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展开全部所有的解向量个数当然是n-r(A)而显然已经得到了m个向量就由这m个列成矩阵再得到与其无关的n-r(A)-m个向量通解为组合在一起的n-r(A)已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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展开全部例如x1 + x2 + x3 + x4 = 0
的基础解系中一个解向量是 ξ1 = (1,
-1,
0,
0)^T,n = 4,
r(A) = 1,
m = 1,
满足题设条件。基础解系中另两个解向量 与 ξ1 = (1,
-1,
0,
0)^T 线性无关，可以是 ξ2 = (1,
0,
-1,
0)^T，
ξ3 = (1,
0,
0,
-1)^T，则通解 x = k1ξ1 + k2ξ2 + k3ξ3
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1。设k，m，n为正整数，k=m^2+n^2/mn+1，证明k是平方数2。设k，m，n为正整数，k=m+1/n+n+1/m，证明k=3或4...
1。设 k，m，n为正整数，k=m^2+n^2/mn+1，证明k是平方数2。设 k，m，n为正整数，k=m+1/n+n+1/m，证明k=3或4
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我想了蛮久.觉得第一问是比较难的,当然我认为你忘记打括号了.因为k是整数，那么n^/(mn)是整数,得出m|n。这里只要取m=n=1，则k=3不是平方数。如果不是，而是n^/(nm+1)那么有(mn+1)|n^2,又(mn+1,n)=1,当m,n都是正整数的时候。这是不可能同时成立的。所以原问题应该是(m^2+n^2)/(nm+1).第二问比较简单只要证明1/m+1/n是整数即可.如果n,m>2，1/m+1/n<1。所以m,n必定小于等于2.通过枚举,m=1,n=1.m=2,n=2是1/m+1/n为整数的所有解.因此k=m+1/m+n+1/n=3,或4.第一题吧，我没办法用比较简单的语言来回答你的问题,不过我想到了还是把答案呈上。我用的是估计的方法，估计出k的范围,然后再来通过枚举得出结论.我们证明k是平方数，并且m=n=k=1.证明：令t=m/n.且m>=n,则t>=1:k=[(m^2+n^2)/(mn)]*[1/(1+1/(mn))]=(t+1/t)*(1-1/(mn)+1/(mn)^2+.....)=t+1/t-(1/m^2+1/n^2)+[(m^2+n^2)/(nm)^3]*(1/(1+1/(mn)))令s=1/t-(1/m^2+1/n^2)+[(m^2+n^2)/(nm)^3]*(1/(1+1/(mn))).则k=t+s.以下我们估计s。s<=1/t-(1/m^2+1/n^2)+(m^2+n^2)/(mn)^3=1/t-(1/n^2+1/m^2)(1-1/(mn))<1/t得k<t+1/t.如果n>=2，t>=2。则,s>=1/t-(1/n^2+1/m^2)>=1/2-5/16>0所以t<k因此t<=k<t+1/t如果m>=n^2此时有1/n>=n/m那么k<t+1/t<=[t]+(n-1)/n+n/m<=[t]+1又[t]+1<=k，所以要使得k是整数必定有m<n^2.此时k=[t]+1,不妨设[t]=p,于是m=np+g，0<=g<n.带入k=(m^2+n^2)/(mn+1)，化简后有:p(n^2-ng+1)=n^2-ng-1.得p=(n^2-ng-1)/(n^2-ng+1)<1.这与p是整数矛盾.所以当n>=2时,1<=t<2.那么:s>=1/t-(1/m^2+1/n^2)>=1/t-1/2则：t+1/t-1/2<k<t+1/t,由于1<=t<2.所以得出1<=k<3。所以k=1或k=2。当k=2时.有2=(m^2+n^2)/(mn+1)得：2=(m-n)^2显然上述方程无整数解。当k=1时:有mn+1=m^2+n^2>=2mn所以mn<=1但n>=2。所以不可能.因此考虑n=1，当m>=2时:k=(m^2+1)/(m+1).则k<m+1/m.s>=1/m-(1+1/m^2)m+1/m-1-1/m^2<k<m+1/mm-3/4<=k<=m于是我们得出：k=m.m=(m^2+1)/(m+1)m^2+m=m^2+1得出m=1，这与m>=2矛盾,所以m=1此时:k=(1^2+1^2)/(1*1+1)=1。于是：满足k=(m^2+n^2)/(mn+1),m,n,k是正整数的解是唯一的:k=m=n=1.同时k是平方数.我打了好久，可能有打错的地方望见谅。其实这个问题貌似有一个反证的方法,在下面这个链接里: http://zhidao.baidu.com/question/315132027.html 这里面的证明就没那么繁琐了。
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收起如果有括号请把括号加上，不然很难知道最基本的运算顺序，谢谢！这不是高中的吗}