2021年04月18日 14:33--浏览 ·
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--评论之前学的数列极限7个性质都有一个共同的前提：数列极限存在有限。也就是一般在提前告诉你极限存在的情况下，再让你描述性质或是证明。那如果不告诉你呢？怎么办？？？猜极限是否存在有限？如果存在有限，再猜具体数值？对于一些“稀松平常”的数列，比如，极限是0；，没有极限。可是如果有一些数列没有这么“巧”……比如下面这个：来，用猜的方法判断是否收敛？（提前知道的不要剧透哦）我们会发现，这个式子硬猜是猜不出来的。如果本来就猜不出来还要试图穷举，那就是蠢上加蠢了。（虽然我以前经常干这样的蠢事……这波啊，这波是自我批评）何况极限还不一定存在呀。那么如果这样还要猜，这不就更猜不出来了吗？因此我们需要一个在不知道极限的可能取值的情况下判断极限是否存在有限（注意这里不是求极限的值！）的方法。OK，回顾一下上一篇笔记，哪一个性质可能是对找到这样的方法帮助最大的呢？答：性质2——有界性！我们已经知道，数列极限存在有限可以推出来数列有界，那反之是否成立？嗯……怎么可能成立啊喂！充分条件与必要条件一定要分清楚，不然可是会出大乌龙的啊kora！比如这个反例：。这个数列显然是有界的，但是它收敛吗？不过这个性质的逆否命题是成立的，也就是说：如果一个数列没有界，那么它一定不收敛。那么问题来了：①到底在“数列有界”和“数列收敛”之间，差了些什么呢？需要添加什么限制条件呢？②如果一个数列有界却不收敛，那这个数列有什么特殊的性质呢？（不仅相对于无界的数列，还有相对于收敛的数列）因此我们就巧妙地转移矛盾转化了本节要研究的目标：数列极限的存在性定理（或者你叫准则也行）。为了我们能够进一步讨论，我们先扔一个定义吧：单调数列。对于一个数列，如果有：或者，则我们称数列为单调递增数列或者单调递减数列，（后面就简称“单增”“单减”了）合称单调数列。（对于单纯的大于或者小于的情况，我们称其为“严格单调”。）接下来我们这里有一个定理，简而言之也就八个字：单调有界，必有极限。如果说得稍微清楚一点的话，单调递增/减且有上/下界的数列，必趋于有限的极限。（显然，单调递增/减的数列是一定有下/上界的。）这个定理怎么证明？我们需要引入另一个：确界存在定理。（非空且有上/下界的数集，一定有上/下确界。这里的上/下确界怎么理解？你可以认为它是刚好能够大于等于/小于等于数集中所有元素的数。）这个定理的严格证明，需要完备的实数理论。而我目前对实数理论掌握得还不是很全面……（等到以后我将把实数理论、反三角函数等等作为“第0章：前置知识”发表，敬请期待——翻译：咕咕咕。）这里我们可以用单调有界定理证明一些题目：例题1：已知，证明数列收敛，并求出极限。解：额……接下来怎么判断？我们注意到（由可以推出来哦），因此显然有因此，和同号，所以这个数列是单调数列。（如果还是看不明白的话……我也没啥办法了……）单调性已经证明完毕，接下来是有界性的证明。显然：（公式这里我尽量用英语吧，换输入法实在是太繁琐，敬请谅解……）所以，，该数列的下界能够确定了。接下来我们再寻找这个数列的上界。因此就有了注意：的大小是未知的，它可能小于1，也可能大于2。在求上/下界的时候，千万不要忘掉这个特殊情况哦！总之，我们知道了：这个数列单调且有界。因此它必趋于有限极限。可是我们怎么求这个极限？我们可以使用“方程法”：假设该数列的极限是：。则我们可以在题目给咱的等式两边分别取极限，得到：解方程可以得到。显然减号不合题意，舍去。因此我们有：再来一个例题。看一下这篇笔记开头给出的那个猜不出是否收敛的数列吧：例题2：。实际上它是收敛的。证明。嗯……所以怎么证明？只要证明其单调且有界就可以了。我们可以将其先二项式展开再放缩：而我们注意到：而，往下以此类推，同理。因此有：。我们已经证明这个数列单调递增，接下来证明其有界。而有界的证明又双叒叕需要用到放缩。这里的放缩可以分为两步：①我们注意到，以此类推也成立。因此我们得到：同时我们还可以得到：因此我们得到：因此我们知道，这个数列的极限小于或者等于3。可是这个数列的极限究竟是多少呢？我们不妨代入具体数值算一下：感谢Microsoft Excel提供计算帮助。当这个越来越大的时候，我们发现数列趋于一个有限极限：这个“”就是高中的时候遇到的自然常数的定义。那么，有除了放缩之外的别的方法证明这个数列单调吗？有！我们可以直接把这个数列的解析式拆开，再经过一步均值不等式转化：可是，并不是所有趋于有限极限的数列都是单调的呀。对于一些不单调的数列，我们如何判断其是否收敛/趋于有限极限？我们再介绍一个定理：区间套定理。给定一组区间：如果满足以下条件：则必存在唯一的常数，使得：证明也不难。既然数列是单调递增且有界的，因此其一定存在有限极限，对于另一个数列也是如此。又因为，所以这两个数列收敛在同一个极限。我们设其为就可以了。当然，也可以由极限的保序性和反证法来证明，此处略。不过这个定理好像没什么直接用的价值？（bushi）但是我们还能推导出一些更加常用的引理：引理1：桥豆麻袋，这里的“子列”到底是个啥？好的，我在这里赶紧补充一下数列子列的概念吧：对于一个数列，在其中拿出无穷多项，并按照这几项在原来数列中的顺序排列，组成一个新的数列，则我们称这个新的数列为原来数列的子列。比如我们高中时期接触过的“奇数列”和“偶数列”就是典型的数列子列。（PS.这里我用了我自己高中时老师的说法，现在它的具体说法应该是……奇数项子列、偶数项子列？大概吧。）引理2：（其实算是引理1的进一步推理吧）证明大致是这样：对于“奇数列”找一个，对于“偶数列”找一个，取即可。后面可以使用定义来证明！这一篇笔记实在是太长了……所以我将其分成了两个部分，下一部分我将介绍Bolzano-Weierstrass定理和柯西收敛准则（数列version）。此外顺便讲几个例题。（好吧实际上就是我太懒了……饶了我吧，最近作业任务啥的实在是太多了……）顺便，五一假期快要来了嘛……希望这只老鸽子怎么更新？参考资料：数学分析.上册/郭大均，陈玉妹，裘卓明编著：高等教育出版社，ISBN 978-7-04-042346-4我自己的纸质笔记，感谢我数分老师精彩的讲课！}

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展开全部证明数列单调有界即可，有界证明用极限存在定理。如果数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q，总存在正整数N，使得n>N时，不等式|Xn-a|<q都成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值。比如数列an=a0+1/n，随着n增大，lim(an)=a0，因此可证明数列{an}是收敛的。相互关系收敛数列与其子数列间的关系子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。如果数列{}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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