1、摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幕级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。本文的第二个部分针对具体的级数2、收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。关键词：级数敛散性方法AbstractProgressiontheoryisanimportantpartofthemathematicalanalysis.Thestudyofseriesiso3、fprofoundsignificanceforfurtherdiscussingmathematicalanalysisproblems.Seriesconvergenceanddivergenceproblemisthemostimportantquestioninprogressiontheorythatmanyresearchersresearchon.Fortheanalysis,seriesconvergenceandseriesdivergenceisofthebasicfootholdexistinginmathematicalanalysis.Firstly,basedont4、heseriesconvergenceandseriesdivergence,thisthesisgivesadetailedandsystematicalintroductiontoseries,andamoredetailedsummaryofseriesconvergence,includingtheclassificationofseries,applicationofconvergence.Firstly,thispaperhasageneralintroductiontocommonseries,includingconstantseries,seriesofpositiveter5、m,staggeredseries,serieswithfunctionterms,powerseries,fourierseries.Besides,thepaperhasdetailedanalysisandsummaryofthedefinitionofcommonseries,theclassificationofcommonseries,andthesufficientandnecessaryconditionsfortheconvergenceseries,togetherwiththecommonlyusedidentificationmethodsofcorresponding6、series.Andthenthesecondpartofthisarticlehasacomprehensiveintroductionandanalysisofthemethods'definitionandspecificexamplesapplicationofthemethod,including:simplemethoddistinguishingthedivergenceofaseries,comparativemethod,ratiomethod,Gaussmethod,D'Alembertdiscriminantmethod,Logarithmicmethod7、,integralmethod,Rabemethod,andCauchymethod.Finally,thethirdpartofthispapermadeacomprehensivesummarythroughsortingoutidentifyingmethodsofseriesconvergenceanddivergence.Basedonthetypesofseriesandthemethodsofgeneraltermcharacteristics,thispapersummarizedtheanalysismentalityandeffectivewaysofsolutionsto8、convergenceproblem.Keywords：SeriesConvergenceMathod第一章引言级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幕级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。第二章级数基本概念2.1 级数的定义其定义如下：设unR,n1,2,3，记所有无限项加起来的和为unu1u2u3n1an而9、4则称为级数。n1注：数项级数或无穷级数也常简称级数。2.2 级数的分类级数的种类繁多，并没有很详细的分类标准,本文考虑从通项的内容来看,主要分成两大类：数项级数和函数项级数。数项级数:通项没有含有函数的的级数等比级数:（又称几何级数）形如2uquq3uq4uq其中q0,称为等比级数。调和级数：形如称为等比级数。正项级数：若数项级数的各项的符号都相同，则称为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数一一称为正项级数。交错级数:若级数的各项符号正负相问，即:n11unun0,n1,2,3一称为交错级数。般项级数：没有以上特点的数项级数。函数项级数：如果级数的每一项依赖于一个连续变量10、X,ununX,x在一个区aXb上变化，这个级数就成为一个函数项级数，简称函数级数，记为un。n1幕级数：有幕级数列UnXnX0所产生的函数项级数,即形如nUnXX0U0U1n0X02U2xX0UnnXX0的级数成为幕级数。傅立叶级数：一般地说，若是以2为周期且在上可积的函数,以fX的傅立叶系数的三角级数a0ancosnxn1bnsinnx称为fX的傅立叶级数，其中anxcosnxdx,n0,1,2,bnxsinnxdx,n1,2,3,称为傅立叶系数。泰勒级数：设函数f在点的某一邻域内具有直到n1阶导数，则形如nfXnxan0n!称为泰勒级数。Laurent级数：如果函数fx在环形域R1xaR11、2解析，则可以展开为nfxcnxan其中1f,Ccn-.nidn0,1,2，2ika称为Laurent系数，K是环形域内包围a在其内部的任意简单封闭曲线称nfxcnxan是fx在环形域R|xaR的Laurent级数。2.3 级数收敛发散的充要条件一般收敛：级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sn的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则（宋国柱，2004）:un收敛等n1价于任意给定正数，必有自然数N,当nN,对一切自然数p,有Un1Un2Un3Unp即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。绝对收敛：设an是实数列，12、如果级数an收敛，则级数an收敛;n1n1条件收敛：如果级数an收敛，但级数an发散，则说级数an条件n1n1n1收敛；一致收敛：设函数项级数fnz在区域D中收敛于函数Sz,若n1n,使得当nN时，SnzSzfkzSz对一切zDi1同时成立，则说fnz在D一致收敛于Szn12.4常见级数对应的收敛定理2.4.1 常数项级数，使得1 .当lim0S存在，则收敛；n2 .Cauchy准则：级数un收敛的充分和必要条件是，n1当nN时，SnpSnUn1Un24p对一切自然数P成立。3 .无穷级数：收敛的必要条件：若级数Un收敛，则limUn0n1n2.4.2正项级数1 .正项级数Un收敛的充分条件是13、它的部分序列和有上界;n12 .比较判别法：设0UnVn,n1,2,3，则(1)若Vn收敛，则n1Un也收敛；n1(2)若vn发散，则n13 .比值判别法：设Vn和Un是两个正项级数，且lim匕n1n1xvn若0l，则级数Vn和Un同时收敛或同时发散;n1n1若l0,级数Vn收敛，则Un也收敛；n1n1若l,级数Vn发散，则Un也发散n1n14 .Cauchy判别法(根值判别法)：设un是正项级数，limn1n(1)则当1时,级数un收敛;n1(2)则当1时,级数un发散;n1(3)则当1时,级数可能收敛也可能发散。5 .对数判别法：若对任意的ln2N时有q1,则un收Innn1In工敛；若有14、*1,则un发散。Innn16.积分判别法：设fx是1,上非负下降函数，则fxdx收敛。12.4.3交错级数1.Leibniz判别法：设un0,un1(n1,2)且limun0,则交错级数nn11)un收敛且余和的绝对值2.N(1)nUn1Cauchy定理：若级数Vn和n1Un都绝对收敛，具和分别为S和，则它们的乘积UVnU2Vn1UnV1nUkVn1kU1V1U1V2U2V1也是绝对收敛，且和为S*2.4,4函数项级数1.Cauchy准则：函数项级数fnz在D一致收敛于Sz的充分且必要条n1P件是：，使得当nN时，SnpzSnzfnkz对一切k1zD及一切自然数P同时成立。2.weierst15、ass判别法：设在集合G上fnzann1,2，且an收敛,n1则fnz在G上一致收敛。n12.4.5哥级数1.Abel定理：若cn(za)n在乙乙a收敛，则当zaz1a时，级n1数cn(z2尸绝对收敛，若cn(z2/在22处发散，则当za22a时，级n1n1数cn(z2尸发散。n1(1)幕级数在其收敛圆是内闭一致收敛的。(2)比值法：若lim2,则幕级数cn(za)n的收敛半径R1,这里,nIcn|n1当0时，R，当时，R0。(3)根值法：lim洞,则级数cn(za)n的收敛半径R-n12.4.6傅立叶级数1.狄尼判别法：设fx连续或者至多有第一类间断点，记fx0fx0s2fxufxu2s若存16、在0,使一u-du存在，则0ua。，ancosnxbnsinnxs2n12.Lipschitz判别法设fx在点x满足Lipa条件，即对充分小的u有fxufxMu(M,为常数，01),则a02ancosnxn1bnsinnx3.狄里希莱-约当判别法若fx在xh,xh上囿变，则在点x至ancosnxbnsinnxfx°fx02n124.弗耶定理设fx是周期为2的连续函数，Snx为fx傅立叶级数的-1部分和，nx-S0x§xSn1x,则在，上nx一致收敛n于fx。5.威尔斯托拉斯逼近定理设ftCa,b,周期为2,则存在三角多项式列工t一致收敛于ft第三章级数敛散性判别法3.1判别17、级数发散的简单方法（注：面对一道通项有规律的判定收敛性的题时，最初的想法应该从定义下手）定义：如果级数unn1的部分和数列Sn有极限,则Un收敛，反之发散。n1.1例题l判别级数一1的散敛性n1nn1解：因为故级数的部分和NSnn111又因为11Unnn11N1,nn1n1nn111111223341N1limSnnlim1n所以，原级数收敛例题2判别级数的散敛性n1n2解：因为122,NN1dN11n1n2n2nn11一一所以级数上收敛n1n2一1一一一例题3判别级数二是否收敛。n1n解：因为所以级数二发散。n1nn3.2比较判别法3.2.1 定理及其极限形式为了考查一个正项级数的散敛性，常18、用另一个已知是收敛的或者已知是发散的正项级数来与之作比较（可见比较判别法只用于正项级数）P级数。等比级数：（几何级数）判别法：级数uqnu02uququqn(u0)在此先引入几个常用来做比较的级数：几何级数、调和级数、叫做等比级数，下面讨论该级数的散敛性。解：（1）如果q1,则部分和Snuuquq2uqn1uuqn1q当q1时,由于limqnn0,所以limnSnuqn收敛，其和为己当q1时,由于limqnn,所以limSnn,因此级数uqn级数uqn发散。（2）如果q1,则有当q1时，Snnu,从而limSn,所以级数uqn发散；nn0当q1时，Snuuuu，所以有S2n0,S2niu从而l19、imSn不存n在，所以级数uqn发散；n0由上可知：当q1时，等比级数uqn收敛；而当q1,等比级数uqn发n0n0散。1 111调和级数：级数1Nn时，ln2ln1将上面所有式子的两端分别相加得11lnn11-3111其中1111为调和级数的部分和Sn23n因为limSnlimlnn1nn111称为调和级数，试讨论该级数的散敛2 34n性。解：令f(x)lnx,由拉格朗日中值定理可知，存在N,N1。使得lnN1lnNln(N1)N即11lnN1lnN-(N为整数)N所以有N1时，ln2ln11一1N2时，ln3ln2一2x11n1nN3时，ln4ln3-,3一、一,一1,，一所以，调和级数120、发散n1np级数：级数4(po)称为p级数，试讨论该级数的散敛性pnin解:(1)当p1时，这时级数的各项都不小于把调和级数的对应项，即11npn,、，一，、一,一1,由前面可知调和级数1发散，由比较判别法可知该级数发散n1n18p18p115p18p当p1时，把P级数写成1 1工上，工2p3p4p5p6p7p彳11111112 p2p4p4p4p4p彳1111-2p122p123p1一111一一，1一而1-是一个等比级数，且p1,其公比q-1,于是2P122P123P12p1级数,收敛，由比较判别法可知，P级数收敛.n12p1综上所述，当0p1时,P级数收敛；当p1时,P级数发散.在介绍几个21、常用来比较的级数后，接着介绍比较判别法比较判别法定义：设Un和Vn是正项级数，则n1n1(1)如果Vn收敛，并且存在c0和n0,使得Uncvn,nn0,那n1么级数Un也收敛；n1(2)如果vn发散，并且存在c0和n0,使得uncvn,nn0,那么n1级数un也发散n1N证明：(1)对于Unn1n01NUnUn1nnon01NUnCVnn1nn0n01NUnCVn,因n1n1NN为Vn有上界，所以Un也有上界n1n11(2)反证法：对于Vn-Un,nn0,如果级数cUn收敛，那么根据上面的n1结论,级数Vnn1也应该收敛，但这与题设所矛盾。所以Un是发散级数。例题1设x0,试判断级数sin的散22、敛性。n1n2解：由题意得.一xsin一n2因为级数工收敛，所以级数sin也收敛。n1n2n1n2例题2试判断级数-=L=的散敛性。n1.4n3解：容易知道1111,4n3、4n2%n，一1,一,一1,，一因为级数一发散，所以级数7发散n1nn1.4n3推论：设Un和Vn是正项级数，并且设极限1而皿,(0)存n1n1Vn在，则有：(1)如果级数Vn收敛，那么级数Un也收敛，n1n1(2)如果级数Vn发散,n10,那么级数Un也发散。n1证明：(1)对于取定的0,存在n。，使得只要nn°,就有曳Vn也就是UnVn,nnO(2)对于取定的0,存在n0,使得只要nn°,就有unV23、nUnVn,no例题3设x0,试判断级数ncos的散敛性。n解：容易知道1lim-nxcos-n1n2x22一.,一1一一一一一，因为级数上收敛，所以级数n1n2xcos-n收敛。例题4试判断级数ln(11)的散敛性n解：容易知道limNlimNlnN1因为级数1发散,n1n所以级数ln(1n11)发散。n3.2.2比值判别法但前提运用比较判别法来解决级数散敛性问题是一种广泛应用的方法，是需要找到一个能用来做比较的级数，要找到一个合适的级数并不容易,以很多时候就要用到以下的比值判别法：设有正项级数un,如果limun1,则n1nUn(1)当1时，级数Un收敛；n1(2)当1时，级数Un发散；n24、1(3)当1时，级数Un可能收敛也可能发散n1例题5试判别级数3ntan的散敛性。4n解：因为limnUnlimn3"'匕不3n*tan故根据比值判别法可知，原级数4n3ntan一收敛。n14n例题6试判别级数的散敛性n11n2解：因为12limn1n11n2limlim1n1n22nn2一.一1一一一_因此，比值判别法失效，但0,而级数，是收敛的，可以根据比n1n2较判别法可知，原级数也收敛n11n23.2.3活用比较判别法当所求级数的通项中出现关于n的有理式时，比较对象常常选择P级数或者调和级数。.1例题7试判别级数一1一的散敛性。n1nn1解：因为11nn1n2又由于工25、收敛，则由比较判别法可知，级数一1也收敛n1n2n1nn1例题8试判别级数n1黑的散敛性解：因为n1nn2n1，2n42n42n4n3又由于工收敛，则根据比较判别法可知，原级数工也收敛。n1n3n12n4例题9试判别级数一的散敛性。n12n2n5解：因为1nnn12n2n22n2n52n2n5又有级数1发散，根据比较判别法可知，原级数n1也是发散的n1nn12n2n5例题10试判别级数2nsin的散敛性。n13n解：考虑到当x0时,sin3n,2nsin3n3n2n*3nn2而2是公比n131的收敛级数,故根据比较判别法可知,原级数2nsin收敛。n13n例题11试判别级数n21讣lnn1的散26、敛性。n1n2解：由于而工是收敛的级数，所以原级数收敛。n1n23.3柯西判别法柯西根式判别法(普通形式)设级数Un是正项级数,1(1)如果存在r1和N,使得疯r,nN,那么级数nUn收敛。1(2)如果对无穷个n有而？1,那么级数Un发散。n1柯西根式判别法(极限形式)设Un是正项级数。并设存在极限limUnq,n1则有(1)如果q1,那么级数Un收敛,(2)如果q1,那么级数Un发散。n1证明：(1)对于取定的0,1q,存在N,使得即7q1,nNo(2)对于取定的0,q1,存在N,使得啊1q1,nNo例题1判别级数n1n2n1n的散敛性。解：由于limnnUnnimM小.nlimn2n1根据27、柯西判别法可知，级数n2n1n收敛2n例题2试判断级数3lnn的散敛性。解：由于limn2n3lnnlimnunlimn'n2lnn3-230根据柯西判别法可知，级数2nJ发散。3.4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法(普通形式)Un是严格的正项级数。1(1)如果存在r1和n0使得r,nn0,那么级数Un收敛。n1(2)如果存在n。使得皿Un1,nn。，那么级数Un收敛。n1达朗贝尔判别法(极限形式)Un是严格的正项级数。并存在极限Un1limnuunq则有如果qUn收敛。n1(2)如果qUn发散。n1证明：(1)对于取定的0,1q,存在no,使得只要nn°,就有Un1q1.Un对28、于取定的0,q1,存在n0,使得只要nn0,就有Un1q1.Un推论设n1Un和Vn都是严格的正项级数。n1(1)如果级数Vn收敛，并且存在n0n1no,那么级Un也收敛1(2)如果级数vn发散,并且存在n0n1VnVn1n0,那么级Un也发散1例题1试判别级数里的散敛性。n1nn解：由于Un1limnUunlimnn1/-n!limnnnlim1/1n由达朗贝尔定理可知，级数,5n例题2试判别级数的散敛性。n1n5解：由于5.Un1nlimlim551nunnn15n由达朗贝尔定理可知，级数5-发散。n1n53.5 对数判别法对数判别法（普通形式）设Un是严格的正项级数。n1lnln1若从某29、一项起有lnnP1,则有级数Un收敛；若从某一项起,n1lnn1,则有级数Un发散n1对数判别法（极限形式）设Un是严格的正项级数。ln。Unlnnn1P,则当P1时，级数Un收敛；当P1时，级数Un发散;n1n1当P1时，级数Un有可能收敛也有可能发散。n1111例题1试判别级数的散敛性ln2!ln3!lnn!解：因为当n2时，有nnn!,所以nlnnlnn!11lnn!nlnn但由于发散，因此级数n1nlnnn2lnn!但是例题2试判别级数解：由题可知,因为所以则有级数1n1nln3性。解:则有Un13.317T-2Unlnn133、,33、3113lnn收敛，从而级数n3试讨论级数11义30、27由题可知，级数的通项为Unlnn,c为欧拉常数的散敛性。11nln3Un收敛2!32207ln32073!432074!54420的散敛71,2,3207207201*7e由对数判别法可知，原级数发散3.6 积分判别法柯西积分判别法：设函数fx在1,单调下降并且非负，则级数fnn1与广义积分1fxdx同为收敛或同为发散证明：依题意得，fx为1,上的非负减函数，对于任意的正数A,fx在1,A上可积，从而有fnmmfnfxdxfn1n2:fxdxfn1,n2,3，依次相加可得m1fn,若此积分收敛，则上式的左边，对于n2m任何的整数，有smfnf1n2fxdxf1fxdx,于是级数11fn收敛31、。反之，若级数n1fn为收敛级数，则上式的右边，对于任意正整n1m数mm1有fxdxSm1fns,因为fx是非负减函数，故对任意n1A的正数A,都有0fxdxsns,nAn1,根据上式得fxdx收敛。1n，1同理可证级数fn和积分fxdx是同时发散的。n11例题1试判别级数的散敛性n1n3解：将级数工换成积分形式Lx,由于n1n31x3dxx312x21limp12p21，一一一也收敛n1n3-1即，dx收敛，根据积分判别法可知,1x3.1例题2试判别级数的散敛性n1n解：将级数1转化成积分的形式n1n11-dx,由于x-dxlnx1x即%x发散，根据积分判别法可知，级数1x3.7拉贝判别法拉32、贝判别法（普通形式）设Un是严格的正项级数。n1(1)如果存在q1和n0,使得n-u22-1q,nn0,那么级数uUn1n1收敛。（2）如果存在n0，使得n上口1Un11,nn。，那么级数Un发散n1证明：（1）由题可得与1qUn1nnn0,取一实数p,满足1pq,则级数工收敛n1npI1区11p1EOvn1nnn2另Vn，则对于充分大的n有np19，所以，级数Un也收敛nUn1n11（2）由题意得，011,nn0,因为级数1发散，所以级数Un1n1n1nn1un也发散n1拉贝判别法（极限形式）设Un是严格的正项级数，并且以下的极限存在,(1)如果q1,那么级数un收敛。n1(2)如果qun发33、散。n1例题1:试讨论级数132n1242nr,当r1,2,3是的收敛性。解：当s1时,limn1nUn1unlimnn2n2limnn2n2容易根据拉贝判别法可知，级数132n24.”,2n发散当s2时,limn1nlimnn,2n112n24n3lim2n2n2容易根据拉贝判别法可知，级数13242n2n2发散。当s3时,limn1nlimn1n32n12n2nlimn12n218n732n231,2容易根据拉贝判别法可知,级数131242n12n3收敛。从上面我们可以看出，有些比值判别法不能判别的可用拉贝判别法可以判别但是用拉贝判别法也同样要受到比较因子的精确度的限制。3.8高斯判别法设34、Un是严格的正项级数，并设有n1onnInnnlnn则有(1)如果Un收敛；如果n11,那么级数Un发散。n1(2)如果1,1,那么级数Un收敛;n1如果1,1,那么级数发散。(3)如果1,Un收敛；如果1,1,n1那么级数Un发散n1推论：设Un是严格的正项级数，并设有UnUn1则有(1)如果Un收敛；如果1,n1那么级数Un发散。n1(2)如果1,1,那么级数Un收敛；如果发散。例题10,试判别级数12*,.2x3x的散敛性解：令Un122-x3"由此可得但由于所以当x0时,数发散；当x0时,UnUn故n1Un例题2lnn解：因为故当1曰一是,2级数nn1xn1*n1,2,3，u35、o1UnSnUoxSnSnUn1._.x.112U2n1级数发放；当U3UnUn所以lnsin1lnnIn-1InlimnSnln3!3!n23!n2收敛；当0是，显然有Un试讨论级数13!n3Un的散敛性。n1级数Un发散。1第四章级数敛散性比较及应用4.1 基于级数类型的方法总结对于级数的敛散性判断，当一个级数是具体属于某一种级数，则可以考虑利用该种级数对应的收敛判别法来进行判别其散敛性。而常见的几种级数和对应的判别法如下表：表1判别总结表级数类型比较判别法、根值判别法、比值判别法、对数判别法、拉贝判别法、高斯判别法任意项级数柯西判别法、绝对收敛判别法、Abel判别法交错收敛判别法、Dir36、ichlet判别法函数项级数M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法、狄尼判别法、T收敛判别法幕级数Abel定理、比值法、根值法傅立叶级数狄尼判别法、Lipschitz判别法、弗耶定理狄里希来-约当判别法、威尔斯托拉斯逼近定理4.1.1 对常数项级数若给出的级数是常数项级数，一般可以利用以下的流程来进行判断:图1判别流程图对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。下面通过具体的例子说明：.1例题1试判别级数的散敛性n11n2分析：容易知道Un1n237、(1)首先判断limUn是否为0,因为1n2n，所以有limun0uu(2)然后判断是否为正项级数，由于1n21,故原级数为为正项级数(3)因为limn121n1limn11n2limn1n222nn2因此，比值判别法失效。现在考虑比较判别法,由于0-，而级数,是收敛的，可以1n2n2n1n2根据比较判别法可知,原级数也收敛n11n24.1.2对哥级数若给出的级数是幕级数，一般可以利用以下的方法来进行判断：(1)首先要求出收敛域，利用式子pm|十|求出收敛半径R工，从而确定幕级数的收敛区间R,R,将xR分别代入幕级数中，此时的幕级数就成为了常数项级数，然后就可以按照常数项的散敛性判别法判断其散38、敛性o(2)很多时候可以通过一些幕级数的展开式间接的将一些函数展开成幕级数,具体如下:exx21x一2!x3x5x7sinxx一一一3!5!7!1n22n1(x2x4x6cosx12!4!6!1nX：2nx2x3nxn1lnxx11,123n11mxmm1x212mm1mn!mm1m3!n1xn2x31,1(3)将一个函数x直接展开为x的幕级数的步骤如下:A.求出fx的各阶导数，再求出函数及各阶导数在x0处的函数值，若某阶导数不存在，就停止进行，此时函数fx不能展开为x的幕级数。B.写出fx在xo0处的泰勒级数，并求出其收敛域。C.考查在其收敛域内是否有limRnx0,若极限为零，则第（1）中39、求n出的幕级数就是函数fx的展开式，若极限不为零。则幕级数虽然收敛，但它的和并不是所给的函数fx。D.最后写出fx在x0点的泰勒展开式。例题2将函数fxeRxx展开成x的幕级数。解：求出fx的各阶导数及其在x0处的函数值：f'xex,f''xex,，fnex1,f'01,f''01,，f因此f在x00处的泰勒级数为:1xx22!1xnn!其收敛半径为收敛区间为对任意有限数x,0x余项的绝对值elx,由比较判别法知道|xn1n1又有级数收敛的必要条件有而e相对于n是一个常数,limnlimn则有Rnxlime|x-nfxex的泰勒级数为:ex1xx40、22!1xnn!4.1.3对于傅立叶级数若是需要化为傅立叶级数,般可以利用以下的方法来进行判断(韩志刚,2003):将周期函数fx在上展开为傅立叶级数的步骤(1)运用收敛定理判断fx是否满足收敛条件(2)若满足收敛定理条件，则求出傅立叶系数。(3)写出傅立叶级数并注明在何处收敛于函数例题3设fx是周期为2的周期函数，在上的表达式为将函数fx展开为傅立叶级数。解：函数fx的图形如下，所给的函数在x2k1kZ处不连续，而在其余点处都连续，满足收敛定理的条件。图2函数图像当x2k1时,傅立叶级数收敛于当x2k1时,傅立叶级数收敛于卜面计算傅立叶系数ana。11fxdx一fxcosnxdxxdx一0241、xcosnxdx0xdsinnxxsinnxinnxdxncosnxn123n1,3,5，n2,4,6，一bnsinnxdxxsinnxdxxdcosnxxcosnx0cosnxdxsinnxnx于是，函数fx的傅立叶展开式为2cosxcos3x3-sin3x-con5x521sinxsin2x21一sin4x4,x2k1,kZ4.2基于通项特征的方法总结按照上面所说的方法的确可以有效的使我们更快的判断级数的散敛性，但是对于通项一些有明显的一些特征的时候，可以采取下面的一些方法，以便更快的达到判断的效果。(1)对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。如(张筑生,2008):,1111一一一23nn,若令pn,有SnSn112n2所以级数发散当级数一股项如含有sin或con等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并}

数学问题一个级数判断敛散性时可以分开写成两个相加或相减吗?是所有级数都可以,还是分情况,如果是分情况,都有哪些?...
数学问题一个级数判断敛散性时可以分开写成两个相加或相减吗?是所有级数都可以,还是分情况,如果是分情况,都有哪些?
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展开全部若两个级数都是收敛的,则将两个通项相加减后得到的新级数,仍然还是收敛的.一个级数判断敛散性时可以分开写成两个相加或相减,当这两个都收敛时,原级数一定也是收敛的.凡是可以分开的都可以用这种方法.这种方法只适合于判断级数收敛,不能用于判断级数发散.但是有一点要注意,那就是两个发散的级数通项相加或相减后得到的新级数也可能是收敛的.当然,一个收敛的级数分成两个级数相加或相减后,所得到的两个新的级数也可能都发散.大家回答各有千秋,有些问题还要呈请一下：1）绝对收敛的级数任意组合,重排之后还是绝对收敛的,且和不变.但条件收敛的级数不具有这样的性质.这就是为什么在概率论中在定义随机变量的数学期望时,要求相应的级数是绝对收敛的原因,数学期望实际上是随机变量的平均值,不能因为求和的顺序变了,平均也跟着变了.2）收敛的级数+收敛的级数＝收敛的级数；发散的级数+发散的级数＝敛散性不确定,可能收敛,也可能发散；收敛的级数+发散的级数＝发散的级数.已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
收起微分方程符号解是指在给定微分方程的解中，使用符号（而非数字）表示其解析形式。这种方法通常用于解决具有特定边界条件的微分方程，例如常微分方程。在解决微分方程时，符号解可以提供更直观和精确的解的形式。例如，考虑一个简单的一阶常微分方程 dy/d...
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