∵∠BCD=120°,∠D=60°（已知）∴AD∥BC（同旁内角互补两直线平行）∴四边形ABCD是梯形(一组对边平行的四边形是梯形)∠DAC=∠ACB（两直线平行内错角相等）∵AC平分∠DAB（已知）∴∠DAC=∠BAC（角平分线性质）∴∠BAC =∠ACB(等量代换)∴AB=BC（等角对等边）又∵BC=CD（已知）∴AB=CD（等量代换）∴四边形ABCD是等腰梯形∴∠B=∠BCD=120°∠DAB=∠D=60°（等腰梯形同底上两角相等） （打的很详细了。希望给采纳）
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如图,AB=BC=CA,CE交BA的延长线于E,并使角ACE=45度.延长BC至D,使BD=AE,连结DE.求角AED的度数,判断三角形CDE是不是等腰三角形,并说明理由...
如图,AB=BC=CA,CE交BA的延长线于E,并使角ACE=45度.延长BC至D,使BD=AE,连结DE.求角AED的度数,判断三角形CDE是不是等腰三角形,并说明理由.图:就一个大三角形.EBD为大三角形的三个点,点A在BE之间,点C在BD之间,并连接AC和CE注:怎么把图设为网站?地址栏在哪的?5楼的说什么,看不懂.理由说出来啊!!!!
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【基础知识精讲】本节主要内容是相似三角形的性质，也是本章的主要内容之一.本节是在学完相似三角形的判定基础上，进一步研究三角形的性质，以完成对相似三角形的定义，判定和性质的全面研究.1.相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，都等于相似比.(3)相似三角形的周长比等于相似比以上各条可以概括为：相似三角形的对应线段之比等于相似比(4)相似三角形面积之比等于相似三角形相似比的平方2.相似三角形性质的应用(1)可用来证明线段成比例(或等积线段)、角相等(2)由相似三角形中某些已知元素，求未知元素(边、高、角平分线、中线、角)(3)用来计算周长、面积等(4)用来证明线段的平分(或面积比)【重点难点解析】例1
如图5.5-1，已知△ABC∽△A′B′C′，点D、D′分别是BC、B′C′的中点，AE⊥BC于E，A′E′⊥B′C′于E′，求证：△ADE∽△A′D′E′.分析
要求△ADE与△A′D′E′相似，这两个三角形是直角三角形，由直角三角形相似判定定理，只需证明这两个直角三角形中，斜边和一直角边成比例即可.而斜边与直角边刚好分别是△ABC与△A′B′C′的中线和高(即两个相似三角形的对应线段)证明：∵△ABC∽△A′B′C′
AD、A′D′分别是中线，AE、A′E′分别是高∴ ＝ ＝
∴Rt△ADE∽Rt△A′D′E′例2
如图5.5-2
在△ABC中，EF‖BC，且EF＝ BC＝2cm，△AEF的周长为10cm，求梯形BCFE的周长.分析
由EF＝ BC求可得 ＝ ，即相似比为 ，再由相似三角形性质求出△ABC的周长，两周长之差加上EF之长，即为梯形BCFE的周长.解：∵EF＝ BC
∴ ＝ ∵EF‖BC
∴△AEF∽△ABC∴ ＝ ＝ ∴ ＝ ∴△ABC周长＝15(cm)∴梯形BCFE的周长＝△ABC周长-△AEF周长+2EF＝15-10+4＝9(cm)例3
如图5.5-3，△ABC中，DE‖BC，S△ADE∶S△ABC＝4∶9，①求AE∶EC；②求S△ADE∶S△CDE.分析
本题考查相似形三角形的性质及合比性质及三角形面积计算公式，由 ＝ ，求出 之比，再由比例有关性质求出AE∶EC，△ADE与△CDE等高，由三角形面积计算公式求出AE∶EC.解：①∵DE‖BC
∴△ADE∽△ABC∴ ＝
∴ ＝ ∴ ＝
＝ 即 ＝ ②连结CD，过D作DH⊥AC交AC于H＝ ＝ ＝ 例4
如图5.5-4，已知：M是□ABCD的AB边的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的比是多少.分析
这是一道综合性较高的考题，它考查了相似三角形的性质、面积计算及等积定理等.作DN⊥AB于N，过E作GF⊥AB于F.∵M为AB中点∴S△AMD＝S△DMB＝ S△ABD＝ S□ABCD∵S△MBD＝S△MBC(同底等高的两个三角形面积相等)∴S△MBD-S△MBE＝S△MBC-S△MBE，即S△DME＝S△CBE.∵MB‖DC，∴△BEM∽△DEC∴ ＝ ＝ ，从而 ＝ ∵DN＝GF，∴ ＝ 又∵ ＝ ＝ ＝ ∴ ＝ ，即S△DME＝ S△MBD∴S△DME＝ × S□ABCD＝ S□ABCD∴S△DME+S△BMC＝ S□ABCD+ S□ABCD＝ S□ABCD因此图5.5-4中阴影部分的面积与平行四边形面积的比是 .例5
如图5.5-5，将正方形ABCD的边BC延长到E，使CE＝AC，AE与DC相交于F点，求CE∶FC的值.分析
这是考查应用相似三角形性质解题能力的考题.设正方形ABCD的边长为a，则AC＝ a，AB＝a，BE＝ +1)a.解：∵DC‖AB，∴△ECF∽△EBA， ＝ ，由此得 ＝ ＝ ＝ +1，即EC∶FC＝( +1)∶1例6
如图5.5-6，□ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点F，已知BE∶EC＝3∶1，S△FBE＝18，求S△FDA.分析
由题给条件易得△FBE∽△FDA.再由BE∶EC＝3∶1，易得BE∶AD＝3∶4，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此可求得S△FDA.解：由□ABCD，得BE‖AD
∴△FBE∽△FDA∵BE∶EC＝3∶1
∴BE∶BC＝3∶4又∵BC＝AD，∴BE∶AD＝3∶4∴ ＝( )2，即 ＝( )2∴S△FDA＝ ＝32.【难点巧解点拨】例1
如图5.5-7，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm,AC＝6cm，以C为圆心，CA为半径画弧交AB于D，那么AD的长是多少?分析
本题是综合性较高的试题，考查的知识点有相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等.要求AD，我们连结CD后发现△CAD是等腰三角形，要求的是等腰三角形的底边的长.所以想到作CE⊥AB于E，则AE＝ AD，若能求得AE的长度，问题就解决了.为此，只要证明△AEC∽△ABC问题就可以解决了.解：作CE⊥AB于E，连结CD.∵CA＝CD∴AE＝ AD，即AD＝2AE由已知条件及勾股定理求得AB＝10，∵∠ACB＝∠AEC，∠A＝∠A∴△AEC∽△ABC∴ ＝ ∴AC2＝AE·AB，即62＝AE×10从而
AE＝3.6(cm)∴AD＝7.2(cm)例2
如图5.5-8，在△ABC中，DE‖BC，在AB上取一点F，使S△BFC＝S△ADE，求证：AD2＝AB·BF证明：∵DE‖BC
∴△ADC∽△ABC∴ ＝ ∴S△ADE＝S△BFC
∵ ＝ 而 ＝ ＝ ∴ ＝
∴ ＝BF
即AD2＝AB·BF点拨：运用相似三角形的性质、三角形的面积计算公式，求比例式或乘积式是本题解决关键.例3
如图5.5-9，矩形FGHN内接△ABC，F、G在BC上，N、H分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E，AD＝8cm，BC＝24cm，NF∶NH＝1∶2，求此矩形的面积.解：∵NH‖BC
∴△ANH∽△ABC又∵AE、AB分别为△ANH与△ABC的高∴ ＝ 设：NF＝x，则NH＝2xAE＝AD-ED＝8-x∴ ＝ 解之得：x＝4.8∴2X＝9.6∴S矩形ABCD＝NH·NH＝9.6×4.8＝46.08(cm)2点拨：运用相似三角形的性质得比例式，再通过量的转换将比例式的多个未知数转换成一个未知数，用代数法解决有关计算问题.是一种重要的解题方法.【课本难题解答】例1
如图5.5-10，矩形ABCD中，AB=a，BC＝b，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足，求证：DE＝ .(P248B.2)分析
由于△ADE∽△MAB，可得AD∶AM＝DE∶AB，就将DE与a、b联系在一起.证明：由矩形ABCD知，∠B＝90°
AD‖BC∴∠DAE＝∠AMB∵DE⊥AM
∴∠DEA＝∠B＝90°∴△ADE∽△MAB
∵ ＝ ∵AD＝a，AB＝b，M为BC中点∴AM＝ ＝ ＝ ∴DE＝ ＝ 【命题趋势分析】本节中考热点是综合运用相似三角形判定、性质定理及其它几何知识.进行计算和证明，通常是证明比例线段、等积线段、求三角形的边长、面积等.【典型热点考题】例1
如图5.5-11，□ABCD中，AE∶EB＝1∶2，S△AEF＝6cm2，则S△CDF的值是(
)A.12cm2
B.24cm2
C.54cm2
D.15cm2分析
与上例类似，但有些变化.由AE∶EB＝1∶2，得AE∶AB＝1∶3.解：∵□ABCD中，AB＝CD，∴AE∶CD＝1∶3∵AE‖CD，∴△AEF∽△CDF∴ ＝( )2，即 ＝( )2∴S△CDF＝54(cm)2，故选C.例2
如图5.5-12，在△ABC中，AB＝7，AD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的值.分析
本题考查应用相似三角形基本性质的能力.解：∵∠A为公共角
∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC
∴ ＝ ，即AC2＝AD·AB∴AC＝ ＝ ＝2 (舍去负根).例3
如图5.5-13，△ABC中，DE‖BC，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2，BC＝2 ，求DE的长.分析
本题考查应用相似三角形性质来解决实际计算题的能力.∵DE‖BC，∴△ADE∽△ABC.要求DE的长，因BC的长已知，故只需求相似比 的值.由S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2可知S△ADE∶S△ABC＝1∶3.从相似三角形的面积比与相似比的关系不难求出相比.解题思路畅通.解：∵S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2∵S△ADE∶S△ABC＝1∶3又∵DE‖BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE∶BC＝1∶ ∵BC＝2
∴DE＝ ＝2 例4
如图4.4-14，过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E，过点D作DM‖FC交AB于M.(1)若S△AEF∶S四边形MDEF＝2∶3，求AE∶ED；(2)求证：AE·FB＝2AF·ED.分析
(1)这是综合能力测试题.题中有平行条件，必定能找到相似三角形.题中给出面积比，可以变换为相似三角形的面积比，有了面积比，就可求相似比，再变换，故(1)可解决.(2)要证等积式，可化成等比式，实际上是平行线分线段成比例式，故(2)可证.解：(1)∵S△AEF∶S四边形MDEF＝2∶3∴S△AEF∶S△ADM＝2∶5∵DM‖CF
∴△AEF∽△ADM∴ ＝ ＝ ＝ ＝ 故AE∶ED＝( +2)∶3(2)证明：∵DM‖CF
∴ ＝ ∴ ＝ ∵D是BC的中点
∴M是FB的中点即2FM＝FB∴ ＝ ，即AE·FB＝2AF·ED本周强化练习：【同步达纲练习】一、填空题1.若相似三角形的对应边的比为1∶3，则它们的面积比为.2.已知两个相似三角形的相似比是 ，那么它们的对应高的比是.3.如图5.5-15，在△ABC和△BED中，若 ＝ ＝ ＝ ，且△ABC与△BED的周长之差为10cm，则△ABC的周长为cm.图5.5-15
图5.5-164.两个相似三角形的相似比为2∶3，且面积和为13cm2，则它们的面积分别为.5.如图5.5-16，已知C为线段AB上一点，△ACM和△BCN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，BM交CN于D，则△MCD与△BND的面积比为.6.如果两个相似三角形对应高的比4∶5，那么它们的面积比为.7.两个相似三角形的面积比为1∶9，那么它们的对应高的比是.8.如图5.5-17，在△ABC中，DE‖BC， ＝ ，且S△ABC＝8cm2，那么S△ADE＝cm29.两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的面积比为.10.如果两个相似三角形的对应边的比为4∶5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为cm和cm.二、选择题1.如图5.5-18，DE‖BC，且 ＝ ，那么△ADE与△ABC的面积的比S△ADE∶S△ABC＝(
)A.2∶5
B.2∶3
C.4∶9
D.4∶252.如图5.5-19，△ABC∽△ACD，相似比为2，则面积之比S△BDC∶S△DAC为(
)A.4∶1
B.3∶1
C.2∶1
D.1∶13.已知两个相似三角形的周长分别是8和6，则它们的面积比是(
)A.4∶3
B.18∶9
C.2∶
D. ∶ 4.两个相似三角形的面积比为1∶2，则周长比为(
)A. ∶1
B.1∶
C.1∶4
D.4∶15.如图5.5-20，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，CD⊥AB于D，下列式错误的是(
)A.AC2＝AD·AB
B.BC2＝BD·BA
C.CD2＝AD·DB
D.AB2＝AC·BC6.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC＝a，AC＝b，若AB＝16，且CD＝6，a-b＝(
)A.±4
B.±8
C.8
D.4 7.具备下列条件的两个三角形一定全等的是(
)A.相似且对应中线比等于1
B.两边和其中一边对角相等C.三个角对应相等
D.两边和第三边上的高对应相等8.在正方形ABCD中，E为AB的中点，BF⊥CE于F，那么S△BFC∶S正方形ABCD等于(
)A.1∶3
B.1∶4
C.1∶5
D.1∶89.如图5.5-21，将△ABC的高AD三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积分别为S1、S2、S3，则S1∶S2∶S3等于(
)A.1∶2∶3
B.2∶3∶4
C.1∶3∶5
D.3∶5∶710.如图5.5-22，△ABC中，∠CBA＝90°，BD⊥AC于D，则下面关系式中错误的是(
)A.AB2＝AD·AC
B.BD2＝AD·DC
C.AB2＝AC2-BC2
D.AB2＝AC·BC三、解答题1.如图5.5-23，∠1＝∠2，∠B＝∠D，AB＝DE＝5，BC＝4.(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求AD的长.2.已知：如图5.5-24，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D.求证CD2＝AD·DB3.如图5.5-25，□ABCD中，BC＝2CE，求：S△CEF∶S□ABCD.4.如图5.5-26，已知ED⊥AB，AC⊥EB，D、C分别为垂足，G为DE上一点，且AG⊥BG，垂足为G.ED、AC交于F.求证：DG2＝DE·DF.5.如图5.5-27，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG‖AB，BG分别交AD、AC于E、F，求证：BE2＝EF·EG.【素质优化训练】如图5.5-28，△ABC中，BC＝24，高AD＝12，矩形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另外两个顶点G、H分别在AC、AB上，且EF∶EH＝4∶3，求EF、EH的长.【生活实际运用】一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5米有一棵树，在河的对岸每隔50米有一根电线杆，在这岸高出岸边25米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树，求河宽.【知识探究学习】如图5.5-29，射击瞄准时，要求枪的标尺缺口上沿中央A、准星尖B和瞄准点C在一条直线上(上图)，这样才能命中目标.已知某种冲锋枪基线AB长38.5cm，如果射击距离AC＝100m，当准星尖在缺口内偏差BB′为1mm时，弹着偏差CC′是多少(BB′‖CC′)〔2〕?参考答案一、1.1∶9
2.
3.25
4.4cm2和9cm2
5.9∶4
6.16∶25
7.1∶3
8.2
9.4∶9
10.8cm、10cm二、1.D
2.B
3.B
4.B
5.D
6.B
7.A
8.C
9.C
10.D三、1.①略
② 2.证△ACD∽△CBD3.1∶124.先证△ADF∽△EDB
再证△AGD∽△GBD5.连EC，证△FEC∽△CEG【素质优化训练】
EF＝9.6
EH＝7.2【生活实际运用】
河宽37.5米【知识探究学习】
弹着偏差CC′约为26.0cm
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收起解：过A点作AF平行于BD,且AF=BD.连接FD,EF.则：AFDB为平行四边形，所以AB=DF因为AB=BC=CA，所以三角形ABC为等边三角形，故角ABC=角ACB=角BAC=60所以角AFD=60,角EAC=180-60=120,在三角形AEF中，因为AF=BD=AE,所以三角形AEF为等腰三角形，所以角AEF=角AFE=(180-角EAF)/2=(180-60)/2=60,所以三角形AEF为等边三角形，所以AE=EF=FA在三角形AEC与三角形EFD中，角EAC=角EFD=120,AE=EF,AC=DF.所以三角形AEC与三角形EFD全等所以角AEC=角DEF,CE=DE.所以三角形CED是等腰三角形。又在三角形BEC中，角EBC=60,角BCE=60+45=105,所以角BEC=180-105-60=15,所以角DEF=角AEC=15所以角CED=60-15-15=30所以角AED=角AEC+角CED=15+30=45答：三角形CDE是等腰三角形，角AED的度数为45度
本回答被提问者采纳三角形ADE是等腰三角形因为AB=AC，∠BAC=90°，所以∠ABC=∠ACB=45°因为EC垂直于BC，所以∠ECA=45度所以∠ECA=45度=∠ABC又因为AB=AC BD=CE
∠ECA=45度=∠ABC所以三角形ABD 全等三角形ACE所以AD=AE所以是等腰三角形△ABC是等腰直角三角形，则∠B=∠ACD=45°，AB=AC又CE垂直于CD则∠ACE=45°BD=CE所以△ABD≌△ACEAD=AE则△ADE是等腰三角形又∠BAD=∠CAE得∠BAC=∠DAE=90°最后△ADE是等腰直角三角形}

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情【题目】已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．（1）求证：∠AFC=120°；（2）若AD=6，CE=4，求AC的长？试题答案
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【答案】（1）证明见解析；（2）AC=10．【解析】（1）由题意∠BAC+∠BCA=120°，根据∠AFC=180﹣∠FAC﹣∠FCA=180﹣=120°，即可解决问题；（2）在AC上截取AG=AD=6，连接FG．只要证明△ADF≌△AGF（SAS），推出∠AFD=∠AFG=60°，∠GFC=∠CFE=60°，再证明△CGF≌△CEF（ASA），推出CG=CE=4，由此即可解决问题．（1）∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，∴∠FAC=，∠FCA=，∵∠B=60°∴∠BAC+∠BCA=120°，∴∠AFC=180﹣∠FAC﹣∠FCA=180°﹣×120°=120°．（2）在AC上截取AG=AD=6，连接FG．∵AE、CD分别为△ABC的角平分线∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE，∵∠AFC=120°，∴∠AFD=∠CFE=60°，在△ADF和△AGF中，∴△ADF≌△AGF（SAS）∴∠AFD=∠AFG=60°，∴∠GFC=∠CFE=60°，在△CGF和△CEF中，∴△CGF≌△CEF（ASA），∴CG=CE=4，∴AC=10．');
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