最近疫情肆虐，但也阻挡不了我们学习的心哈哈哈哈哈，我也被封在小区了。虽然内心有些惶恐，但可以趁这段时间好好学习整理一下~积极面对，勇敢克服，冲冲冲！OK，回归正题~不定积分和前一讲的微分密切相关回顾微分学的基本问题是“已知一个函数，如何求它的导数”那么，如果已知一个函数的导数，要求原来的函数。该类问题就是微分法的逆问题，由此产生了积分学。并且积分学主要包括两个基本部分：不定积分和定积分。今天，我们先来学习一下《不定积分》1.定义设F（x）是f(x)的一个原函数，则f(x)的全体原函数F（x）+C(C为任意常数）称为f(x)的不定积分。不定积分表达式的具体含义其实，不定积分求得的结果是被积函数f(x)的原函数，同时这个结果的导数F'(x)就是f(x)。几何意义：f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线， \int_{}^{}f(x)dx 的图形为f(x)的所有积分曲线组成的平行曲线族。特点：任意两条积分曲线的纵坐标之差为常数；每条积分曲线横坐标相同点处的切线相互平行，即切线斜率相等，都为f(x)。平行积分曲线族2.性质不定积分的性质3.求解不定积分的方法求解不定积分和定积分也是考试非常重要的考点，并且不定积分和定积分的求法相似，所以我们要在这一讲打好基础，那么定积分的求解就会很轻松啦~下面，主要给大家介绍这几种求解不定积分的方法：公式法、换元积分法、分部积分法、有理函数积分法。（1）公式法公式法，顾名思义就是一些常用的不定积分的公式。如果遇到这样的形式可以直接套用。当然，这些不定积分都可以一步步求解得到结果。但是，随着大家做题数量的增多就会发现这些是经常考察的内容。所以，小编给大家整理好以便查看运用。（不过不需要死记硬背哦，自己多推导几遍就记住了。如果记不住也没关系，知道如何推导的就可以。）一定要自己再推导一下哦！！！那么，接下来就来几个例题练练手吧~第（1）题非常简单，直接求出多项式 x^{2}-3x+2 的原函数就可以了第（2）题根据 tan^{2}x+1=sec^{2}x 稍微变形，然后再求 sec^{2}x-1 的原函数【第4大类的（7）公式】第（3）题先将分式化简，因为 \frac{1}{1+x^2} 的原函数是arctanx，所以对分子加1减1，凑成 1+x^2 ，化简为\frac{2}{1+x^2}-1，然后写出其原函数就可以啦~【第5大类的（3）公式】（注意：不定积分最后一定要加上任意常数C，因为它的结果是一个曲线族，而不是一条确定的积分曲线）通过上述例题，我们可以发现，题目并不是简单的直接套用公式就可以了，而是会有一些变形。因此需要我们掌握更多的技巧和求解方法。（2）换元法换元法有两类，第一类换元积分法又称为凑微分法，第二类换元积分法又称为变量代换法。凑微分法的关键是”凑“，其目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量一致，即把dx凑成du\int_{}^{}{f[\varphi(x)]\varphi'(x)}dx=\int_{}^{}f[\varphi(x)]d\varphi(x)=\int_{}^{}f(u)du,u=\varphi(x) 变量代换法则是先换元，再积分，最后回代。相比而言，凑微分的步骤是先凑微分后换元（熟练以后也可以直接计算，省略换元的过程）。在此，也给大家汇总了一下常见的凑微分公式如下所示：凑的原则/目的：使被积函数的中间变量与积分变量一致来两个题练练手吧第（1）题将x凑成 d\frac{1}{2}x^2 ,再令 u=x^2 求原函数第（2）题其实是公式法中的第5大类（5）公式的变形，图片中的是一般的解法，先化简，降幂拆分为两个分式，再凑微分，然后求出原函数化简即可。当然，凑微分可能也有多种”凑“法，比如下面这一题：想怎么凑就怎么凑系列~第二类换元积分法，主要是用来求解被积函数为无理数的不定积分，目的就是将无理函数的不定积分转换为有理函数的不定积分，再进行求解。主要包含：三角代换、根式代换、倒代换、指数代换等。主要步骤都差不多：先变量代换，然后化简、求解，最后回代。一定一定一定要记得回代！！！上几个例题巩固一下吧~三角代换分母次数太高时，可以使用倒代换指数代换（3）分部积分法前面两种方法可以解决大量的不定积分的计算问题，但是对于被积函数是两个不同函数乘积的这种形式采用上述两种方法就失效了。此时需要使用分部积分法来进行求解。换元积分法是在复合函数求导法则的基础上得到的，而分部积分法则是利用两个函数乘积的求导法则来推导的。分部积分法的推导u,v的确认是分部积分法的关键所在，因此，我们详细展开来看看具体应该如何确认。第一种情况，多项式函数与三角函数或指数函数的乘积作为被积函数，将多项式函数看作u，三角函数或指数函数去凑微分第二种情况，被积函数为多项式和反三角函数或者对数函数的乘积，则把多项式函数去凑微分，其余部分看作u（第三、四种情况就自己看吧，嘿嘿）小试牛刀，练一练（非常简单的，根据上面的几种情况直接用分部积分法一下就求出来了，所以没有详细步骤，自己算一算，再对一对答案吧~）（4）有理函数积分法f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)} ,其中 {P_{n}(x)}、{Q_{m}(x)} 分别为x的n次多项式和m次多项式。当m>n时，f(x)为真分式，反之，则为假分式。简单来说，有理函数积分法就是教我们如何把一个分式拆分为多个方便计算的分式。OK，方法论掌握得差不多了，快去练练题巩固一下吧~}

（本人是大一学生，也初学积分，权当做个当下学习阶段的小结和感悟分享，难免有许多稚嫩与不足之处，希望和大家共同交流进步并能得到各位的指导）基本的方法一.凑微分（基本功）内容：（来自百科）凑微分法，把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法，换元积分两种方法中第一类换元积分法的别称。我们现阶段遇到的大多数题其实都能靠凑微分做出来，也只有熟练掌握了凑微分我们才能更好的运用其他奇巧淫技。私以为这一部分应主要注意以下几个点：1.基本积分表熟练掌握不定积分基本公式，因为我们遇到的多数问题都是这些基本公式的变形组合而来，熟练掌握好这些公式以后对一些形式的敏感度也会增加，也更容易找到着手点。2. 多加练习，基本功确实也没太多能说的，就多练吧，注意一些小技巧的积累和对其的熟练运用。
主要技巧：增，减，拆，提项经典例题.\int\frac1{e^x+1}dx
=\int 1-\frac{e^x}{e^x+1}dx
=x-ln(e^x+1)+C \frac{x+1}{x(1+xe^x)}dx
=\int\frac 1{xe^x}-\frac1{1+xe^x}dxe^x =ln|\frac{xe^x}{1+xe^x}|+C \int \frac{1}{1+x^4}dx =\frac{1}{2} \int_{}^{}[\frac{x^2+1}{1+x^4}-\frac{x^2-1}{1+x^4}]dx =\frac{\sqrt{2}}{2}arctan\frac{(x^2-1)}{\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{4}ln|\frac{x^2+\sqrt2x+1}{x^2-\sqrt2x+1}|+C 二.主要的几种换元法主要是以下几个点：1.整体代换主要是观察到一个较为复杂的式子“g(x)”可以用于凑微分，于是用t=g(x)替换以达到简化运算的效果。举几个简单例子而有一些难题需要对复杂部分直接进行代换，并不容易想到，这就需要慢慢积累内化了。2.倒代换这个方法我们在求取极限时就3经常用到了，应该不难想到在一些分式，尤其分母次幂明显高于分子次幂时可以考虑 x\rightarrow\frac{1}{t}或\frac{1}{t^n} 举个简单的例子（来自百科）3.三角代换（包括万能公式代换）三角换元的题目一般有两种：一是“g（x）”--->“三角”二是“三角”--->“g(x)”一般而言我们更多的使用的是前者。其核心是三角函数的运算性质(三角恒等式之类的作用)故需要熟悉基本的三角恒等式，如：例. \int\frac1{\sqrt{x^2+x+1}}dx=\int\frac1{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}dx令 x=\frac{\sqrt3}2tan\theta-\frac{1}{2}则原式= \int sec\theta d\theta = ln|sec\theta+tan\theta|+C再将 \theta 逆代换即可例.万能公式法（知乎打公式太麻烦了，就手写吧），一般次数不高的三角有理式使用万能公式会有奇效。4.欧拉代换常用于根式的有理化，以达到简化积分式的目的。（欧拉第一代换）若a>0:可令或（欧拉第二代换）若c>0：可令或（欧拉第三代换） 若ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta),其中 \alpha，\beta 为方程的两 个不等实根：可令或例. \int1/\sqrt{x^2-4x+3}dx（该题目对三种欧拉代换的要求都满足，这里仅给出欧拉第一代换的过程，有兴趣的同学可以试试另外两种）令 \sqrt{x^2-4x+3} = t-2x 则可得x=(t^2-4t+3)/(2t-4)带入得原式 =\int1/(t-2)dt=ln|t-2|+C再将t逆代换即可5.双曲换元与三角换元的效果比较类似，很多双曲换元的题目也能使用三角换元便捷处理，该法也需要熟悉一些基本的恒等式，对双曲函数有兴趣的同学可以参考一下 @王希大佬的文章。例. \int\frac1{\sqrt{x^2+1}}dx (x>1)令 x=cosh\theta原式= \int\frac {sinh\theta}{\sqrt{cosh^2\theta-1}}d\theta= arcoshx+C三.分部积分需要注意的一个是“反对幂三指”———对于函数“位置”的选择另一个是分部积分的一般推广，也就是所谓的列表积分法在这里提一下 U_{n} 对原函数及导函数的封闭性：形如 P_{n}(x)e^{\lambda x} 的函数全体记为 U_{n} ,其中 \lambda \ne0 ， P_{n}(x) 是n次多项式。若f(x) f(x)\in U_{n} ,则 f'(x)\in U_{n} ,存在 f(x) 的原函数 F(x)\in U_{n} 。故对此类函数的积分，可使用待定系数法求解，往往会比列表积分法更加快捷。（附）一些积不出来的积分（不能表达为初等函数形式）\int e^{ \pm x} dx
\int \frac{sinx}{x} dx
\int sinx^2dx
\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^4}} \int \frac{dx}{lnx}
\int \sqrt{1+x^3} dx
\int \sqrt{1-k^2 sin^{2}x}dx 这类积分分部积分或换元都积不出来，表明初等函数的原函数不一定是初等函数。主要的几类题型一.有理函数一般对于有理函数的积分，我们都可以先看是不是最简分式，如果不是最简分式那便先化成最简分式后利用凑微分和换元法处理，下面以几道典型题进行具体说明。1.配项分解真分式例. \int \frac{x^2+1}{(x^2-2x+2)^2}dx =\int \frac{(x^2-2x+2)+(2x-1)}{(x^2-2x+2)^2}dx =\int \frac{dx}{x^2-2x+2}+\int \frac{2x-1}{(x^2-2x+2)^2}dx 则将一个较难的积分转化为两个易积的最简分式之和，后续过程略。2.裂项分解真分式（待定系数法）例. \int \frac{dx}{x^3+1}
立方和公式知\frac{1}{1+x^3}=\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} ，设 \frac{1}{1+x^3}=\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-x+1} 解出a,b,c的值后则将一个较难的积分转化为两个易积的最简分式之和，后续过程略。3.长除法化假分式为多项式与最简分式的和例. \int \frac{x^5+x^4-2x^3-x+3}{x^2-x+2}dx 则将一个较难的积分转化为两个易积的最简分式之和，后续过程略。 二.三角函数有理式三角函数有理式的积分使用万能公式都可化为有理函数的积分，下面主要举几例不用万能代换的积分。（对于这类特殊积分一般可考虑凑正弦，余弦，正切的微分，但具体到某个题目，也可能会有更为巧妙便捷的方法）例1. \int \frac{dx}{sin^2xcos^2x} 法一：原式=\int \frac{1}{sin^2x}+\frac{1}{cos^2x}dx 法二：原式=2\int (csc2x)^2d2x 例2. \int sin^2xcos^4xdx 倍角公式得原式=\frac{1}{8}\int sin^22xcos2xdx+\frac{1}{8}\int sin^22xdx 例3. \int \frac{dx}{sin^4xcos^2x} 注意到原式=\int \frac{1}{sin^4x}dtanx 则不难想到通过“1”得 原式=\int \frac{(sin^2x+cos^2x)^2}{sin^4x}dtanx ,上下同除 cos^4x 得 原式=\int \frac{(1+tan^2x)^2}{tan^4x}dtanx 例4. 和差化积型例5. \int \frac{Asinx+Bcosx}{Csinx+Dcosx}dx 型\int \frac{3sinx+4cosx}{2sinx+cosx}dx 令 3sinx+4cosx=a(2sinx+cosx)+b(2sinx+cosx)' 原式=ax+b\int\frac{d(2sinx+cosx)}{2sinx+cosx} 解出a,b，则题式得解。三.分部积分法很多不定积分都需用到分部积分，下面仅提几个主要的特殊题型。例1.建立不定积分方程I=\int \sqrt{a^2+x^2}dx =x\sqrt{a^2+x^2}-\int\frac{(x^2+a^2)-a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx =x\sqrt{a^2+x^2}-I+a^2ln(x+\sqrt{a^2+x^2}) 即得 I 例2.递推型有两个经典递推式需要熟悉：1. I_{n}=\int tan^nxdx I_{n}=\int tan^nxdx=\int tan^{n-2}x(sec^2-1)dx =\frac{tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2} 2. I_{n}=\int sin^nxdx I_{n}=\int sin^nxdx=-\int sin^{n-1}xdcosx =-cosxsin^{n-1}x+\int(1-sin^2x)(n-1)sin^{n-2}xdx =\frac{n-1}{n}I_{n-2}-\frac{sin^{n-1}xcosx}{n} 四.无理函数的积分该部分主要题型可参照本文基本的方法中的几种代换（如整体代换，欧拉代换等）即可，下面再提一类简单却也典型的题型例. \int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt[3]{x})}
被积式中两根式\sqrt{x},\sqrt[3]{x} 最小公倍数为6，故可取 x=t^6 得 原式=6\int \frac{t^2}{1+t^2}dt 不定积分的基础内容应该就基本更完了，关于定积分的内容，有空的话，后面会以文章的形式不定期更新。}