5+5+5+5+5+5+5+54+5+56+23+789+89+89+7+78+78+45+12+12+5++6+6+66+6+6+6+66+666+666+66+66+66+5+556+55+557+5+8+9+2+3+4+25+5+6+3+3+2+2+1+4+5+6+9+8+7+4+4+4+4+89+89+56+23+23+56+56+74+14+14+74+71+71+147+74+5+6+96+12+=_百度作业帮 5+5+5+5+5+5+5+54+5+56+23+789+89+89+7+78+78+45+12+12+5++6+6+66+6+6+6+66+666+666+66+66+66+5+556+55+557+5+8+9+2+3+4+25+5+6+3+3+2+2+1+4+5+6+9+8+7+4+4+4+4+89+89+56+23+23+56+56+74+14+14+74+71+71+147+74+5+6+96+12+= 5+5+5+5+5+5+5+54+5+56+23+789+89+89+7+78+78+45+12+12+5++6+6+66+6+6+6+66+666+666+66+66+66+5+556+55+557+5+8+9+2+3+4+25+5+6+3+3+2+2+1+4+5+6+9+8+7+4+4+4+4+89+89+56+23+23+56+56+74+14+14+74+71+71+147+74+5+6+96+12+=乃们都错了，不是4/9，不是1/5，是1/6—— “四个相同苹果 三个不同盘子 ”(10.13更新) | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思 820709人加入此小组 原帖在这里： 在面试中碰到了一个很有意思的问题：四个相同的苹果随机放入三个不同的盘子，有且只有一个盘子中苹果数为2的概率是多少？ 回答4/9，面试官说1/5。然后大家开始疯狂盖楼，主流的答案依然是4/9派和1/5派，两派人数旗鼓相当。我粗略统计了下，截止到156楼，4/9派的有15人： @ 薰华01 @ asd23 @ 当然儿 @ lichee.M1/5派的有16人： @ ~小马~ @ 时愿寺封 @ 尧csy @ 焦晓冬_软剑攻城狮 @ lucker @ snail 是的，你没看错，鄙人也掉进陷阱了，后面会分析原因。还有一些非主流答案，如@ George-_-Carlisle 的2/9；@ 游仁 的14/27；@ 飞鸟未来 的2/25；当然还有部分认为题目表述不严谨，有歧义，这部分暂不考虑，因为我认为此题是没有问题的。那么此问题的概率究竟是多少？首先，我们来做一个计算机仿真实验，语言是matlab：n = 1e6; % 模拟n次bingo = 0; % 符合条件次数dish = 3; % 3个盘子 apple = 4; % 4个苹果RandStream.setDefaultStream(RandStream('mt19937ar','seed',7)); % 设置种子rnd = rand((dish-1)*n,1); % 产生随机数for iRound=1:n appledDish = zeros(1,dish); % 每个盘子装苹果数 appleLeft = % 当前剩余苹果数 for iDish=1:dish-1 appledDish(iDish) = floor((appleLeft+1)*rnd((iRound-1)*(dish-1)+iDish)); appleLeft = appleLeft-appledDish(iDish); appledDish(dish) = appleL if max(appledDish)==2 && min(appledDish)==1 bingo = bingo+1; endendbingo/n计算机是不会说谎滴，运行结果正如如标题指出的，0.1666，非常接近1/6。简单说明一下仿真的过程。因为苹果一样，而盘子不一样，所以首先从4个苹果中随机抓出几个放在第一个盘子里；然后再剩下的苹果堆中再随机抓几个放在第二个盘子里；剩下的全放入第三个盘子中。这样就完成了一次实验，重复n次，统计满足条件的实验次数即可。接下来理论计算一下为什么是1/6。设a、b、c分别表示三个盘子中的苹果数，因为a+b+c=4，所以我们只需要考虑a和b(例如a=1，b=1，则c必定为2)。那么： P(有且只有一个盘子中苹果数为2)=P(a=2,b=1) + P(a=1,b=2) + P(a=1,b=1)=P(b=1|a=2)P(a=2) + P(b=2|a=1)P(a=1) + P(b=1|a=1)P(a=1)这里用到了全概率公式，因此一定要小心是否满足全概率公式的前提，即是否是原概率空间的分割。我在原帖155楼中回复恰是忽略了这个问题，想当然的以为P(a=2,b=1) = P(a=1,b=2) = P(a=1,b=1)，这样做隐含的条件是把原问题的概率拆成了P(b=1|a=2)P(a=2) + P(a=1|b=2)P(b=2) + P(a=1|c=2)P(c=2)，从而得到1/5的结果。但这样并不是概率空间的分割，所以全概率公式是不成立的。我也是在发现仿真结果不是1/5的情况下，仔细研究才发现这个隐蔽的错误。好了，接下来的计算就和仿真程序的思路一致了，第一个盘子有0,1,2,3,4共5种可能的苹果数，于是P(a=2)=P(a=1)=1/5；当a=2时，剩下2个苹果，第二个盘子可取0,1,2个苹果，所以P(b=1|a=2)=1/3；同样可得P(b=2|a=1)=P(b=1|a=1)=1/4，于是P(原问题)=1/5*(1/3 + 1/4 + 1/4) = 1/6下面我将分别分析一下主流的两个结果产生错误的原因。1、首先4/9的错误相当明显，即把苹果认为了不相同，这是违背题意的。产生这种错误的根源在定势思维，总认为可以先把苹果当不同，然后就对其编号。原帖中也有人提出大家深受“世上没有两片相同树叶”的影响，所以苹果这个比喻不好。那么我们换一种简化的情况，原帖中1/5派攻击4/9派提出的一个关键问题，抛两枚相同硬币，一正一反的概率是多少？想通了为什么是1/3，就想通了为什么4/9是错的。如果还不信，那么可以把前面的仿真程序稍微一改，变为2个苹果随机放2个盘子，1一个盘子1个的概率，运行结果必定接近1/3而不是1/2：n = 1e6; % 模拟n次bingo = 0; % 符合条件次数dish = 2; % 2个盘子 apple = 2; % 2个苹果RandStream.setDefaultStream(RandStream('mt19937ar','seed',7)); % 设置种子rnd = rand((dish-1)*n,1); % 产生随机数for iRound=1:n appledDish = zeros(1,dish); % 每个盘子装苹果数 appleLeft = % 当前剩余苹果数 for iDish=1:dish-1 appledDish(iDish) = floor((appleLeft+1)*rnd((iRound-1)*(dish-1)+iDish)); appleLeft = appleLeft-appledDish(iDish); appledDish(dish) = appleL if appledDish(1)==1 bingo = bingo+1; endendbingo/n顺便说一下，还有一个面试官喜欢问的问题：已知一个家庭生了3个小孩，其中1个是女孩，那么另外2个是一男一女的概率是多少？（假设生男生女等概率）同样，答案是1/3而不是1/2。2、那么1/5又错在哪里？其实4/9派攻击1/5派的论据已经指出了这一点。1/5派中一种很直观的计算方式是列出所有可能的状态：a 3满足条件的只有前三种，所以概率是3/15=1/5。4/9派攻击的理由是你怎么知道每种状态是等概率分布的？1/5派没有回答，因为确实是“自然而然”地隐含假设了各状态等概率，和我犯得错误类似(废话，你曾经就是1/5派的！)。那么究竟每种状态的概率是多少，我们来算一下：a 程序仿真结果 P(b=1|a=2)P(a=2)=1/15 P(b=2|a=1)P(a=1)=1/20 0.06%好了，先到这里吧。-----------------------------------10.13更新-------------------------------------首先多谢本楼的诸位来捧场！根据诸位的回复，我再重新描述下我对题目的理解（参考16楼）：把4个相同的苹果放进一个黑箱，分3次把苹果摸出来，每次放进1个盘，因此得到1/6的概率。当初这样考虑的动机是这样的：因为盘子不同，所以要加以区分，体现在先后次序。现在我有了新的想法，其实最终只要求盘子里装的苹果数，和苹果一不一样木有关系，和盘子一不一样也木有关系！只跟随机放的方式有关系。因为题目没有明确如何随机把苹果放进盘子，所以可以随机选苹果，也可以随机选盘子，这样产生了不同的实验：Expt1(依次取苹果，随机选盘子)：每次取1个苹果，然后随机(等概率，下同)放进3个盘子中的1个，直到苹果取完。Expt2(随机取苹果，随机选盘子)：每次取随机个苹果，然后随机放进3个盘子，直到苹果取完。Expt3(随机取苹果，依次取盘子)：每次取随机个苹果，依次放入3个盘子，最后一个盘子放入剩余所有的苹果。Expt4(依次取盘子，随机选苹果)：每次取1个盘子，随机选几个苹果放入，取过的盘子不再重复取，直到盘子取完。最后一个盘子必须装完剩余苹果。Expt5(随机取盘子，随机选苹果)：每次随机取1个盘子(取过的盘子可以重复取)，随机选几个苹果放入，直到苹果选完。Expt6(盘子苹果同时随机取)：每次同时取随机个盘子和随机个苹果，递归。看似这种方式最“随机”，实则隐含了不同的实现方式，我目前想到的有两种：a、尾递归方式。具体的，第一次取了随机个盘子和随机个苹果，变为缩小规模的Expt6，剩余的盘子和苹果先不管。不断递归缩减苹果数和盘子数，直到苹果为1(类似Expt1)或者盘子为1(类似Expt3)，即可完成一次苹果放置。规模缩减过程中产生的多余苹果和盘子都放在一边暂时不管，等完成递归后，再递归求解这剩下的苹果和盘子；b、树递归方式。第一次取了随机个盘子和随机个苹果，剩余的盘子和苹果同样组成缩小规模的Expt6，对这两个小Expt6问题同时递归求解。容易看出，Expt2和Expt5是等价的。同样Expt3和Expt4也是等价的，而Exp4正是本文所采用的。于是，回复中有人提出，既然知道有3个盘子，那么应该把串行的3次取随机个苹果改为并行的3次取（等价于左右手同时抓出两堆苹果放入2个盘），于是有：Expt7(并行随机取苹果)：一次性取3堆随机个苹果，放入3个盘。试验方法有了，还是老规矩，计算机仿真先。鉴于程序太长了，所以不贴代码了，直接给出结果。Expt6我还只实现了尾递归，树递归还没实现。Expt1：0.44486→4/9Expt2：0.074078Expt3：0.166816→1/6Expt6(a)：0.214719Expt7：0.200125→1/5结果比较明确，4/9派属于Expt1，1/5派属于Expt7，而鄙人的1/6属于Expt3。要解释Expt2和Expt6需要理论分析的结果，我还没想清楚怎么求，留待后续更新。幸运的是计算机仿真实验不但可以给出最终结果，还可以统计出概率分布，针对4/9派质疑1/5派状态空间等概率的假设，我们可以直观的来看一下(%显示)：a 6.65 待续。。。 + 加入我的果篮 我建议lz抛两枚硬币试试看，一正一反的概率到底是多少。居然真有人认为是1/3. 的话：说了两枚相同的硬币，现实中做不到那这种说明没有意义。 的话：我也建议你找2个5毛或者2个1块的硬币抛几十次试试要不要赌一把？ 的话：好吧，悲剧了，我认输，两个硬币一正一反是1/2。，赌注还没定啊，我本想趁机赢个几百块的 (C)2015果壳网&京ICP备号-2&京公网安备1/11+2/22+3/33+4/44+5/55+6/66+7/77+8/88+9/99-10/100+11/110+12/120/13/130=_百度作业帮 1/11+2/22+3/33+4/44+5/55+6/66+7/77+8/88+9/99-10/100+11/110+12/120/13/130= 1/11+2/22+3/33+4/44+5/55+6/66+7/77+8/88+9/99-10/100+11/110+12/120/13/130= 这道题我会，出着玩的 化简后是12个1/11一个-1/11，和为一：1/2/+2/3+3/4+5/6+...+49/50 怎么计算呢._百度作业帮 ：1/2/+2/3+3/4+5/6+...+49/50 怎么计算呢. ：1/2/+2/3+3/4+5/6+...+49/50 怎么计算呢. 这样的题目,我不知道是自己编的,还是别人出出来的.其实,它在数学上,是和一个叫调各级数的和有关的.你只加到50的话,可直接算出来.我们不妨先看一看,如果不是50,而是N,是什么情况SN=1/2/+2/3+3/4+5/6+...+49/50+.+N/(N+1) 共N项.SN=(1-1/2)+(1-1/3)+.+(1-1/(N+1))=N-ANAN=1/2+1/3+1/4+1/5.这个数值并没公式可给出的.它不是一个收敛的集数.当然,如果N只到49,那结果是可求出来的.如果不允许近似值,只有硬算.结果是：2 0.53 0.4 0.755 0.86 0.7 0.8 0.8759 0.10 0.911 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.937517 0.18 0.19 0.20 0.9521 0.22 0.23 0.24 0.25 0.9626 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.9687533 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.97541 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.98和为：45.以上为近似值.要准确值刚数值相当大.分母为：3.04141E+64分子比分母还大一个数量级.自己去算吧.嘿嘿. 1/2/+2/3+3/4+5/6+...+49/50=1-1/2+1-1/3+........+1-1/50=49-(1/2+1/3..........+1/20)=50-(1+1/2+1/3+1/4..........+1/50)=50-(ln(50)+0.577)计算器算之也就是求：1+1/2+1/3+1/4..........+1/n