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1、常微分方程常见形式及解法1 程常见形式及解法程常见形式及解法 知行知行1301 常微分方程常见形式及解法2 微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在 初等数学的代数方程，其解是常数值。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一 自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个 实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函 数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成 的系统。微分方程的表达通式是： 常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变数导数的 最高阶数，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分 方程。例如以下的贝塞尔方程： （其中y

2、为应变数）为二阶微分方程，其解为贝塞尔 函数。 常微分方程常见形式及解法3 常见例子常见例子 以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变 数为x，c及均为常数。 l 非齐次一阶常系数线性微分方程： l 齐次二阶线性微分方程： l 描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程： l 非齐次一阶非线性微分方程： l 描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程： 常微分方程常见形式及解法4 微分方程的解微分方程的解 l微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如： ldy/dx=sinx， l的解是 ly=-cosx+C， l其中C是待定常数； l例如，如果知道

3、l y=f()=2， l则可推出 l C=1， l而可知 ly=-cosx+1， 常微分方程常见形式及解法5 01 02 简易微分简易微分方程的求解方法方程的求解方法 一阶线性常微分方程 二阶常系数齐次常微分方程 常微分方程常见形式及解法6 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程 l对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： l对于方程： l可知其通解： l然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值 01 常微分方程常见形式及解法7 二阶常系数齐次常微分方程二阶常系数齐次常微分方程 l对于二阶常系数齐次常微分方程，常 用方法是求出其特征方程的解 l对于方程： l可知其通解： l其

4、特征方程： l根据其特征方程，判断根的分布情况， 然后得到方程的通解 l一般的通解形式为(在r1=r2的情况下): l(在的r1r2情况下): l(在共轭复数根的情况下)： 02 常微分方程常见形式及解法8 01 02 03 04 一般一般通解通解 可分离方程 一般一阶微分方程 一般二阶微分方程 线性方程 (最高到n阶) 常微分方程常见形式及解法9 可分离方程可分离方程01 微分方程微分方程解法解法通解通解 一阶，变量 x 和 y 均可分离 分离变量（除以P2Q1）。 一阶，变量 x 可分离 直接积分。 一阶，变量 y 可分离 分离变量（除以 F）。 一阶，变量 x 和 y 均可分离 整个积分

5、。 常微分方程常见形式及解法10 一般一阶微分方程一般一阶微分方程 02 微分方程微分方程解法解法通解通解 一阶，齐次 令 y = ux，然后通过分离 变量 u 和 x 求解. 一阶，可分离变量 分离变量（除以 xy）。 如果N = M, 解为xy = C. 恰当微分, 一阶 其中 整个积分。 其中 Y(y) 和 X(x) 是积分出来 的函数而不是常数，将它们列在 这里以使最终函数 F(x, y) 满足初 始条件。 反常微分, 一阶 其中 积分变量 (x, y) 满足 如果可以得到 (x, y)： 常微分方程常见形式及解法11 一般二阶微分方程一般二阶微分方程 03 微分方程微分方程解法解法通解通解 二阶 原方程乘以 2dy/dx, 代换 , 然后两次积分. 一阶线性，非齐次的函数系数 积分因子: 二阶线性，非齐次的常系数 余函数 yc: 设 yc = ex， 代换并解出 中的多项 式，求出线性无关函数 。 特解 yp：一般运用常数 变易法，虽然对于非常 容易的 r(x) 可以直观判 断。 如果 b2 4c, 则: 如果 b2 = 4c, 则: 如果 b2 4c, 则: 线性方程线性方程 (最高到最高到n阶阶) 04 常微分方

【摘要】：本文主要研究两类问题,一类是非线性微分方程解析解构造方法的改进,一类是解析解构造方法在实际问题中的应用.本工作分为五个章节:第一章,介绍孤子理论,非线性气泡和解析解构造方法的历史及研究现状,并在此基础上给出本文的主要工作.第二章致力于同伦分析方法的改进,分别探讨了两种改进的方式:一种是为了克服传统的多项式表达的同伦分析解通常只在局部区域内有效的问题,本文应用形式幂级数理论,给出了各子区间上解的统一表达式,进而获得了在更大区域内有效的分段同伦分析解;另一种是应用牛顿迭代的思想,将优化的同伦分析解反过来修正初始猜测解,提高了级数解的收敛速度和精度.第三章,通过Hirota双线性方程,构造了非局部Boussinesq方程的拟周期波解,并通过分析其渐近行为给出了拟周期波解与对应孤子解的关系.第四章考虑了在不可压流体中描述气泡运动的Rayleigh-Plesset方程的解析解构造问题.通过不同的构造方法,分别给出了 Rayleigh-Plesset方程不同形式的解析解,并在此基础上分析了运动规律.第五章总结了本文的主要工作,并展望了未来的研究方向.