教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方
法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,1先排末位共有C3 1
然后排首位共有C4 3
最后排其它位置共有A4113
由分步计数原理得C4C3A4?288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元522素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A5A2A2?480种不同的排法1/7页
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3
枪连在一起的情形的不同种数为
20
三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素5种，44中间包含首尾两个空位共有种A6不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A55A6种新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后3用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A77/A34(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙共有41种坐法，则共有A7种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有
方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？5C10五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有7种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 n的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m种
练习题：1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法7 六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！86ABCDEFGHA2/7页
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆1m形排列共有An
n练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
120 七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A24种,再排后45215个位置上的特殊元素丙有A14种,其余的5人在5个位置上任意排列有A5种,则共有A4A4A5种前 排后 排一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.2解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C5种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装24入4个不同的盒内有A44种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C5A4
练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？2解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有A2再排小集团内部共有A22种排法，2A2种排法，22由分步计数原理共有A2A22A2种排法.小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一54品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A2A25A4 552. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A22A5A5种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法6共有C9种分法。3/7页
二班三班六班七班将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板， m?1插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cn?1练习题：41． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
C932 .x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数
C103十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5312个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有C5C5,和为偶数的取123123法共有C5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5C5?C5C5?C5?9有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？222解: 分三步取书得C6C4C2种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一222步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则C6C4C2中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A33种取法 ,而这些分法仅222是(AB,CD,EF)一种分法,故共有C6C4C2/A33种分法。n平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以An(n为均分的 组数)避免重复计数。
练习题：5421
将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（C13） C84C4/A22.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转
入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安222排2名，则不同的安排方案种数为______（C4C2A6/A22?90）十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C3C3种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112C5C3C4种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C52C52种，由分类计数原理共有224/7页
2211222 C3C3?C5C3C4?C5C5种。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做 到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座
谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有342. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
（27）
本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？3解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C5 种
十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法2解：从5个球中取出2个与盒子对号有C5种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号2球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C5种号盒
5号盒对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
(9)2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,5/7页
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