先说结论：点乘的定义式是x1y1+x2y2，长度积乘夹角余弦是通过计算方便导出的计算式，而且只在定义了内积之后有意义（因为没有内积连模都没有，更没长度）高中阶段关于坐标系的一些结论还是用了一些符合直觉的结论，比如我举个例子：我们定义的向量的长度怎么来的？\两点间距离公式，向量坐标每个分量的平方和啊！/两点间的距离公式是怎么出来的？\初中知识啊，勾股定理直接结论啊！/勾股定理怎么来的？这个时候台下就嘈杂了起来。\初中老师教我们是几何证明出来的！/估计也只能到这为止了。勾股定理是什么？定理，不是公理啊。如果不能通过坐标系相关的其他公理证明出来勾股定理，那勾股定理就是不成立的。于是我们就有了一个叫做欧氏空间的东西，由于这个要从线性空间提起，所以就简单说一下结论：1.在欧式空间必须有一个叫做内积的构造，内积是两个向量到一个实数的函数。2.内积是一个满足很多很多条件的函数，不过在你高中涉及到的平面直角坐标系里，x1y1+x2y2总能表示出一个内积，称其为点乘。3.内积有个条件就是两个同样的非零向量的内积一定大于0，所以我们定义它的算术平方根为模，如果内积是x1y1+x2y2，它正好就是长度。4.我们定义向量垂直：内积为0，于是瞬间就有了0向量与任意向量垂直。5.现在我们才有了毕达哥拉斯定理：两个垂直向量模平方和等于它们和的模平方（如果内积是x1y1+x2y2，它正好就是勾股定理）6.回到a和b的内积问题，我们可以把向量a变成两个向量之和，这两个一个与向量b垂直，一个与向量2共线。其中：·共线的那个与向量b的内积就是模的积。·垂直的那个与向量b的内积为0。7.然后我们的夹角cos值的定义就来了：向量a，b夹角的cos值，就是向量a和拆分后与b共线的那个向量的模的比值。于是我们最后就有了x1y1+x2y2=abcos夹角。（说真的，夹角这个概念太偏几何学了，如果从几何学角度入手，还是从三角函数切入好一些，这就是书上的做法。不过涉及了点乘和内积，还是从欧式空间讲严谨清晰一些。）}