这是一个好问题，之前我写过文章来讲以下这三个内容(点击此处查看文章)：1.变上限积分与原函数有什么关系？ 2.分段函数的变上限积分如何求？
3.变上限积分在被积函数第一类间断点处如何（连续or可导？）针对本问题，我挑选文章的一部分来说明。要弄清楚它们之间的关系，首先我们来看定积分和不定积分是什么。1.什么是不定积分？说白了，不定积分就是求被积函数的一系列原函数（考虑到后面加了个任意常数c）。所以一个函数有不定积分就可以说它有原函数。2.什么是定积分？定积分最初被发明出来是为了求不规则图形的面积，它是与面积有关的。所以如果能求出一个函数在某个区间与 x 轴围成的面积，那么它在这个区间的定积分就是存在的，也可以说这个函数在这个区间是可积的。3.定积分和原函数的关系：那么他们之间有什么关系呢？其实一开始他们之间一点关系都没有。直到后来一个“牛掰”的理论将它们建立了联系，它就是牛顿-莱布尼兹。它是这样说的：一个连续函数在区间[a,b] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间 [a,b] 上的增量 注：连续这两个字很关键这样就将原函数与定积分联系在了一起。a. f(x) 连续时，变上限积分和原函数的联系：此时在区间[a,b] 内找一点 c_{1} ，则根据牛顿-莱布尼兹得： \int_{a}^{c_{1}}f(t)dt=F(c_{1})-F(a) 此时再找一点 c_{2} ，则根据牛顿-莱布尼兹得： \int_{a}^{c_{2}}f(t)dt=F(c_{2})-F(a)以此类推，在区间[a,b] 内任找一点都有这个关系。用变量表达就是：对于任意 x\in[a,b] , \int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)-F(a) 。此时就建立起了变上限积分和原函数之间的关系由于 F(a) 是一个常数，所以设 c=-F(a) ，于是就有 \int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)+c 。由此可见，变上限积分 \int_{a}^{x}f(t)dt 可以看成是被积函数 f(x) 的一个原函数。但是这一切都是建立在牛顿-莱布尼兹上的，而这个公式中要求函数在积分区间是连续的(前面提到过的关键)。所以当 f(x) 在区间 [a,b] 上不连续的话，情况就不一样了。b. f(x) 不连续时，两者的情况：首先看原函数：(1)如果 f(x) 在区间 [a,b] 上有第一类间断点或无穷间断点，则其在该区间上没有原函数反证法证明： 若 x_{0} 是 f(x) 第一类间断点或无穷间断点，假设此时它存在原函数 F(x)
则有 F'(x_{0})=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}{\frac{F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}{F'(x)} (洛必达） F'(x_{0})=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{\frac{F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{F'(x)} (洛必达） 根据原函数定义: F'(x)=f(x) ,所以上式变为： f(x_{0})=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{f(x)} ，不满足第一类间断点或无穷间断点的前提，矛盾。所以此时不存在原函数。(2)如果 f(x) 在区间 [a,b] 上有振荡间断点，则其在该区间上可能有原函数举个简单的例子既可说明：p.s.接下来会有小伙伴问：(2)也可以按照(1)的证明方法来，最后得到 f(x_{0})=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{f(x)} 这个式子，而振荡间断点也不满足这个式子，按理说也否定了其具有原函数的可能性，但是结果为啥是有可能呢？其实原因在于： 证明(1)中，证明的关键是使用了洛必达，而洛必达其中一个条件是：通过洛必达求出来的极限为常数或者为无穷才能使用。即洛必达之后得到的 \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}{f'(x)} 和 \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{f'(x)} 结果为常数或者无穷才可以使用洛必达。而对于第一类间断点而言，其为常数；对于无穷间断点而言，其为无穷，均满足，故可以运用洛必达得到最后的式子。 可是对于振荡间断点而言\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}{f'(x)} 和 \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{f'(x)} 结果不满足常数或者无穷，因此不能使用洛必达，也就得不到最后的式子。再看变限积分：由于考研主要考含第一类间断点的变限积分，所以这里仅以第一类间断点为例。同时，因为变限积分是定积分变形而来的，故其也可以表示面积。所以接下来以面积来描述变限积分的情况。可去间断点的情况：首先大家知道：有限个有限长的线，它们的面积总和为0，因此对于一个二维图形而言，增加或者减少若干根有限长的线，其面积不变。如下图：含有限个可去间断点的函数和该函数连续时面积一样图中左侧的函数 g(x) 就是右侧函数 f(x) 添加若干个可去间断点后所成的函数（ x_{1} ，x_{2}，x_{3}均为可去间断点）由于函数 f(x)在区间 [a,b] 上是连续的，所以 \int_{a}^{b}f(x)dx 肯定是存在的。同时，从图中对比左右两侧绿色区域的面积，发现仅仅是添加/去除若干根有限长度线的差别，所以函数 g(x) 与 x=a，x=b，y=0 所围成的面积等于连续函数 f(x)与它们所围成的面积。即 \int_{a}^{b}g(x)dx是存在的，由于它的存在，所以对于任意 x\in[a,b] , \int_{a}^{x}g(t)dt 也是存在的。所以，若函数 g(x) 在区间 [a,b] 上存在有限个可去间断点，那么它在 [a,b] 上有定积分，同时也有变限积分\int_{a}^{x}g(t)dt ，其中 x\in[a,b] ,跳跃间断点的情况：对于跳跃间断点的情况，我们可以将其拆成若干个面积和，如下图：拆分面积c 点是函数 g(x) 的跳跃间断点，且函数与 x=a,x=b,x=c,y=0 围成的面积为 S 。由图可知，S可以拆成两个面积之和（ S_{1}+S_{2} ），由于 g(x) 在区间 [a,c] 和[c,b]上都是连续的，所以 S_{1} 和S_{2}均存在，故 S 是存在的。这是仅有一个跳跃间断点的情况，分为了两块计算面积；由此类推有 k(k\in N^{+}) 个间断点，可以分成 k+1 块算面积。所以，含有有限个跳跃间断点的函数的定积分也是存在的，对应的变限积分当然也存在。综上就有了结论：若函数 g(x) 在区间 [a,b] 上存在有限个第一类间断点，那么它在 [a,b] 上有定积分，同时也有变限积分\int_{a}^{x}g(t)dt ，其中 x\in[a,b] 。到此结束！我是煜神学长。考研我们一起加油~}