2021年08月15日 08:00--浏览 ·
--喜欢 ·
--评论对于将要学高等数学，和正在备考高等数学的大学生而言，不定积分是绕不过去的一道坎。无论是后面的定积分、二重积分、三重积分，还是曲线积分、曲面积分、微分方程，都离不开不定积分的基础。因此，本人根据大学所学，结合自己的笔记、老师的PPT、以及普林斯顿大学数学博士班纳（Adrian Banner）先生的著作《普林斯顿微积分读本》，写下了这篇《不定积分常用方法小结》。如果有不正确的地方，欢迎大家在评论区批评指正。我是假设你真的想要掌握不定积分的方法，能在考试中游刃有余的应对多变的题型，而不只是囫囵吞枣，一知半解，所以你已经准备好投入一些时间和精力，去阅读并理解这些详尽的阐述。你需要掌握关于函数、三角函数、极限、导数的知识，能熟练地对某个给定的函数进行求导。不定积分的实质就是求一个函数，使其导数等于已知函数，基本上就等于求导的逆运算。因此在学习不定积分之前，你需要熟练掌握求导相关的知识。本文是在假定你已经对不定积分有一定的了解、知道一些不定积分的基本概念的前提下写的（你至少要在高等数学的课堂上粗略地听过一遍不定积分的课程，或者自己简单地翻过课本这一章的内容）。因此如果你还没有开始学不定积分，那么建议你在听过一遍大学老师的讲课之后，再开始阅读本文。不要慌，请先粗略地翻一翻你的高数课本上关于不定积分的章节，然后再仔细阅读本篇文章，对于文中的例题尽量自己解答一遍，并熟练掌握文中提到的方法和公式，相信你的水平一定可以得到提升。最后，请你相信：努力，并自信地走好每一步，那么幸运一定会伴随着你。Here we go！一、分项积分法——拆拆拆！拆成多个容易积分的项之和不定积分对于加减运算比较友好，f(x)+g(x)的不定积分就是f(x)的不定积分加上g(x)的不定积分。因此我们要尽量将被积函数拆分成若干个容易积分的函数之和，然后分别积分。不多说，我们来看例题：（本文中大部分例题为手写拍照，本人字写得不太好看，请见谅）分项积分法（拆拆拆）第一题巧妙使用“分子-1+1”的方法，利用平方差公式，将x^4-1因式分解，成功的把原来分式形式的被积函数拆成了三项容易积分的函数之和。第二题利用三角函数的平方关系，把tanx的平方转化为secx的平方减一（这个三角平方关系很重要，后面我们也会提及）。第三题则是用了二倍角公式，进行了“分母单项化”（我们第二大点会讲到），简化了被积函数。接下来还有两个题目，来练练手吧！分项积分法习题答案如下：分项积分法习题答案第一题利用了cos2x的二倍角公式，进行因式分解，简化被积函数。第二题利用了裂项的方法，将一个分式表示为两个最简分式之和，再分别积分。（这个技巧我们后面讲《有理函数不定积分》的时候也会仔细讲）二、分母单项化（有时利于拆项）分母单项化的方法一般有三种：①三角公式（二倍角、积化和差、万能代换公式、辅助角公式/二合一变形）②分母有理化，分子分母同时乘以共轭根式（下面这题的后面那个项用了三角换元，之后会讲到）③分母整体换元分母单项化-三角公式1分母单项化-三角公式2分母单项化-分子分母同乘共轭根式【前面的两点是一些核心思想，接下来讲一些方法】三、第一换元法（凑微分）简单来说，如果被积函数有一部分是另一部分的导数，就把被积函数中是导数的那部分凑到微分d( )里【原理是f `(x)dx=d[f(x)] ，相当于求导（微分）公式倒着背】，再令d( )=du，使得被积函数变成关于u的便于积分的新函数。熟练后d( )=du的步骤可以省略不写。简单的比如sin2x、1/(2x-3)的积分可以直接看出来，因为只相差一个常数，把常数凑进微分，dx变成d(2x)，d（2x-3）再把这个常数除掉就可以了。另外，d(ax)=d(ax+b)=adx，所以微分里面加减常数，微分的结果是不变的。复杂的凑微分一般有以下两类：（1）有理函数，e^x，lnx（一些指数、对数）等：加一项减一项、分子分母同时乘以某个因式、分母配平方、裂项、因式分解。（2）三角函数：三角恒等变形（二倍角、积化和差、万能代换公式、辅助角公式/二合一变形）、常数逆代。常数逆代的例子关于三角恒等变形的一些常用公式（有些公式高中也讲过）：三角函数公式（请尽量熟练掌握）请熟记以下常见凑微分公式！（其实不需要死记硬背，题目做多了自然就熟练了。这些公式就作为一些模板。注意有些公式前面的负号不要漏了）常见凑微分公式，建议记熟以下是一些关于凑微分的例题：（选自上海大学数学系编写的《高等数学习题详解（上册）》）凑微分例题1凑微分形式有很多种，把什么凑进去要按情况而定，多做题就能熟练掌握啦。顺便提一句，前面那道分母用辅助角公式的题，用凑微分也能做，就是不容易想到。凑微分例题2最后请牢记下面的三角平方和公式：（特别是后两个，高中很少接触但大学经常用）3个常用的三角平方和公式四、第二换元法第二换元法最主要的是处理无理表达式（根号）。常见的有三角代换和直接整体换元两种，如下图：第二换元法的类型觉得三角代换用什么三角函数比较难记？这里教你一个小诀窍：根号里面是什么就联想什么三角公式。具体在上图中我已经用红点和蓝色三角形标注出来了。常数a对应1，x对应某个三角函数，加减号不变。以第一个为例，a^2对应1，x^2对应某三角函数的平方，然后想：1减去什么的平方是另一个平方呢？（因为要去掉根号必须有平方）然后你脑子灵光闪现：这样就记住了，遇到第一种就令x=a·sint。其他两种同理。当然，前提是你记住了这三个三角平方关系式。三角代换的时候注意画个辅助三角形，否则回代x的时候很容易搞错sint、cost、tant对应的x的表达式是什么。【当然不排除有时候，考试用换元法积出来一个不定积分后太兴奋，以至于忘掉回代x的情况】具体如下：三角代换-辅助三角形同样，我们来看一些例题：（选自大学老师的PPT）三角换元当然三角换元不是什么时候都好用。比如下面这种情况，直接换元就比较好：不适合三角换元的例子当出现多种根式，比如平方根、立方根、6次方跟的时候，可以令 t=x^n ，其中n是各个根指数的最小公倍数。（如上述情况n=6）另外还有一种换元叫做“倒数代换”，令t=1/x，当分母的幂次太高的时候用。如下图：倒数换元方法讲的差不多了。更多的例题已经为你摆在下面了，我就不多说了，请读者在刷题的同时自己琢磨什么时候三角换元，什么时候直接换元吧。（例题选自上海大学数学系编写的《高等数学习题详解（上册）》）第二积分换元法习题1第二积分换元法习题2五、两种换元法的小结和补充积分公式有了第一和第二换元法，我们可以总结出下图右边的一些补充公式。这些补充公式只需要记忆（3）（4）两个，其他的就作为几个典型例子，考试的时候自己推导几步就出来了，不用死记硬背。信不信由你，有时候公式背的太多反而容易记串，得不偿失。不定积分的一般公式和补充公式以下是这些补充公式的推导过程，有兴趣的读者可以自行阅读。如果你在复习备考高等数学，而你所剩的复习时间不多了，那就先跳过吧。补充公式推导1补充公式推导2六、分部积分法分部积分的公式相信大家已经很熟悉了：分部积分公式其中u=u(x)，v=v(x)。注意到等号前后的两个u和v位置互换，因此分部积分又被形象的称作“换位积分”，一般适用于被积函数是几个函数相乘的形式。利用分部积分做题时有以下几步：①把被积函数的一部分因式凑成微分dv（第一换元法）；②把d前面的看成u，d后面的看成v ；③套分部积分公式；④在写等号后面那个积分的时候，可以把du先算出来，把写成u `(x)dx的形式，然后再积分。在第一步之前，需要观察哪个因式用来凑微分比较合适。这里有个口诀叫“反对幂指三”，具体含义如下：“反对幂指三”也就是说，被积函数为两个函数相乘时，幂函数、指数函数、三角函数一般用来凑dv，优先级为三角＞指数＞幂函数，而反三角函数和对数函数作为u。这么做的道理是等下你用分部积分公式的时候u和v交换了位置。在等号的右边，v变成了被积函数，而u变成了微分du。“幂指三”用来凑dv是因为换位后它们更容易算积分；而“反对”的导数比本身简单，在换位后求du的时候更容易得到相对简单的表达式。按“反对幂指三”的规律使用分部积分，就不至于越积越复杂了。开始不熟练的时候可以在草稿纸上写出u、dv、v、du，熟练了以后这些就可以省略了。不过注意，有些时候要先进行拆项、分母单项化、恒等变形再分部积分。有了分部积分，arcsinx、lnx和大部分乘积形式的被积函数就可以积出来了。下面是一些例题：（例题选自上海大学数学系编写的《高等数学习题详解（上册）》）分部积分例题七、分段函数的不定积分有些同学觉得分段函数的积分那还不简单，不就是几段函数分别求积分嘛。然而在小细节上面我们还需要再注意一下。先来看下面这道题目：分段函数的不定积分对两段函数分别积分，做出来答案是A。但很可惜，正确答案是D。为什么呢？因为我们忽略了一个比较重要的定理——原函数存在定理。原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，则在区间上存在可导函数F(x)，使得对任意x∈I，都有F `(x)= f(x)。即连续函数一定存在原函数，一定可积分。解析这道题目给我们的教训是：分段函数的不定积分后面的常数C不能随意写，需要注意函数在分段点处的连续性，通过等式得出几个常数之间的关系。八、一些三角函数的积分（一）sin x和cos x的高次幂相乘的形式，形如：一般有以下几种情况：（1）m，n均为偶数：用倍角公式降幂（2）m，n中只要有一个为奇数：奇数的那个三角函数用来凑微分（如果m，n都是奇数就任选一个），另一个用三角平方和公式化为单变量，如(cosx的平方)=1-(sinx的平方)。先看个m，n均为偶数的例子：三角函数的积分：m，n均为偶数的例子然后是m，n中一奇一偶的例子：三角函数的积分：m，n有一个为偶数的例子（二）两个三角函数相乘，角度不同的形式，如cosA·cosB。此时我们需要用积化和差公式（公式在前面第3节第一换元法中已经给出）。比如下面这题：两个三角函数相乘、角度不同的形式：积化和差（三）有关tan x和cot x的平方的积分利用三角平方公式化为sec x和csc x的平方减1，再积分：tan x和cot x的平方的积分九*、有理函数的积分（部分考试不做要求）有理函数的定义是两个多项式的商，形如：有理函数其中n，m是正整数。如果n＜m，则为真分式；如果n≥m，则为假分式。对于有理函数的积分，我们的思路是对有理函数进行处理，将它拆分成几个更简单的有理函数的和的形式，即整式和四种典型的最简分式。整式的积分相对容易，我们只需要讨论如何对四种典型最简分式进行积分就行了。接下来，我们将首先研究如何拆分有理函数，然后再讨论其中三种典型最简分式的积分（最后一种不常考）。最后我会总结出完整的方法，并附上一个完整的例子。【注：由于以下内容涉及的数学表达式较多，在专栏里无法打出来。为了美观起见，在编辑这部分内容时，我会将内容打在word文档中再截屏，以图片的形式呈现给读者】图9-1图9-2图9-3图9-4总结：关于有理函数积分的完整方法：（1）如果是假分式，利用长除法化为真分式和整式之和。（2）真分式分母因式分解。（3）分部。拆分为四种最简分式之和的形式，像之前那样待定系数。（4）求出待定系数。（比较系数法、给x赋值法）（5）按照下图（即上文中的9.2）的方法分别求出每个最简分式的积分。最简分式的积分1-2最简分式的积分3感谢您能耐心读完我的文章，希望文中的内容能对您有所帮助。祝您学业有成、考试顺利！本人的课后笔记；高数老师的PPT；《高等数学（上册）》 上海大学数学系 编，高等教育出版社；《高等数学习题详解（上册）》 北京工业大学出版社；《普林斯顿微积分读本（修订版）》 Adrian Banner著 人民邮电出版社。}