data-rawheight=&454& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&474& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4cf303de823bc2c804fc_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f285dba9449_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&598& data-rawheight=&623& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&598& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f285dba9449_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9ef23a6e222a8be0f303_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&655& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-9ef23a6e222a8be0f303_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4067712cad99bfd0eb7cb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&903& data-rawheight=&926& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&903& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4067712cad99bfd0eb7cb_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5cb85a25bed_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&688& data-rawheight=&746& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&688& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5cb85a25bed_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-473df76c00f2ae31afc5c10dfbfdac83_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-473df76c00f2ae31afc5c10dfbfdac83_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e4bd8a50_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&667& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e4bd8a50_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b70fcacec93f28c4ed518f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&460& data-rawheight=&438& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&460& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b70fcacec93f28c4ed518f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-aaf2ffb82bcfa_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&851& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-aaf2ffb82bcfa_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1a7fb6d39c976ea7265d82_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&899& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1a7fb6d39c976ea7265d82_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b31adb3b0a9bc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&963& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b31adb3b0a9bc_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0bb2c25fd99af752ef208_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&1227& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0bb2c25fd99af752ef208_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-cfcfc055fe19aff8c0e88_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&678& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&678& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-cfcfc055fe19aff8c0e88_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d864cbd48d3ad94aa6463e7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&433& data-rawheight=&278& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&433& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d864cbd48d3ad94aa6463e7_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-32cfefecffb8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&992& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-32cfefecffb8_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-81043deee1eacd4fdf942d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&270& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-81043deee1eacd4fdf942d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-8e23c0e0126ede58fea50b50c078f3e1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&477& data-rawheight=&185& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&477& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-8e23c0e0126ede58fea50b50c078f3e1_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2c18b1dbba30df5ddd5fa6fdadb456a9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&1151& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2c18b1dbba30df5ddd5fa6fdadb456a9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2f6eee1ac29ec2c5e1a1e0bc7bcac174_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&373& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2f6eee1ac29ec2c5e1a1e0bc7bcac174_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-7f1e6cae59eb4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&338& data-rawheight=&600& class=&content_image& width=&338&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-df0cd248d5cfe2ca6e0edb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&680& data-rawheight=&503& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&680& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-df0cd248d5cfe2ca6e0edb_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-8e48eccf599dc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&550& data-rawheight=&545& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-8e48eccf599dc_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-1cc04ccfe8c3a916b105cac0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&483& data-rawheight=&221& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&483& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-1cc04ccfe8c3a916b105cac0_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-41f106d0f46ceff008bcd0c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&467& data-rawheight=&308& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&467& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-41f106d0f46ceff008bcd0c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-4e84e2ed70aa25f563c78cd3814fce94_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&537& data-rawheight=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&537& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-4e84e2ed70aa25f563c78cd3814fce94_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d348ff2dc9e0dcef2d7a0a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&401& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d348ff2dc9e0dcef2d7a0a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-aea0dee513d4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&617& data-rawheight=&341& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&617& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-aea0dee513d4_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-aef2ecc306f621b228b3bd93a0576856_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&1227& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-aef2ecc306f621b228b3bd93a0576856_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-847dcc589edd84dd17212ddf140f4d10_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&460& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-847dcc589edd84dd17212ddf140f4d10_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9b59aa9a058d97f0b0aae7ed851341ca_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&595& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9b59aa9a058d97f0b0aae7ed851341ca_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-100d3dd2d5b5ba381e20_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&939& data-rawheight=&907& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&939& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-100d3dd2d5b5ba381e20_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-87afa2b8265c0ceee292_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&798& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-87afa2b8265c0ceee292_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-89594bda9a2f71c7a9ae4f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&451& data-rawheight=&1258& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&451& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-89594bda9a2f71c7a9ae4f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-55e34a53aac_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&713& data-rawheight=&818& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&713& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-55e34a53aac_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-58477a5eab4f73e87c8a7b06e3b8bbcb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-58477a5eab4f73e87c8a7b06e3b8bbcb_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-81e40a28347aed782271acbe00fc024f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&583& data-rawheight=&587& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&583& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-81e40a28347aed782271acbe00fc024f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-0936930efb9a1e646e863fc1d186421d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1449& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-0936930efb9a1e646e863fc1d186421d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-6d1e8d922bb0e4dbe9fdd94_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1416& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-6d1e8d922bb0e4dbe9fdd94_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-70d237ca6ca8bca3c53feb50_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&628& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-70d237ca6ca8bca3c53feb50_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d1eab827b4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&668& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d1eab827b4_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fc8bab147acfa09dd263f0d8c590b098_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-fc8bab147acfa09dd263f0d8c590b098_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f4dcf860fb3c4fbdcf49_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&445& data-rawheight=&563& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&445& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f4dcf860fb3c4fbdcf49_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-7c50b1a568e8a3e0d58419_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-7c50b1a568e8a3e0d58419_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-374d9db8bece13332e4eb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&578& data-rawheight=&471& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&578& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-374d9db8bece13332e4eb_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fc42f203ec_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-fc42f203ec_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-be751038bcd51d0dfa54f2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&776& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&776& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-be751038bcd51d0dfa54f2_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b1dc3a113832_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&876& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b1dc3a113832_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e6ef10f6be1a76bf4baffe_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&338& data-rawheight=&600& class=&content_image& width=&338&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-40d10a5d552e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&1160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-40d10a5d552e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bf6f8e2f852_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&1683& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bf6f8e2f852_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-831a3de38c4d5eb58f683b6c217d8978_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&1066& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-831a3de38c4d5eb58f683b6c217d8978_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fe20fd63d77_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&706& data-rawheight=&583& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&706& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fe20fd63d77_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-a5c46b50688bdc88d71c5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&5976& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-a5c46b50688bdc88d71c5_r.jpg&&&/figure&
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&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ca629e3baa8a45f800c24f7a65c39e76_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2929& data-rawheight=&1072& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2929& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ca629e3baa8a45f800c24f7a65c39e76_r.jpg&&&/figure&&p&想了解更多有趣的人工智能资讯？记得关注 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/c4f835f3f6ecae6f8738f1& data-hash=&c4f835f3f6ecae6f8738f1& data-hovercard=&p$b$c4f835f3f6ecae6f8738f1&&@景略集智&/a& &/p&&hr&&p&先说说故事背景：&/p&&p&前段时间谷歌的 Google Arts & Culture APP 添加了一个新功能，用户可以上传自己的自拍照，然后系统会将照片与艺术画作进行对比，匹配出一张和用户长得很像的画作中的人物肖像。&/p&&p&&br&&/p&&p&这个功能一经推出，就在社交网络上引起病毒式的传播，人们纷纷晒出自己的自拍匹配成果，效果看起来确实不错，APP 匹配出的人物肖像和人物自拍照相似度非常高：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1d2afa27bc8e4f0359587_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&710& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1d2afa27bc8e4f0359587_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-6a8fe72c642abbbdaf8580c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&570& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-6a8fe72c642abbbdaf8580c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&上面这些看起来都没什么毛病吧？&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-20a6f366b4a5afe5328e19b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&115& data-rawheight=&99& class=&content_image& width=&115&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这本来会是一波很美好的操作，直到一位叫 Biniam Bizuneh 的小伙愤怒地在推特上 Po 出了自己匹配结果的史诗级 bug：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-da4c99f281f72f7c3e277_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&433& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-da4c99f281f72f7c3e277_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e7d37cfcff512b0354a4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1250& data-rawheight=&917& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1250& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e7d37cfcff512b0354a4_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a5b1caafecae7f74de3ac9a6840cdf62_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&也不能怪人家小伙这么生气，毕竟这&b& 74 %&/b&的匹配率看着也的确太伤人了。&/p&&p&&br&&/p&&p&目前小伙这条推文下面，已是一片同情和安慰的海洋。很多人也顺道分享了一下自己不忍直视的匹配结果：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9d5b2bd3d93105a59cdb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&849& data-rawheight=&476& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&849& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-9d5b2bd3d93105a59cdb_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这个差的也太多了&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8fede902bd0b52fb42c51a3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&821& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-8fede902bd0b52fb42c51a3_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这么耿直的暴露人家秃顶的事实真的好么？&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&Google Art & Culture APP &/b&的这项新功能应用的正是人工智能领域的脸部识别技术，可以检测人脸的特征，将一个人和另一个人相区分。&/p&&p&&br&&/p&&p&这个过程听起来很简单，但实际上 AI 要首先学习很多东西：&b&在识别出照片中的人脸后，为了更好的读取数据，通常还得调整大小和方向，因为很多时候用户自拍时离摄像头太近，导致人脸出现扭曲。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&AI 在重新调整人脸的大小和方向后，接着会创建一个“脸部指纹”，是独特描述一个人脸部的一组数据特征，比如脸部器官之间的距离，眼睛大小，鼻子形状等。然后可以将其同其它一张照片或包含很多张照片的数据集进行比较。&/p&&p&&br&&/p&&p&在Google Art & Culture APP 新添的这个功能里，用户将自拍上传至应用后，AI 会将照片与后台包含了7万张艺术画作照片的庞大数据库进行比较，然后匹配出类似的人物肖像。&/p&&p&&br&&/p&&p&其实谷歌早在几年前就发布了人脸识别技术，2015 年时准确率就已达到 99.63 %，其它公司如 Facebook 的人脸识别技术准确率也达到了 97.25 %。但这个系统仍不完美，比如谷歌的 FaceNet 在 2015 年就曾错误地将两名非裔美国人标注为大猩猩，这次推特用户 Biniam Bizuneh 的不幸遭遇也说明人脸识别技术会偶尔“扑街”。&/p&&p&&br&&/p&&p&可能也是因为脸部识别技术的这项新操作尚不成熟，目前只有美国部分地区的用户可以体验 Google Art & Culture APP 的这个新功能，谷歌表示会在改进技术后向更多国家和地区的用户开放。&/p&&p&&br&&/p&&p&希望他们早点改掉这些 bug 吧&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-04fcb7a07dcd09bafae50_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&hr&&p&&i&参考资料：&/i&&/p&&p&&i&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.inverse.com/article/40177-google-arts-and-culture-technology& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&inverse.com/article/401&/span&&span class=&invisible&&77-google-arts-and-culture-technology&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/i&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-06f4e1cfcf44_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-06f4e1cfcf44_r.jpg&&&/figure&
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先说说故事背景：前段时间谷歌的 Google Arts & Culture APP 添加了一个新功能，用户可以上传自己的自拍照，然后系统会将照片与艺术画作进行对比，匹配出一张和用户长得很像的画作中的人物肖像。 这个功…
&p&有一道网上流传的趣题：有2男2女，每个人都各自携带不同的性病，而且传染性都很强。如果每个男的和每个女的都发生性关系，但是现在只有2个套套，请问怎样操作才能让每个人都不会感染别人的病？&/p&&p&事实上这是一道极为精彩的数学题，这背后的数学结构非常美妙，也非常具有启发性质。很多看起来很无聊的数学问题，最终都能在计算机、物理学、运筹学等很多学科中有意想不到的应用。比如这道题属于离散数学分支图论，在密码学、计算机通讯与信息安全等领域可能有所应用。&/p&&p&这道题的本意并不是啪啪，比如我可以改为：在只有两个手套的情况下，两个医生分别对两个病人互相做手术。当然严格上这样改动是有问题的，详情见文章末尾。因此本文章通篇将会以性交的模式来阐述这个数学问题。&/p&&p&这道题的答案是：&/p&&p&第一步：男一号先戴上套套A，然后外面套上套套B，与女一号啪啪；&/p&&p&第二步：男一号脱掉套套B，与女二号啪啪；&/p&&p&第三步：男二号戴上套套B（套套B的内侧是干净的），与女一号啪啪；&/p&&p&第四步：男二号外面再套上套套A，与女二号啪啪。&/p&&p&这样无论如何都无法感染性病。&/p&&p&原题是没有注解的，我有必要加上五个注解：&/p&&p&①允许套套多层叠加用，但不允许套套翻过来反着用；&/p&&p&②套套可以重复使用；&/p&&p&③阴茎接触到其他男人的精液也会使得该男子感染其他男人的性病；女性之间同理；&/p&&p&④只能异性之间发生性关系，评论区有人提到男性与男性之间的交配，我们暂时不考虑；&/p&&p&⑤这道题是在&b&理想情况&/b&下研究&b&纯数学问题&/b&，评论区有大量“两个套套容易破”“避孕套不能百分百防止性病”“为什么不用水洗一下套套”等内容，这并不是本篇文章的核心。请记住这本质上是一个数学问题。&/p&&p&我看到这道题的时候一开始没想出怎么做，后来一看答案才啧啧称奇。&/p&&p&我不禁想，如果推广一下：现在有n对男女，每个人都各自携带不同的性病，而且传染性都很强。如果每个男的对每个女的都发生性关系，最少需要多少个套套，才能使得他们不感染呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&以下的内容是我的探索过程，讲述的是我是如何把下界一步步缩小，从一开始的4*n?，到3n，到2n，到2n-1，到2n-2，到1.5n，到(4/3)n+2，直到目前确定的下界是(4/3)n+2/3个套套（我仍然不知道这是不是最小的下界）。这其中难免走了很多弯路，如果你觉得太长，或者说你觉得没意义（当然我是觉得有意义的），可以绕到最后看我的最终答案以及解释。如果中途有答案看不懂也没关系，因为对于这道题来说，给出的答案越小，思路反而越简单，这就是数学的魅力。&/b&&/p&&p&&b&温馨提示：如果你想绕到最后看我的最终答案，为了节省你的时间，请认准三行“***********”标志，该标志往下即最终答案。如果是一行或者两行星号标志的，（虽然不是最终答案）是比较推荐读者看的内容。&/b&&/p&&p&&b&（值得一提的是，我在发出文章的24小时内，不断有网友提出新思路，下界不断地刷新，“***********”标志也不断地下移）&/b&&/p&&p&n=2的情况已经在开始考虑过了。&/p&&p&我们来看一下n=3的情况，有如下六个人：&/p&&p&男1号
女1号&/p&&p&男2号
女2号&/p&&p&男3号
女3号&/p&&p&我花了半小时枚举，得出3个套套是不够的，4个套套是可行的。过程如下：&/p&&p&第一步：男一》TB》TA》女一，这表示男一号戴着套套B，然后外面再套上套套A，与女一号啪啪。&/p&&p&剩下的八步也是如此表示：&/p&&p&男一》TB》女二
； &/p&&p&男三》TC》TA》女一
； &/p&&p&男三》TC》女三
； &/p&&p&男二》TA》女一
； &/p&&p&男一》TB》TC》女三
&/p&&p&男二》TA》TB》TC》女三
&/p&&p&男三》TD》女二
； &/p&&p&男二》TA》TD》女二。&/p&&p&我们再来看一下n=4的情况，有如下八个人：&/p&&p&男1 女1&/p&&p&男2 女2&/p&&p&男3 女3&/p&&p&男4 女4&/p&&p&我们可以分为四个步骤：&/p&&p&第一个步骤：&/p&&p&男1 女1&/p&&p&男2 女2&/p&&p&这是两对男女，我们根据一开始的讨论得出，只需要2个套套即可完成互相交配而又不感染性别。&/p&&p&第二个步骤：&/p&&p&男1 女3&/p&&p&男2 女4&/p&&p&第三个步骤：&/p&&p&男3 女1&/p&&p&男4 女2&/p&&p&第四个步骤：&/p&&p&男3 女3&/p&&p&男4 女4&/p&&p&每个步骤需要2个套套，4个步骤需要8个套套。因此，对于4对男女，只需要8个套套。&/p&&p&但是这个结果是很粗糙的，我觉得8个套套太多了。有没有更好的办法？我尝试通过枚举法来找到比8更小的值，尝试了一个小时后发现这个过程太艰辛了，就放弃了。不过我的直觉是，对于4对男女的情况，真正的下界应该比8小。&/p&&p&因此目前的结果是：&/p&&p&2对男女，2个套套足够；&/p&&p&3对男女，4个套套足够；&/p&&p&4对男女，8个套套足够。&/p&&p&我可以拓展下：&/p&&p&根据上面的讨论，n=4时，我们分了四个组，即四个步骤。同样的道理：&/p&&p&当n=6时，我们可以像n=4一样进行两两配对，两对男女为一组，这样的组数是9组，正好是3的平方。（男1，男2，女1，女2）、（男1、男2、女3、女4）、（男1、男2、女5、女6）、（男3，男4，女1，女2）、（男3、男4、女3、女4）、（男3、男4、女5、女6）、（男5，男6，女1，女2）、（男5、男6、女3、女4）、（男5、男6、女5、女6）。&/p&&p&每个组需要2个套套，这样一来，全部需要2*3?个套套。&/p&&p&继续拓展：当有2n对男女时，需要的套套数是2*n?。如果是奇数的情况，我没有想到好的方法，不过如果当做下一个偶数的情况算，至少可以保证满足的。&/p&&p&比如当有12对男女时，需要72个套套。&/p&&p&另一个拓展思路是，我们能不能换一种分组的方式？&/p&&p&比如n=6时，我们作如下的分组：&/p&&p&（男1、男2、男3、女1、女2、女3）、（男1、男2、男3、女4、女5、女6）、（男4、男5、男6、女1、女2、女3）、（男4、男5、男6、女4、女5、女6）。&/p&&p&一共四组。根据n=3的讨论，3对男女需要4个套套，因此四组的情况是，需要16个套套。我们发现按三个分组比按两个分组更优。&/p&&p&一般化，当有3n对男女时，需要的套套数是4*n?。如果是3n-1或者3n-2的情况，我目前没有想到好方法，只能按照3n的情况算。&/p&&p&&br&&/p&&p&但是这样的结果还是太差，有没有更好的下界？&/p&&p&注意：当n&2时，男女交配问题与医生手套问题&b&不等价&/b&。&b&因为不同的医生戴相同的手套是没事的，但不同的男性戴相同的套套会发生感染。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&我在睡觉前一直在想这个问题，到凌晨三点突然灵光一现，想到了一个新的思路：3n是可行的。&/b&（我是在思考“套多层套套的意义是什么？”这个问题中想到如下解法）&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ba7ef5bacdd2c7c06ef34bc_b.jpg& data-rawwidth=&4185& data-rawheight=&2177& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4185& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ba7ef5bacdd2c7c06ef34bc_r.jpg&&&/figure&&p&如图，我们随机把n个男性与n位女性进行缘分配对，一共配对成为n对“情侣”。每对情侣有三个套套：A、B、C，每个套套的功能是不一样的，我在下面有说明。&/p&&p&（根据评论区的情况，可能有人没看懂下面的过程，为了更加形象地说明我的结论，我假定有n个房间，第一对情侣在第一个房间，第二对情侣在第二个房间……等等）&/p&&p&首先，n对情侣可以在自己的房间里啪啪一次。以男一号为例，男一号与女一号在1号房间相处二人世界，男穿上套套B1，与女一号啪啪。同理，其他男性也是穿上各自的套套B，在各自的房间与各自的情侣啪啪。&/p&&p&接下来，当男一号想要和其他女性啪啪时，他首先得在自己的房间里穿上套B1，然后再穿上套A1，再去其他房间敲门。&/p&&p&为什么要套上A1？这样的作用是防止套B1的外层受到感染，因为套B1的外层只能有女一号的液体与病毒，不管经过多少次交配，B1的外层只能是女一号的病毒专属；&/p&&p&去其他房间敲门之后（我们假设他要去第二个房间，即想要和女二号交配），2号房间的门口有一个套套C2，男一号目前已经穿上B1与A1了，他还需要在门口穿上C2，进门后，再穿上B2。这样套了四个套套，才能和女二号啪啪。C2的作用是防止B2的内部受到感染，因为B2的内层（即B2套套里面）只能有男二号的液体与病毒，即B2的内层只是男二号专属。&/p&&p&事实上，每个房间的门口都放有属于各自的套套C。进门之前得穿上，啪啪完事后出门后得放回门口。&/p&&p&这样下来，所有情侣的套套B都不会受到感染，且所有的情侣之间都可以互相交配……&/p&&p&我再重复一遍，以男一号为例：套套A1是用来保护套套B1的外层不受其他病毒感染，套套B1的外层只能有女一号的病毒；套套C1是用来保护套套B1的内层不受其他病毒感染，套套B1的内层只能有男一号的病毒。&/p&&p&对于其他的“情侣”，也是类似的过程。套套A是保护套套B的外层，套套C是用来保护套套B的里面。&/p&&p&所以对于n对男女，3n个套套可以保证互相交配而又不感染性病。&/p&&p&但是直觉告诉我，3n这个下界可能还不够好。&/p&&p&&b&的确，在我发出回答后的不到四个小时，马上有评论区的朋友告诉我，2n是可行的&/b&：&br&&br&每个女的自身准备一个自己的专属套套，每个男的自身自备一个自己的专属套套。啪啪时，男的先戴好自己的专属套套，然后再戴上性交对象的专属套套即可。&/p&&p&比如，女二号的专属套套是A2，男八号的专属套套是B8，那么男八号与女二号要啪啪的话，需要男八号先戴上B8，再戴上A2。&br&&br&这样一来，只需要2n个套套，大家就可以愉快地互相玩耍。&br&&br&是不是很简单？是我一开始把问题想复杂了。&br&&br&&b&接着不到两小时，又有评论区的朋友指出，2n-1是可行的。&/b&&/p&&p&还是一样的情况，每个女性有自身的专属套套；然后选n-1个男性，每个男性有自己的专属套套。剩下那个男性先上场，对每一个妹子，使用那个妹子的专属套套，等到那个男性结束后，他的使命就完成了，可以离开游戏了。于是n-1个男性带着各自自己的专属套套上场。接下来的事情就和上面所说的2n的答案一样的构造了。&/p&&p&但是，这个结果能不能再小一点呢？&/p&&p&我猜测下界应该是2n-2。&/p&&p&&b&终于，在我发出这篇文章的10小时的时候，我突然迸发了一个崭新的灵感：2n-2是可行的。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e143a67bb_b.jpg& data-rawwidth=&3609& data-rawheight=&1225& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3609& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e143a67bb_r.jpg&&&/figure&&p&首先还是得先配对：每一个男性i都有自己的专属套套Bi。比如男1号有专属套套B1，男2号有专属套套B2……&/p&&p&第一步:男i号(i∈{2,3,……n})》Bi》B1》女1号。 （n-1） &/p&&p&这代表男i号（第2号男人到第n号男人的其中一个），先戴上套套Bi（即自己的专属套套），然后再戴上套套B1，接着就能和女1号啪啪了。（n-1）表示在第一步中，发生了n-1次不同的有效的交配，这里是第2号男人到第n号男人都和女一号啪啪了，所以共有n-1次交配。（注意：n对男女共需要完成n?次不同的有效交配）&/p&&p&第二步：男i号（i∈{1,2,3,……n}）》Bi》女i号。 （n），女1 号over&/p&&p&这代表所有男人分别用自己的专属套套与对应编号的妹子进行交配，通俗点来说，就是男1号用套套B1与女1号啪啪，男2号用套套B2与女2号啪啪……（n）表示这一步发生了n次有效交配。“女1 号over”表示截止到这一步，女一号已经完成了所有的使命。&/p&&p&第三步：男i号(i∈{1,2,3,……n-1})》Bi》Bn》女n号。 （n-1），女n号 over&/p&&p&第四步：男n号》Ci(i∈{2,3,……n-1})》女i号。 （n-2），男n号 over&/p&&p&注：这里是C是新的套套，共有n-2个C类套套。加上之前n个B类套套，一共2n-2个套套，即是本题答案。&/p&&p&第五步：男i号(i∈{1,2,3,……n-1})》Bi》Cj(j∈{2,3,……n-1})》女j号。&/p&&p&这一步共有[n-2+(n-3)*(n-2) ]次有效交配。其中男1号只需和n-2个女性交配了，男2号到男n-1号只需和n-3个女性交配了。&/p&&p&所以，所有的交配过程都已经完成了。我们可以相加所有的交配次数，发现正是等于n?。&/p&&p&*********************************&br&&/p&&p&这还没有完，让我自愧不如的是，在我给出如上2n-2的答案后，即在我发出文章的16小时后，&b&有评论区的朋友&/b& &a class=&member_mention& href=&http://www.zhihu.com/people/25ae76c0b9e& data-hash=&25ae76c0b9e& data-hovercard=&p$b$25ae76c0b9e&&@team bright&/a& &b&给出更简单的算法，虽然还是2n-2的答案，但过程比我上面的方法简单多了&/b&：&/p&&p&&br&&/p&&p&一开始还是一样的思路：前n-1个男性有自己的专属套套，前n-1个女性有自己的专属套套。&/p&&p&第一步：这n-1对男女两两配对，这样可以有（n-1）?次有效配对。&/p&&p&第二步：前n-1个男性各自用自己的专属套套与第n个女性配对，这一步有（n-1）次有效配对。&/p&&p&第三步：前n-1个女性各自用自己的专属套套与第n个男性配对，这一步有（n-1）次有效配对。&/p&&p&第四步：第n个男性穿上女1号的专属套套（事实上他可以穿上前n-1个女性的任何一个套套），然后穿上男1号的专属套套，这样就可以与第n个女性交配了。这是最后一次配对。&/p&&p&这是目前为止我最满意的答案。&/p&&p&不过，有没有比2n-2更小的答案呢？&/p&&p&我认为应该没有了。因为2对男女至少要2个套套，3对男女至少要4个套套，4对男女至少要6个套套，都是符合2n-2的。&/p&&p&&br&&/p&&p&*********************************&/p&&p&&br&&/p&&p&*********************************&/p&&p&但是，然而，不过，我又一次被打脸了！&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&在我发出文章的24小时后，有评论区的朋友&/b& &a class=&member_mention& href=&http://www.zhihu.com/people/e175db650c708a5cbe3daa& data-hash=&e175db650c708a5cbe3daa& data-hovercard=&p$b$e175db650c708a5cbe3daa&&@拒绝咖啡&/a& &b&提出1.5n是可行的下界！&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&为了方便读者阅读，我写了两个版本：简单版本和复杂版本。两个版本的本质是一样的，只是描述方式的不同。&/p&&p&下面是简单版本，如果没看懂的话可以跳过，去看复杂版本：&/p&&p&男的等分为两组ab，女的等分为两组AB。每一组有n/2个人。&/p&&p&每个女的有专属套套，在a组里的每个男的有专属套套。这样一共就有1.5n个套套了。&/p&&p&第一步：a组男人穿上自己的专属套套，再分别穿上每个女的专属套套，和每个女的交配一遍，即a组男性与所有女性自由交配；&/p&&p&第二步：a组男人走人，但是套套留下。注意到，a组的套套外侧都是干净的，且所有女性的专属套套的内侧都是干净的！把A组女性的专属套套变成b组男性的专属套套，把a组男性的专属套套变成A组女性的专属套套；&/p&&p&第三步：b组男性与所有女性可以自由交配。&/p&&p&这样全部过程就算完成了。&/p&&p&&br&&/p&&p&下面是复杂版本：保证你能看懂。如果你觉得不想看的话可以回去看简单版本：&/p&&p&假设有n对男女，n是偶数。那我们设n=2m。于是变成了2m对男女。&/p&&p&第1步：给女1、女2、……、女2m 每个女性发一个套套，成为他们的专属套套B，然后给男1、男2、……、男m每人发一个套，成为他们的专属套套C（如图）。那么这前m个男性 和所有2m个女性可以自由玩耍。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ea9bac7dea8f517cb09531ccda68dd7e_b.jpg& data-rawwidth=&4216& data-rawheight=&1280& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4216& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ea9bac7dea8f517cb09531ccda68dd7e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这一步共发生了2m?次交配。然后男1号到男m号的使命都已经完成了，但是他们的套套C的外面还是干净的，后面还需要用到。&/p&&p&第2步我们分为m次小步骤来完成：&/p&&p&第2.1步：男（m+1）号》B1》B(m+j) 》女（m+j）号。其中j 取从1到m的m个整数。&/p&&p&比如，男m+1号，先穿着套套B1，再穿上套套B(m+1) ，和女(m+1) 号啪啪。&/p&&p&然后，他脱下套套B(m+1) ，再穿上套套B(m+2) ，和女(m+2) 号啪啪。&/p&&p&这样，男m+1号可以和女m+1号到女2m号啪啪，这一步共发生了m次交配。&/p&&p&第2.2步，男（m+2）号》B2》B(m+j) 》女（m+j）号。和2.1步类似，这一步是让男m+2爽一遍，这一步也是发生了m次交配。&/p&&p&这样的步骤可以持续到第2.m步，第2.m步是：男（m+m）号》Bm》B(m+j) 》女（m+j）号。&/p&&p&因此，整个第2步发生了m?次交配。&/p&&p&第3步：我们注意到，套套C的外面还是干净的}
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