已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，则tanα与α的关系为（　　）A、tanα＞αB、tanα＜αC、tanα=αD、tanα与α的关系不确定试题答案
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考点：正弦函数的图象专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质分析：作出函数f（x）=|sinx|的图象，利用函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，确定切点坐标，然后利用三角函数的关系式证明等式．解答：解：作出函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）的图象，如图所示，要使两个函数有且仅有三个交点，则由图象可知，直线在（π，）内与f（x）相切．设切点为A（α，-sinα），当x∈（π，）时，f（x）=|sinx|=-sinx，此时f′（x）=-cosx，x∈（π，）．所以-cosα=-，即α=tanα，故选：C．
点评：本题主要考查了两函数的交点的应用，以及三角函数的导数应用，三角函数的图象与性质，综合性强，难度大，属于难题．');
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若a=（cosωx，sinωx），b=（sinωx，0），其中ω＞0，记函数f（x）=（a+b）·b-k，k=；若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列。（1）求f（x）的表达式及m的值；（2）将y= f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=g（x）的图象；若函数y=g（x）x∈（，3π），的图象与y=a的图象的三个交点的横坐标成等比数列，试求a的值。试题答案
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解：∵故。（1）由题意知f（x）的周期为π，故 ∴而k=∴∴。（2）将的图象向左平移个单位得到的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=g（x）=cosx的图象，设函数y=g（x）=cosx，的图象与y=a的图象的三个交点的坐标分别为（x1，a），（x2，a），（x3，a），且则结合图象的对称性有：把代入解得再代入y=cosx有。');
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2022-2023学年河北省石家庄市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________一、单选题(50题)1.微分方程y'=x的通解为A.A.2x2+CB.x2+CC.(1/2)x2+CD.2x+C2.A.f(x)B.f(x)+CC.f/(x)D.f/(x)+C3.4.下列命题中正确的有（）．A.A.B.C.D.5.6.7.8.9.下列关系正确的是（）。A.B.C.D.10.在下列函数中，在指定区间为有界的是()。A.f(x)=22z∈(一∞，0)B.f(x)=lnxz∈(0，1)C.D.f(x)=x2x∈(0，+∞)11.设函数Y=e-x，则Y'等于()．A.A.-exB.exC.-e-xQ258D.e-x12.过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的平面方程为()．A.x+y+z=1B.2x+y+z=1C.x+2y+z=1D.x+y+2z=113.设y=2x3，则dy=()．A.2x2dxB.6x2dxC.3x2dxD.x2dx14.15.16.17.18.19.20.21.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=（）。A.B.C.D.22.下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是A.B.f(x)=(x-4)2，x∈[-2，4]C.D.f(x)=｜x｜，x∈[-1，1]23.24.当x→0时，x是ln(1+x2)的A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小25.26.A.6xarctanx2B.6xtanx2＋5C.5D.6xcos2x27.A.A.0B.1C.2D.任意值28.29.A.exln2B.e2xln2C.ex+ln2D.e2x+ln230.如图所示，在半径为R的铁环上套一小环M，杆AB穿过小环M并匀速绕A点转动，已知转角φ=ωt(其中ω为一常数，φ的单位为rad，t的单位为s)，开始时AB杆处于水平位置，则当小环M运动到图示位置时(以MO为坐标原点，小环Md运动方程为正方向建立自然坐标轴)，下面说法不正确的一项是()。A.小环M的运动方程为s=2RωtB.小环M的速度为C.小环M的切向加速度为0D.小环M的法向加速度为2Rω231.A.1-cosxB.1+cosxC.2-cosxD.2+cosx32.方程2x2-y2=1表示的二次曲面是（）。A.球面B.柱面C.旋转抛物面D.圆锥面33.微分方程y'+y=0的通解为y=A.e-x+CB.-e-x+CC.Ce-xD.Cex34.A.B.C.D.35.方程2x2-y2=1表示的二次曲面是()．A.A.球面B.柱面C.旋转抛物面D.圆锥面36.点(-1，-2，-5)关于yOz平面的对称点是()A.(-1，2，-5)B.(-1，2，5)C.(1，2，5)D.(1，-2，-5)37.A.-1/2B.0C.1/2D.138.设函数f(x)=(1+x)ex，则函数f(x)（）。A.有极小值B.有极大值C.既有极小值又有极大值D.无极值39.微分方程(y)2＋(y)3＋sinx=0的阶数为A.1B.2C.3D.440.41.42.设有直线当直线l1与l2平行时，λ等于()．A.1B.0C.-1/2D.-143.设y=f(x)在(a，b)内有二阶导数，且f"＜0，则曲线y=f(x)在(a，b)内()．A.A.凹B.凸C.凹凸性不可确定D.单调减少44.A.A.2B.C.1D.－245.设函数y=f(x)的导函数，满足f'(-1)=0，当x＜-1时，f'(x)＜0；x＞-1时，f'(x)＞0．则下列结论肯定正确的是()．A.A.x=-1是驻点，但不是极值点B.x=-1不是驻点C.x=-1为极小值点D.x=-1为极大值点46.（）。A.B.C.D.47.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时，特解的形式是(式中α、b是常数)。A.(αx2+bx)exB.(αx2+b)exC.αx2exD.(αx+b)ex48.49.50.二、填空题(20题)51.52.53.54.55.56.57.二阶常系数线性微分方程y-4y＋4y=0的通解为__________．58.59.设y=sin2x，则y'______．60.设y=e3x知，则y'_______。61.62.63.64.设y=x2+e2，则dy=________65.66.67.68.69.70.三、计算题(20题)71.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．72.证明：73.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．74.75.求曲线在点(1，3)处的切线方程．76.77.78.求微分方程的通解．79.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．80.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?81.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．82.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值．83.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．84.85.86.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．87.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则88.89.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．90.四、解答题(10题)91.将函数f(x)=lnx展开成(x-1)的幂级数，并指出收敛区间。92.求曲线在点(1，3)处的切线方程．93.94.95.96.97.98.设f(x)=x-5，求f'(x)。99.(本题满分8分)设y＝x＋sinx，求y．100.五、高等数学(0题)101.若f(x一1)=x2+3x+5，则f(x+1)=________。六、解答题(0题)102.参考答案1.C2.A由不定积分的性质“先积分后求导，作用抵消”可知应选A．3.B4.B本题考查的知识点为级数的性质．可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．5.D6.D7.A解析：8.C解析：9.C本题考查的知识点为不定积分的性质。10.A∵0<2x<1x∈(一∞，0)∴f(x)=2x在区间(一∞，0)内为有界函数。11.C本题考查的知识点为复合函数导数的运算．由复合函数的导数链式法则知可知应选C．12.A设所求平面方程为．由于点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)都在平面上，将它们的坐标分别代入所设平面方程，可得方程组故选A．13.B由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B．14.D15.C16.A解析：17.C18.C解析：19.A20.C21.C22.C23.C解析：24.D解析：25.A26.C27.B28.A29.B本题考查了一阶线性齐次方程的知识点。因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y,此为常系数一阶线性齐次方程,其特征根为r=2,所以其通解为y=Ce2x,又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=In2,故f(x)=e2xln2.注:方程y'=2y求解时也可用变量分离.30.D31.D32.B33.C34.B35.B本题考查的知识点为识别二次曲面方程．由于二次曲面的方程中缺少一个变量，因此它为柱面方程，应选B．36.D关于yOz平面对称的两点的横坐标互为相反数，故选D。37.B38.A因f(x)=(1+x)ex且处处可导，于是，f'(x)=ex+(1+x)·ex=(x+2)ex，令f'(x)=0得驻点x=-2；又x＜-2时，f'(x)＜0；x＞-2时，f'(x)＞0；从而f(x)在i=-2处取得极小值，且f(x)只有一个极值.39.B40.C41.D42.C解析：43.A本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．由于在(a，b)区间内f"(x)＜0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凹的，因此选A．44.C本题考查的知识点为函数连续性的概念．45.C本题考查的知识点为极值的第一充分条件．由f'(-1)=0，可知x=-1为f(x)的驻点，当x＜-1时，f'(x)＜0；当x＞-1时，f'(x)＞1，由极值的第一充分条件可知x=-1为f(x)的极小值点，故应选C．46.D47.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1y"-y=xex中自由项f(x)=xex，α=1是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。所以选A。48.D49.D50.B51.52.本题考查的知识点为二重积分的性质．53.54.本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．可分离变量方程求解的一般方法为：(1)变量分离；(2)两端积分．55.本题考查的知识点为初等函数的求导运算．本题需利用导数的四则运算法则求解．本题中常见的错误有这是由于误将sin2认作sinx，事实上sin2为－个常数，而常数的导数为0，即请考生注意，不论以什么函数形式出现，只要是常数，它的导数必定为0．56.57.58.-4cos2x59.2sinxcosx本题考查的知识点为复合函数导数运算．60.3e3x61.2x-4y+8z-7=062.-3sin3x-3sin3x解析：63.11解析：64.(2x+e2)dx65.66.67.(-33)68.69.170.ee解析：71.由二重积分物理意义知72.73.函数的定义域为注意74.75.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为76.77.78.79.80.需求规律为Q=100ep-2.25p∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％81.列表：说明82.83.84.由一阶线性微分方程通解公式有85.86.87.由等价无穷小量的定义可知88.则89.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，90.91.92.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为93.本题考查的知识点为被积函数为分段函数的定积分．当被积函}