前面已经说过，对量子的最确切定义就是描述量子的波函数。但波函数究竟是什么东西呢？经典的波动描述中，一列波，比如电磁波的电场分量（一维）：E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)}\qquad (1) 是明确的某一个物理量波动，有量纲，可以是场强，压强，位置偏移，等等。 E_0 是波动的振幅，振幅的平方是能量密度。哥本哈根诠释中，将量子波函数的波幅理解为粒子出现的概率幅，模方之后才是粒子在该本征态、或者该位置出现的概率。可是，概率或者概率幅都不是物理量。也就是说，波函数并不是一种物理描述。然而，这种诠释是符合实验统计的，可以说得到了实验的支持。那么，为什么会这样呢？我们先来看看有些什么线索和提示：薛定谔方程与平面波我们再来看一下薛定谔方程（简单形式）：\begin{array} \hat{H}\Psi(x, t) &= E\Psi(x, t)\\ {}&= E\psi(x) e^{-iEt/\hbar} \\ {}&= E\psi(x) e^{-i\omega t} \qquad (2) \end{array} \hat{H} 是哈密顿量，量纲是能量，与方程右边的 E 相同。E是一个常数，可以理解为与方程(1)中的振幅 E_0 类似。 \psi(x) 是定态波函数的空间部分。如果是自由粒子，薛定谔方程的解是平面波， \psi(x)=A e^{ikx} ，其中 A 是归一化常数，因此我们有：\Psi(x,t) = Ae^{i(kx-\omega t)}\qquad (3) 形式就与(1)式一样了。从(3)式可以看出，对于自由粒子，或平面波，量子波函数的形式和经典波是一样的。但经典波有明确的物理意义，波动的物理量随空间和时间做简谐振荡。量子的波函数，根据哥本哈根诠释，只是概率波幅。由于平面波无限延展，所以在任何一个小区间找到粒子的概率几乎都是零。即，归一化常数 A 趋于零。但(1)式中，振幅是一个任意值。这一点差别可以在有限宽的无限深势阱中消除。在有限宽无限深势阱中，量子波函数和经典波函数形式是一样的，都有波长的分立性要求，都是驻波。差别在于，量子波函数的振幅受归一化条件限制，而经典波没有限制。但归一化条件只是因为要求粒子数为1，即，对于一个量子的波函数，所有可能波动模式概率之和加起来只能等于1。我们把平面波当成波函数的一个特例，发现光子的量子波函数和经典描述形式是一致的。但是经典描述物理含义清楚，但量子概率幅描述需要诠释。式(2)中，如果将粒子包含的能量 E 当成一整份，那么其空间分布函数 \psi(x) 的模方就是该粒子在空间的能量密度分布。所以波函数就是能量密度分布函数。波动涉及的相互作用我们在前面已经说明，在标准模型中，只有电磁相互作用是能在实验室表现的长程低能相互作用。如果仔细分析所有的经典波动现象，如声波，电磁波，地震波，水波，等，可以发现涉及的基本相互作用只有电磁相互作用（水波有重力，但是是常数）。而在实际应用中，薛定谔方程描述的量子现象都是电磁现象（如果一定要给出别的势场，也可以求解薛定谔方程，但是基本上都是假想情况。这里也不讨论原子核物理，原子核物理涉及强相互作用）。也就是说，我们在凝聚态、原子分子物理、光学、化学、材料、生物，……，等学科中，讨论的各种量子现象，其实都是电磁相互作用下的物理现象。在电磁作用主导的物理体系中，波是最基本的表象。油滴实验(Walking droplet experiments)油滴实验，是指在振动的水面上产生一个小油滴，振动水面可以产生各种波动现象，通过观察油滴的运动轨迹来模拟各种量子现象，也叫流体力学量子模拟(Hydrodynmic quantum analogs)。参考：Bush，"Quantum mechanics writ large". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 107 (41): 17455–17456. 油滴实验可以模拟双缝干涉（Fort, E.; Couder, Y. "Single-Particle Diffraction and Interference at a Macroscopic Scale". Physical Review Letters. 97 (15): 154101），隧道效应（Couder;
et al. "Dynamical phenomena: Walking and orbiting droplets". Nature. 437: 208），量子化轨道（Eddi;
et al. (June 2009). "Unpredictable Tunneling of a Classical Wave-Particle Association". Physical Review Letters. 102 (24): 240401.），塞曼效应（Eddi;
et al. "Level Splitting at Macroscopic Scale". Physical Review Letters. 108 (26): 264503），量子围栏（Eddi;
et al. "Level Splitting at Macroscopic Scale". Physical Review Letters. 108 (26): 264503.），等等。在油滴实验中，实际上是水波的波动现象。水波现象与量子效应的相似性来自于量子的物质波性质。但是，油滴实验由于有油滴示踪，还可以帮助我们理解粒子性，以及概率幅是怎么回事。实验大量统计油滴轨迹，轨迹的统计性质表现出各种量子性，或者波动性。波函数的物理根源量子力学描述的是物理客体，体现量子所有性质的是波函数，但波函数却不是物理的，反而经典波动描述的物理定义清晰。那么波函数是不是应该有物理根源呢，或者说，它实际上是某种物理性质“恰好”的表述呢？我们知道经典波幅实际上表示了能量密度，而我们在标准世界观中又说了，能量密度是时空展示为何种基本相互作用的基础。虽然波函数波幅变化范围一般不到相互作用自由度激发的范围，但是能量密度高的区域更容易引起相应的激发，比如光电效应，显影时的银离子还原，等，是完全成立的。就像油滴实验中，油滴更多分布在波幅大，能量高的区域一样。这样，量子波幅就是某种物理量的振幅了，比如电场强度。也就是说，波函数的概率幅实际上是反映能量密度的某种物理量振幅，波函数就是某种真实物理量的波函数。当用粒子的方式“测量”波函数时，比如有很多可还原银离子的显影屏，波函数能量密度高的地方显影的可能性高，其概率值就是能量密度。而波函数也就成了能量波。标准世界观中，粒子本来就是能量对时空的扰动模式。体现在量子力学中，考虑到非相对论性，抽象的量子就是其低能部分，或者说，电磁相互作用部分，的能量构成形式。注意，这里仍然用到的概率的说法，但是这里的概率已经是上一章“决定论”讨论的概率了，也就是，是物理过程确定地决定了发生某一事件，但是没有好办法计算出到底在哪一点。本章总结薛定谔方程是物质波的扩散方程，电磁相互作用是物质波的相互作用载体。光子波函数与经典电磁辐射波动函数的一致性暗示了量子波的能量属性。量子波的粒子性可以从油滴实验理解。概率波幅描述应该有物理根源。量子波函数也是其能量密度分布函数，粒子性的表现概率由能量密度决定。哥本哈根概率诠释“恰好”表达了物质波的能量密度特征。}