首先你先想下，在只知道收敛域的情况下，能不能得到级数的收敛半径？收敛半径是不是等于收敛域的一半？开始解释由于自己学的知识有限，所以只能在实数域内讨论这个问题，复数域考虑不了。解释过程收敛域定义：函数项级数 \sum_{n=1}^\infty u_n(x) 的所有收敛点的集合称为它的收敛域。收敛半径: r 是一个非负的实数或无穷大，使得在
z -a
<r 时幂级数收敛，在
z -a
>r 时幂级数发散。（来源：百度百科）从百度百科对收敛半径的定义来看，收敛半径这个说法是针对幂级数这个特殊对象来说的。（当然我不敢确定百度百科的说法是否严谨，这里姑且按这个定义来讨论）幂级数中心点：这里我不知道有没有幂级数中心点这个定义，但是为了能够扩展阿贝尔定理的应用，我将幂级数中心点定义为：使指数为n的底为0的点称为幂级数中心点（网上找不到这个定义，所以就这样规定了），这个中心点刚好就是幂级数收敛区间的中心点（这个可以结合阿贝尔定理证明，阿贝尔定理中的中心点是0）。所以当在只得知收敛域，我们知道的仅仅是幂级数中心点，但得不到幂级数的收敛半径。举例已知收敛域为 [-1,2) 那么可得到幂级数中心点为 \frac{1}{2} , 假设幂级数为\sum_{n=1}^\infty a_n(bx-c)^n 那么只要 b,c 满足\frac{1}{2}b-c=0 即 b=2c 级数在该收敛域内必收敛，证明如下：该级数的收敛半径的计算如下：由于收敛域有界，所以\lim_{n\to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|必存在（因为若极限为无穷，那么收敛域就是实数域了），令 \lim_{n\to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\alpha ，结合收敛域可知该级数在 x=-1 处收敛，在 x=2 处条件收敛,所以\lim_{n\to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}
b(-1)-c|=3|c|\alpha<1， \lim_{n\to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}
2b-c|=3|c|\alpha>1 所以由夹逼准则可得 \alpha=\frac{1}{3|c|} ,所以该级数的收敛半径为 \lim_{n\to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}
bx-c|=\frac{1}{3|c|}|bx-c|<1 即
bx-c|<3|c
，所以收敛半径为 3|c
。所以收敛半径随着c取值的不同，一直在发生变化，但这时收敛域并没有改变。由此可得通式，若收敛域为 [x_1,x_2) ，则 \sum_{n=1}^\infty a_n(bx-c)^n 的若满足 \frac{x_1+x_2}{2}b=c
则收敛半径为 \frac{x_2-x_1}{2}|b
由此可见幂级数的收敛半径不一定等于收敛域长度的一半，但是在b等于1时收敛半径等于收敛域长度的一半。结论所以要知道收敛半径：需要知道收敛域和幂级数形式，这时才能唯一确定收敛半径收敛半径的格式一定是
z -a
<r ，并且把中心点代入绝对值后，该式为0常考类型上面说的是通用型的，但是考试一般常考的就只有 \sum_{n=1}^\infty a_n(bx-c)^n 这种，特点就是 x 的次数是一，这种通常会跟你说在哪里收敛，哪里条件收敛，然后问提问的类型有下面三种判断某个点的敛散性计算收敛半径确定 \sum_{n=1}^\infty na_nx^{2n+1} 等等类型的收敛半径，判断某点敛散解决方式对于前两种可以秒得答案：只需要画张图如下令 y=bx-c ，这里要求y过点 (\frac{x_1+x_2}{2},0) y_2 就是收敛半径，当题目要求判断敛散性的点对应的y值落在 (y_2,y_1) 之间时绝对收敛，否则发散。对于第三种其实也是可以画图，可以确定收敛域，如果类型像 \sum_{n=1}^\infty na_nx^{2n+1} 也可以直接得出收敛半径，首先来推下收敛半径 \lim_{n\to \infty}|\frac{n+1}{n}
\frac{a_{n+1}}{a_n}|x^2=\lim_{n\to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|x^2=\alpha x^2<1
即
x|<\sqrt{\frac{1}{\alpha }} 画成图就是上面的样子，收敛域为 y=y_1与y=x^2 交点对应的 y=x 的值域，收敛半径就是该区间长度的一半，对于更一般的推广思路就不再赘述了。实际计算中，直接将级数前后两项做比去极限，化简得到类似
\varphi(x)|<\frac{1}{\alpha} 即系数的极限比值的倒数放在式子右边，同时通过化简使得左边式子 x 的指数为1，然后对令 y=\varphi(x) 并画出对应的图像，其值域就是收敛区间注意逐项求导，收敛半径不变，但是收敛域可能缩小；逐项积分，收敛半径不变，但是收敛域可能扩大收敛半径不一定都是正的，还有可能是0}

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展开全部收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在|z-a|<r时幂级数收敛，在|z-a|>r时幂级数发散。当z和a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。正值性质当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）。b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数。c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）。负值性质当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都通过点（1,1）。b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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