欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。1 复数在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。1.1 i 的由来i=\sqrt{-1} ，这个就是 i 的定义。虚数的出现，把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的：从自然数扩张到整数：增加的负数可以对应“欠债、减少”从整数扩张到有理数：增加的分数可以对应“分割、部分”从有理数扩张到实数：增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（ \sqrt{2} ）”从实数扩张到复数：增加的虚数对应什么？虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。看起来我们没有必要去理会 \sqrt{-1} 到底等于多少，我们规定 \sqrt{-1} 没有意义就可以了嘛，就好像 \frac{1}{0} 一样。我们来看一下，一元二次方程 ax^2+bx+c=0(a\neq 0) 的万能公式：其根可以表示为：x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} ，其判别式 \Delta =b^2-4ac 。\Delta >0 ：有两个不等的实数根\Delta =0 ：有两个相等的实数根\Delta <0 ：有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，干嘛理会这种情况？我们再看一下，一元三次方程 ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq 0) ，一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考 维基百科 ，但愿大家能够打开。我们讨论一下 b=0 ，此时，一元三次方程可以化为 x^3+px+q=0 ，其根可以表示为： \begin{cases} x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_3=\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}} \end{cases} 其中 \omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} 。判别式为 \Delta =(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3 ，注意观察解的形式， \Delta
是被包含在根式里面的。\Delta >0 ：有一个实数根和两个复数根\Delta =0 ：有三个实数根，当 p=q=0 ，根为0，当 p,q\neq 0 ，三个根里面有两个相等\Delta <0 ：有三个不等的实根！懵了，要通过复数才能求得实根？要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根（谢谢匿名网友勘误），但是在当时并不知道，并且开始思考复数到底是什么？我们认为虚数可有可无，虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物，只在形式上被定义，但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在，并且成为重要的分支。详细的虚数由来可以看这篇科普文章：虚数 i 是真实存在的吗？ - 马同学的回答1.2 复平面上的单位圆在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：我们来动手玩玩单位圆：此处有互动内容，需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。点击此处前往操作。1.3 复平面上乘法的几何意义同样来感受一下：此处有互动内容，需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。点击此处前往操作。2 欧拉公式对于 \theta \in \mathbb {R} ，有 e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta
。----维基百科欧拉公式在形式上很简单，是怎么发现的呢？2.1 欧拉公式与泰勒公式关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章：如何通俗地解释泰勒公式？ 。欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的：e^ x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots
sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots
cos(x)=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots 将 x=i\theta
代入 e 可得：\begin{align} e^{i\theta } & = 1 + i\theta + \frac{(i\theta )^2}{2!} + \frac{(i\theta )^3}{3!} + \frac{(i\theta )^4}{4!} + \frac{(i\theta )^5}{5!} + \frac{(i\theta )^6}{6!} + \frac{(i\theta )^7}{7!} + \frac{(i\theta )^8}{8!} + \cdots \\ & = 1 + i\theta - \frac{\theta ^2}{2!} - \frac{i\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^4}{4!} + \frac{i\theta ^5}{5!} - \frac{\theta ^6}{6!} - \frac{i\theta ^7}{7!} + \frac{\theta ^8}{8!} + \cdots \\ & = \left( 1 - \frac{\theta ^2}{2!} + \frac{\theta ^4}{4!} - \frac{\theta ^6}{6!} + \frac{\theta ^8}{8!} - \cdots \right) + i\left(\theta -\frac{\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^5}{5!} - \frac{\theta ^7}{7!} + \cdots \right) \\ & = \cos \theta + i\sin \theta \end{align}那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢？2.2 对同一个点不同的描述方式我们可以把 e^{i\theta } 看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点， cos\theta +isin\theta
通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，是同一个点不同的描述方式，所以有 e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta
。2.3 为什么 e^{i\theta } 是圆周运动？定义 e 为： \displaystyle e=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^ n----维基百科这是实数域上的定义，可以推广到复数域 \displaystyle e^ i=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{i}{n})^ n 。根据之前对复数乘法的描述，乘上 (1+\frac{i}{n}) 是进行伸缩和旋转运动， n 取值不同，伸缩和旋转的幅度不同。我们来看看 e^ i=e^{i\times 1} 如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的：从图上可以推出 n\to \infty
时， e^ i 在单位圆上转动了1弧度。再来看看 e^{i\pi } ，这个应该是在单位圆上转动 \pi
弧度：看来 e^{i\theta } 确实是单位圆周上的圆周运动。动手来看看 e^{i\theta } 是如何运动的吧：此处有互动内容，需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。点击此处前往操作。2.4 2^ i 的几何含义是什么？2^ i 看不出来有什么几何含义，不过我们稍微做个变换 e^{iln2} ，几何含义还是挺明显的，沿圆周运动 ln2 弧度。2.5 欧拉公式与三角函数根据欧拉公式 e^{i\theta } = \cos \theta +i\sin \theta
，可以轻易推出：\sin \theta ={\frac{e^{{i\theta }}-e^{{-i\theta }}}{2i}} 和 \cos \theta ={\frac{e^{{i\theta }}+e^{{-i\theta }}}{2}} 。三角函数定义域被扩大到了复数域。我们把复数当作向量来看待，复数的实部是 x 方向，虚部是 y 方向，很容易观察出其几何意义。2.6 欧拉恒等式当 \theta =\pi
的时候，代入欧拉公式：e^{i\pi }=cos\pi +isin\pi =-1\implies e^{i\pi }+1=0 。e^{i\pi }+1=0 就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式， e 、 \pi
、 i 、乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何通俗地解释欧拉公式？更多内容推荐马同学图解数学系列}