《高等数学》课程教学大纲

第一部分  大纲说明

本大纲是为贯彻落实《教育部关于全面提高高等职业教育教学质量的若干意见》文件精神，并根据教育部制定的《高职高专教育高等数学课程教学基本要求》，在总结我校高职高专数学教学、教改经验的基础上，以提高课程教学质量为目标，以创新课程体系和改革教学内容为重点，突出学生实践能力、创新能力的培养，准确把握课程定位，科学制定课程标准，整体优化教学过程，充分发挥课程大纲对实现人才培养目标的支撑作用，促进学生综合素质的全面提高而重新编写制定的。

本大纲将高等数学分为两部分：《高等数学1》和《高等数学2》。《高等数学1》内容包括一元函数微积分和常微分方程；《高等数学2》内容包括多元函数微积分及其应用、无穷级数与线性代数等。

（一）课程的性质和特点

《高等数学1》为必修课、考试课，考试形式为教考分离且是闭卷形式；《高等数学2》为选修课、考查课，考查形式为任课教师自考。本大纲的基本指导思想是在培养学生的基本数学理念和维持数学的系统性、逻辑性的基础上，强调以应用为目的，以必要够用为度为基本原则，要求课程内容必须为后继课程、专业课程提供必备的数学基础知识和数学基本方法，对数学自身的系统性、逻辑性和抽象性不作过高要求，在保证概念准确性和严肃性的同时，可用一些实际背景、几何解释，物理意义等取而代之。鉴于此，本大纲与以往的高等数学大纲相比，在逻辑编排上、教学内容、教学要求和学时分配上都有一些变动。

（二）课程的总体教学目的和要求

本大纲强调在教学中应注重对学生实际应用能力的培养和对课程基本知识、基本方法的掌握。具体有如下三方面的能力：一是用数学思想、概念、方法消化吸收工程原理的能力；二是把实际问题转化为数学模型的能力；三是求解数学模型的能力。要求学生在学完《高等数学》这门课程后，能正确理解微积分的基本概念，掌握基本性质、定理的应用，熟记基本公式，了解或不要求性质、定理、公式的分析性证明，但要求能掌握简单的计算性证明，达到概念清晰，性质明确，能分清定理的条件和结论，并能熟练运用微积分的基本知识、基本方法解决学生所学专业领域内常见的一些实际问题，为后继课、专业课提供有力的数学工具。

（三）课程的学时和学分（章、节学时分配见附表）

《高等数学1》为第一至四章，包含一元函数微积分及其应用，学时数为72学时，学分为4分。《高等数学2》第五至九章，内容包含多元函数微积分及其应用、无穷级数简介、线性代数初步，学时数为36学时，学分2分。考虑到高职教育的特点和现代科学水平的提高，有些数学运算可以借助计算机完成，同时也为培养学生应用数学软件的能力，以适应当今社会的发展需求，在《高等数学1》各章末可增加数学软件包（Mathematical）的有关内容；又考虑到各专业的不同需求，在《高等数学2》中可选增概率与统计初步（第十至十二章，财经、计算机类专业可选），复变函数、积分变换与拉普拉斯变换（第十三至十五章，机、电类专业可选）等内容，增加部分为选学内容，学时数酌加。

根据高职教育的特点和要求，原则上应选用高职高专规划教材，学习指导书、参考书可用可选用高职高专专用或本、专科使用的《高等数学》教材及相关书籍，亦可选用一些相关视听资料，多媒体课件和电子图书等作为辅助性参考。

第二部分  教学内容及要求

本章教学目的和要求：理解函数、极限、无穷小量与无穷大量、函数连续的概念，掌握函数的性质，了解等价无穷小的概念，了解极限、函数连续、无穷小与无穷大的性质。会求函数值、定义域，会判定简单函数的特性、两函数的异同，会用左、右极限讨论分段函数在分段点的极限与连续性。掌握极限的四则运算与无穷小的运算法则，并能熟练运用这些法则与两个重要极限计算各类函数的极限。了解关于用Mathematical进行函数运算及极限运算的内容。

教授内容：函数、复合函数、初等函数。极限、左、右极限、无穷小量与无穷大量。函数的连续性、左、右连续，分段函数在分段点的极限与连续，闭区间上连续函数的性质。用Mathematical进行函数运算及极限运算。

一、理解函数概念，掌握函数两要素与三因素，并能判定两函数异同，了解函数的几种表达形式，会求函数值与函数定义域。

（1）引例：结合专业特点引例分析。

（2）函数定义：函数的两要素与三因素。

（2）求函数值与定义域。

（三）函数的几种表达形式

（1）解析法、表格法、图象法。

二、掌握函数性质，会判定简单函数的特性。

（二）应用举例：判定简单函数的性质

三、熟练掌握各类初等函数，并会建立数学、物理中常见的函数关系。

（3）指数函数与对数函数

（4）三角函数与反三角函数

（三）建立函数关系举例

一、理解极限、无穷小量与无穷大量的描述性定义，了解其分析性定义即“ε—δ”定义。了解等价无穷小及其应用和无穷小量与无穷大量的性质，掌握其相互关系与无穷小的运算法则，掌握利用左、右极限求分段函数在分段点的极限方法。

（3）左、右极限与极限存在的充要条件

（二）无穷小量与无穷大量

（1）无穷小量与无穷大量定义及其相互关系

（2）无穷小量的性质与运算法则

（3）等价无穷小定义与应用

二、了解极限的性质，熟练掌握极限的运算法则与两个重要极限的应用。

（2）极限存在的两个准则

（1）极限的四则运算法则

（1）型未定式极限计算

（2）型未定式极限计算

（3）两个重要极限及其应用

一、理解函数连续与间断的概念与性质，掌握连续函数的几何意义。会对间断点进行分类，了解跳跃间断点、可去间断点与无穷间断点

（一）   函数在一点连续的概念与性质

（2）左、右连续定义与函数连续的充要条件

（1）函数在一点连续的条件

（2）函数间断点的类型

二、理解连续函数概念，掌握初等函数的连续性，会求连续区间，知道连续函数的性质，了解性质的应用。

（3）连续函数的几何意义

（二）连续函数的性质与初等函数的连续性

（1）连续函数的四则运算

（2）初等函数的连续性

（3）在闭区间上连续函数的性质（最值定理、有界性定理、零点定理）

了解用Mathematical进行函数运算与极限运算。

本章教学目的和要求：理解导数概念及其几何意义，理解函数极限、连续与导数、微分间的关系。知道中值定理。熟记求导基本公式与求导法则，熟练掌握导数的各种计算法。理解微分概念，掌握导数与微分间的关系，掌握利用导数计算微分的方法，了解微分的几何意义与微分的运算法则及微分基本公式。了解微分在近似计算中的应用，了解用Mathematical进行求导运算的内容。

教授内容：导数概念及其几何意义、物理意义与实际意义。求导基本公式与四则求导法则及复合函数求导法、隐函数的求导法、对数求导法与由参数方程所确定的函数的求导法。微分概念及其几何意义与微分的运算法则及微分公式，导数与微分间关系。微分在近似计算中的应用。用Mathematical进行求导运算。

一、理解一元函数导数的定义、几何意义、物理意义与实际意义。知道导数与连续性的关系。掌握导数在几何上的简单应用，了解导数在物理方面及其它实际问题中的应用。了解利用导数定义计算导数的方法。

（1）导数定义与导数的几何意义、物理意义与实际意义。

（2）左、右导数定义与函数在一点可导的充要条件。

（3）利用导数定义求导的方法（分段函数在分段点的导数计算法）

（5）导数与连续性的关系

二、熟记基本求导公式，了解其推导过程。熟练掌握导数的四则运算、复合函数的求导法、隐函数的求导法、对数求导法及由参数方程所确定的函数的求导法，不要求推导过程。

（1）部分求导公式推导

（二）导数计算法及应用举例

（3）隐函数求导法与对数求导法

（4）由参数方程所确定的函数的求导法

三、掌握高阶导数的概念，会求简单初等函数的二阶导数，了解阶导数的计算

（二）高阶导数的计算法及应用举例

一、理解微分概念，了解其几何意义。

二、知道微分与导数间的关系与一阶微分形式不变性，了解微分的运算法则与微分公式。会利用导数求微分，了解利用微分法则与公式求微分的方法。

（1）微分与导数间的关系

（2）一阶微分形式不变性

（二）微分运算法则与微分公式

（1）利用微分法则与公式求微分

三、了解微分在近似计算中的应用。

（二）微分近似公式的应用

本章教学目的和要求：理解微分中值定理，知道它们的条件和结论，不要求定理推导。熟练掌握洛必达法则的应用。理解函数的各种性态，掌握函数单调性、凹凸性的判定与极值、拐点的计算。掌握最值应用题的解法。了解微分作图法，了解用Mathematical求解最值应用题的解法。

教授内容：微分中值定理，洛必达法则。函数单调性与极值、最值，凹凸性与拐点。用Mathematical求解导数应用题。

一、理解罗尔定理与拉氏定理，知道它们的条件与结论，了解柯西定理，了解中值定理的应用。

（1）拉格朗日中值定理及其几何意义

（1）柯西中值定理及其几何意义

（2）三个中值定理间的关系

二、熟练掌握用洛必达法则求型与型的极限计算法，掌握型与型的极限计算法，了解“幂指型”的不定式极限计算法。

（1）型与型的洛必达法则

（二）其它类型的不定式的应用举例

（1）“∞－∞”型的极限

（2）“0·∞”型的极限

（2）不能用洛必达法则的情形

一、理解函数单调性与极值的概念，知道极值点与驻点的关系。

（一）函数的单调性与极值

（1）图例分析单调性与极值

（2）驻点、尖点与极值点及其相互关系

（二）掌握单调性与极值的判别法。

（1）函数单调性的判别法

（2）取得极值的必要条件与两个充分条件

（3）函数的单调区间与极值的计算

二、理解最值概念，熟练掌握最值的计算。

（1）图例分析极值与最值

（1）闭区间上连续函数的最值计算

（2） 最值应用题的求解方法

一、理解凹凸性与拐点的概念。

（一）曲线的凹凸性与拐点

（1）图例分析凹凸性与拐点

（2）凹凸性与拐点定义

二、会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

（1）凹凸性与拐点的判别法

（2）凹凸区间与拐点的计算

第四章   一元函数积分学及其应用

本章教学目的和要求：理解原函数与不定积分、定积分与广义积分的概念。掌握不定积分与定积分的运算性质，了解定积分的其它性质。理解并掌握微积分基本公式，了解积分上限的函数概念及其求导定理。熟练掌握各类积分的运算。掌握积分在几何上的应用及在微分方程中的简单应用，了解在物理上的应用。了解用Mathematical计算一元函数的积分及其在微分方程中的应用。

教授内容：不定积分及其性质，不定积分的计算法。定积分及其性质。积分上限的函数及其求导定理，微积分基本公式。定积分的计算法。定积分在几何、物理上的应用。广义积分。微分方程初步。用Mathematical计算一元函数的积分及其在微分方程中的应用。

一、理解原函数与不定积分的定义、性质及几何意义。

（3）原函数的两个基本问题：存在性与一般表达式

（2）利用定义计算举例

（3）不定积分几何意义

（4）不定积分基本性质：积分与导数（或微分）的互逆关系

二、理解导数公式与积分公式间的联系，熟记基本积分公式，掌握积分的运算性质。熟练掌握利用公式进行积分的方法。

（1）导数与积分间的联系

（2）导数公式与积分公式间的对应

（二）不定积分的运算性质

（1）常数可提到积分号外面的性质

（三）公式应用举例（直接积分法）

一、熟练掌握不定积分的换元积分法，了解其中的三角代换。

（一）第一换元积分法（凑微分法）

（2）换元公式及其应用程序（凑微分法的基本步骤）

（二）第二换元积分法（换元法）

（2）换元公式及应用程序（换元法的基本步骤）

二、熟练掌握常见类型的分部积分法。

（2）计算程序（分部积分的步骤）

三、掌握简单的综合应用。

（1）基本方法的推广举例

（2）多种方法并用的例题

（3）一题多解的应用举例

一、了解定积分定义，理解定积分几何意义。掌握定积分的运算性质，了解其它性质。

（1）引例：曲边梯形的面积

（3）积分中值定理及其几何意义

（4）连续函数的平均值定义

二、理解并熟练掌握微积分基本公式，了解公式推导。了解变上限的定积分概念与原函数的存在性定理。

（1）变上限的定积分定义及几何意义

（2）变上限的定积分的求导定理及公式推广

（2）公式应用举例（定积分的直接积分法与凑微分法）

三、熟练掌握定积分的根式代换与常见类型的分部积分法，了解三角代换。

（一）定积分的换元积分法

（2）应用程序（换元法的基本步骤）

（3）应用举例（根式代换与三角代换）

（4）对称区间上具有奇偶性的连续函数的积分性质及其几何意义

（二）定积分的分部积分法

（1）定积分的分部积分公式

（2）常见类型应用举例

一、理解无穷区间上的广义积分概念，掌握其计算法，了解其几何意义。

（一）无穷区间上的广义积分（无穷积分）

（2）利用定义计算举例（了解此法，介绍几何意义）

（3）牛顿—莱布尼兹公式推广

二、了解无界函数的广义积分概念及其计算法。

（一）无界函数的广义积分（瑕积分）

（2）牛顿—莱布尼兹公式推广及应用举例

一、了解定积分的微元法。掌握定积分在几何上的应用，会求平面图形的面积及简单的绕坐标轴旋转的立体体积。了解用参数方程求面积与体积的方法，了解极坐标下的面积与体积的计算方法。

（2）X-型及Y-型图形的面积计算公式

（3）归纳平面图形的面积计算步骤

（4）应用举例（包括用参数方程计算的例子）

（5）极坐标下的面积计算公式及应用举例

（1）X-型图形绕x轴旋转及Y-型图形绕y轴旋转的立体体积计算公式

二、了解平面曲线的弧长计算法。了解定积分在物理等其它方面的应用。

（二）定积分在其它方面的应用

（1）物理上的应用举例（功、水压力等）

（2）结合专业上的应用举例

一、理解微分方程的基本概念。熟练掌握一阶微分方程的分离变量法，掌握一阶线性非齐次微分方程的公式解法，了解其变易常数法。

（一）微分方程的基本概念

（2）（常）微分方程及其阶、解、通解、特解、初始条件等的概念。

（二）可分离变量的微分方程

（1）可分离变量的微分方程定义

（三）一阶线性微分方程

（1）一阶线性微分方程定义

（2）变易常数法与一阶线性非齐次微分方程的通解公式

二、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解其非齐次微分方程的解法。

（一）二阶常系数微分方程

（1）二阶常系数微分方程定义

（2）函数的线性相关性与齐次线性方程解的叠加原理

（3）非齐次线性方程的通解结构

（二）二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法

（1）二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程与特征根

（2）二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式

（三）二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求法

了解用Mathematical求一元函数的积分及其在微分方程中的应用。

第三部分   实践性教学环节内容及要求

《高等数学》为基础理论课，无实践性教学环节。

1、同济大学数学教研室.高等数学.第四版.北京：高等教育出版社，2000.

2、候风波.高等数学. 第二版.北京：高等教育出版社，2004.

3、孙晓晔.高等数学学习指导. 北京：高等教育出版社，2006.

4、李先明.高等数学（理工类）.重庆大学出版社,2007.

5、余英、李坤琼.应用高等数学(上册) .第二版.重庆大学出版社,2013.

6、其它《高等数学》相关书籍

1、教育部高职高专规划教材《高等数学》（侯风波主编）

2、重庆市高职高专规划教材《高等数学》（李先明主编）

3、重庆市高职高专规划教材《高等数学》(上册)（余英、李坤琼主编）

4、其它高职高专规划教材

《高等数学1》章、节学时分配表

函数、初等函数、建立函数关系

函数连续与间断、连续函数的性质

导数和高阶导数、导数的计算

微分及其在近似计算中的应用

函数的单调性与极值、最值

定积分的概念、性质及计算

《求不定积分的几种基本方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求不定积分的几种基本方法（36页珍藏版）》请在人人文库网上搜索。

1、5.2 求不定积分的几种基本方法,一、 第一类换元法（凑微分法,先看下例,例1 求,解,设,则,1,一般地，如果,是,的一个原函数，则,而如果,又是另一个变量,的函数,且,可微，那么根据复合函数的微分法，有,由此得,2,是具有原函数,于是有如下定理,定理1 设,可导，则,有换元公式,5-2,由此可见，一般地，如果积分,不能直接,利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式,能表示为,的形式，且,较易计算，那么可令,3,代入后有,这样就得到了,的原函数.这种积分称为第一类换元法,由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分,因子,因此第一类换元法也称为凑微分法,例2 求,解,4,再以,代入，即得

2、,例3 求,解 被积函数,可看成,与,构成的复合,函数，虽没有,这个因子，但我们可以凑出这个因子,如果令,便有,5,一般地，对于积分,总可以作变量代换,把它化为,6,例4 求,解 令,则,7,例5 求,解 令,则,有,凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式在,比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤,8,例7 求,例6 求,解,解,9,解,例8 求,10,例9

3、、 第二类换元法,第一类换元法是通过变量代换,将积分,化为积分,第二类换元法是通,过变量代换,将积分,化为积分,在求出后一个积分后,再以,反函数,代回去,这样换元积分公式可表示为,上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边,的不定积分要存在，即被积函数,的,16,有原函数；其次,的反函数,要存在.我们有下面的定理,定理2 设函数,连续,单调、可导，并且,则有换元公式,5-3,下面举例说明公式(5-3)的应用,17,例14 求,解 遇到根式中是一次多项式时，可先通过适当的换,元将被积函数有理化，然后再积分,令,则,故,18,例15 求,解 令,则,则有,例16 求,解 为使被积函数有理化利用三

4、角公式,令,则它是,的单调可导函数,具有反函数,且,19,因而,例17 求,解 令,则,于是,20,其中,例18 求,解 被积函数的定义域为,令,这时,故,21,其中,当,时,可令,类似地可得到相同形式的结果,以上三例中所作的变换均利用了三角恒等式，称之为,三角代换，可将将被积函数中的无理因式化为三角函数,的有理因式一般地，若被积函数中含有,时，可,作代换,或,含有,时，可作,代换,含有,时，可作代换,22,利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换,即,等,例19 求,解 令,则,因此,当,时,有,23,当,时,有,综合起来，得,在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到,的所以它们

5、通常也被当作公式使用这样,常用的积分,公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中,常数a0,24,14,15,16,17,18,19,20,25,21,例20 求,解,利用公式(18)，可得,26,例21 求,解,利用公式(21)，可得,27,三 分部积分法,一、 分部积分公式的推导,思考,诸如此类的不定积分，用换元积分法都不能求解,特点： 被积函数是两种不同类型的函数的乘积,需要用到求不定积分的另一种基本方法分部积分法,设函数,及,具有连续导数那么,移项，得,28,对这个等式两边求不定积分，得,5-4,公式（5-4）称为分部积分公式,如果积分,不易求,而积分,比较容易时,分部积分公式

6、就可用了,为简便起见,也可把公式（5-4）写成下面的形式,5-5,现在通过例子说明如何运用这个重要公式,29,例22 求,解 由于被积函数,是两个函数的乘积,选其中一,那么另一个即为,如果选择,则,个为,得,如果选择,则,得,30,上式右端的积分比原积分更不容易求出,由此可见，如果,和,选取不当，就求不出结果,所以应用分部积分法时，恰当选取,和,是关键,一般以,比,易求出为原则,例23 求,解,31,例24 求,解,由上面的三个例子知道，如果被积函数是指数为正整,数的幂函数和三角函数或指数函数的乘积，就可以考虑,用分部积分法，并选择幂函数为,经过一次积分，就,可以使幂函数的次数降低一次,例25 求,解,32,例26,求,解,33,例27 求,解,总结上面四个例子可以知道,如果被积函数是幂函数,和反三角函数或对数函数的乘积,就可以考虑用分部积分,法,并选择反三角函数或对数函数为,一般地,如果被积函数是两类基本初等函数的乘积,在多数情况下,可按下列顺序: 反三角函数、对数函数,幂函数、三角函数、指数函

　　例5.2.5 求不定积分．
　　解　= …………………………（）
　　　　　　　　　=．

　　例5.2.6　求．
　　解　…………………………（）
　　　　　　　　　　　

　　例5.2.7　设为函数的一个原函数，求．
　　解　由题设，为函数的一个原函数，所以，
　　　　于是， …………………………（）
　　　　　　　　　　　　　　

　　例5.2.8　求下列不定积分：（本例结果作为公式记忆）

　　解：（1）（运用基本公式）
　　用类似方法，可求得：．
　　　　　　　 ． （运用基本公式）
　　　当其中的时，就是基本积分公式．
　　　当其中的时，就是基本积分公式．
　　　　　　　　．　　　　　　　（运用中学所学公式：）

二、第一类换元法（凑微分法）（续）

　　首先请同学们默记下列常用的凑微分公式：

　　例5.2.9　设，求．
　　解　 　　　　　　　　　　（）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（）
　　　　　　　　　　　．
　　例5.2.10　求下列不定积分
　　（1）==．　　　　　
　　（2）==．　　　　
　　　　　　　　 =．　　　（）
　　　　　　　　　　　　．

　　例5.2.11　求下列不定积分
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　．
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　．

　　例5.2.12　求不定积分
　　　　　　　　　==
　　　　　　　　　=．（公式）
　　类似地可以得到公式：

　　　　　　　　　=．
　　　　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　　　　=．