本章的重点：函数的定义，复合函数，函数奇偶性，初等函数.

本章的考点：求函数的定义域、已知的表达式，求的表达式、判定函数的奇偶性、有界性.

1.区分两个函数是否相同，关键是研究确定函数关系的两个要素——定义域和对应法则，而与变量用什么字母表示无关.

2.由于分段函数在各段上的对应法则不同，所以求分段函数在某点的函数值时，关键要弄清该自变量所在区间对应的函数表达式是哪一个，然后再代入求值.

3.复合函数的求解方法主要有两种：

(1)代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来代替，适用于初等函数的复合.

(2)分析法：抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，适用于初等函数与分段函数的复合或两分段函数的复合.

    4.反函数求解方法比较固定，具有很强的规律性，关键是把握好定义域和符号的变化，特别是对于分段函数要牢记所求函数表达式的区间.

    5.根据实际应用问题列出函数关系的表达式后，再确定函数的定义域，而其定义域除函数的解析式外还要考虑变量在实际问题中的含义.

本章的重点：极限和无穷小的概念及其性质，极限的四则运算法则，两个重要极限，函数的连续性.

本章的考点：利用求极限的各种方法求极限，讨论两个无穷小之间的关系，判断函数的连续性(尤其是分段函数在分段点的连续性)、找出间断点，利用零点定理确定方程的根.

1.求极限时，首先要判断所求极限的类型，然后确定要使用的方法；

2.讨论两个无穷小之间的关系实际是求两者商的极限，且这种极限为“”未定式；

3.由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续实际上仍然是求极限，可以使用求极限的各种方法计算；

4.无定义的点必为间断点，分段函数的分段点是可能的间断点，需要通过连续的定义进一步判断.

本章的重点：导数定义，导数的几何意义，可导与连续的关系，求导公式

与求导法则(复合函数求导法则、隐函数求导法则)，简单函数的n阶导数，可导与可微之间的关系.

本章的考点：利用导数定义进行的计算，导数的几何意义与几何知识综合应用，可导与连续的关系，复合函数、初等函数求导函数，求二阶、三阶导数和简单函数的n阶导数，函数的微分的计算.

1.求分段函数在分段点处的导数一定要用导数的定义计算；

4.隐函数求导时，一定要把y视为x的函数.

本章的重点：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别法，极值判别的必要条件与充分条件，最大值与最小值的求法，曲线凹凸性的判别法.

本章的考点：用罗尔定理证明方程根的存在性和有关公式，用拉格朗日中值定理证明不等式，直接利用洛必达法则求极限，或用其他求极限方法化简后再用洛必达法则求极限，确定单调区间，利用函数的单调性证明不等式，利用极值存在的必要条件和充分条件求极值，利用极值证明相关问题，用最大值、最小值解应用题，确定曲线的凹凸性，求曲线的拐点，研究函数的性态，求渐近线，求解经济问题中的最值问题.

本章的重点：不定积分的性质，不定积分的第一、第二换元法，不定积分的分部积分公式

本章的难点：不定积分的第一换元法、不定积分的分部积分公式

1.不定积分是微分逆运算，用“微分”作积分，就如同用“乘法”作除法一

样. 因此，对微分基本公式和微分法倒背如流是积分法的基础，基本的积分法有分项积分、第一换元法、第二换元法及分部积分法四种.

第一类换元积分法是复合函数求导的逆运算，是最重要的积分法；第二类换元法一个主要思路是有理化被积表达式.

3.求分段函数的原函数时，先在不同分段区间求出其原函数，再根据原函数在所讨论的区间上及其分段点处均连续的性质确定各分段区间上任意常数之间的关系，最后求出各个任意常数，从而求出原函数.

第六章 定积分及其应用

本章的重点：定积分的性质、积分上限函数的导数、牛顿—莱布尼兹公式、

定积分的换元法、定积分的分部积分法、广义积分的定义及收敛性、平面图形的面积、旋转体的体积.

本章的考点：使用定积分的性质对定积分进行讨论、求积分上限函数的导数、使用牛顿—莱布尼兹公式及定积分的换元法、分部积分公式计算定积分的值、计算广义积分、利用定积分计算平面图形的面积及旋转体的体积，有关定积分在经济学中的应用计算题.

1.熟练掌握定积分的换元积分法、分部积分法，多作练习，提高解题的速度和准确性.

2.理解变上限积分函数的定义，弄清变上限积分函数的求导法本质上就是复合函数的求导.

    4.计算分段函数的定积分，应根据不同区间上的函数表达式，利用定积分的可加性分段计算.

5.定积分等式的证明方法主要有两个：

方法一：换元法，适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件的命题. 具体作法如下：依据定积分与积分变量无关的性质，改写等式一端的积分变量为u

利用所作代换，由等式一端推导出另一端.

方法二：分部积分法，适用于被积函数中含有或变上限积分的命题.

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为计算真分式的积分。
参考资料来源：百度百科——不定积分

单于狡潘： 求不定积分1/x√(x^2 - 1) - ： 不定积分结果不唯一求导验证应该能够提高凑微分的计算能力先写别问.数字帝国广告泛滥但是是一个计算器网页.

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1、第 25炼 定积分一、基础知识1、相关术语：对于定积分bf x dxa（ 1） a,b : 称为积分上下限，其中 a b（ 2） f x ：称为被积函数（ 3） dx ：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，b2tx dx 中的被积函数为fxx2bx2tx dt 的被积函数为例如：axtx ，而af txtx22、定积分bfx dx 的几何意义：表示函数fx 与 x 轴， xa, xb 围成的面积（ x 轴a上方部分为正，x 轴下方部分为负）和，所以只有当f x 图像在a,b完全位于 x 轴上方bf xdx 才表示面积。bdx 可表示数 fx 与 x 轴， xa

2、, xb 围成的面积时，f xaa的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2 种：（ 1）微积分基本定理：如果fx 是区间a,b上的连续函数，并且F xf x，那么bf x dx F x |abF b F aa使用微积分基本定理，关键是能够找到以fx 为导函数的原函数Fx。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：f xCf

3、再调” ，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如： fxx3 ，则判断属于幂函数类型，原函数应含 x4 ，但 x4 4x3 ，而 f xx 3 ，所以原函数为 F x1x4C （C 为常数）4如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数 C， 例 如f x2 x， 则FxxCF b Fa计算时会消去C ，所2，但在使用微积分基本定理时，会发现以求定积分时，F x 不需加上常数。（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解， 则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于x 轴的下方， 则面积与所求定积分互为相反数。bx dx,b

4、x dx 存在4、定积分的运算性质：假设fgaabkfx dx kbx dx（1）faa作用：求定积分时可将f x的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解， 从而简化 f x的复杂程度bf x g x dxbf x dxb（2）ag x dxaa作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如2x2x2dx22x21 dxxdx1dx1111bfcf xdxbxdx ，其中 ac b（3）x dxfaac作用： 当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。5、若 fx 具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化

5、定积分的计算（1）若 fafx dx0a0x 为奇函数，则a（2）若 fafx dxax dx a0x 为偶函数，则fa06、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：（1）通过作图确定所求面积的区域（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数fx , g x（3）若 xa,b 时，始终有 fxgxb，则该处面积为f x g x dxa7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况（ 1）构成曲面梯形的函数发生变化（ 2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数 下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过

7、解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行拆分（2）若被积函数具备“”特征，在无法直接找到原函数时，可考虑其图像的几何意义，运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同例 2：4cos2 x（）cosxdx0sin xA.221B.2 1C. 21D.22思路：被积函数无法直接找到原函数，但是可以进行化简。fxcos2 xcos2 xsin2 xcos xsin x

：由曲线xt（t为参数）和 y x2围成的封闭图形的面积等于_5yt2思路：所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为yx2 ，作出两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为x1, x2 ，结合图象可得：Sx 2 x2 dx1 x22x1

10、，自变量的取值范围为E,F， 其 中xy2xx 2， F4,0E :，所以所求面积为yx14x121x2x42ln2Sdx2ln x 2 42x2答案： D例 8：如图所示，正弦曲线ysin x ，余弦曲线ycosx 与两直线 x0, x所围成的阴影部分的面积为（）A.1B.2C.2D.2 2思路： 观察到两部分阴影区域，函数的上下位置不同，所以考虑面积用两段定积分表示，在0,中，

11、x0sin x dxsin xcosx dx2 24答案： D小炼有话说：（ 1）在求曲线围成的面积时，可遵循被积函数始终“上下”的原则，如果函数发生变化或上下位置改变时，则可以将面积分割为若干段，分别求定积分即可（2）本题还可以采用“填补法”，观察到左边较小阴影部分与x右侧部分中心对称，所以面积相同，从而可将较小阴影部分填补至x右侧。新的阴影部分始终ysin x

: yet1（ t 为常数，且 0t1），直线 l1, l2 与函数 fx的图像围成的封闭图形如图中阴影所示，当t 变化时阴影部分的面积的最小值为_思路：可解得fx与直线 l2的交点为t ,et1 ，从而用 t 可表示出阴影部分面积： SS1S2tet1ex1dx1ex1et1dx ，化简后可0t得：tt1 ，再通过导数分析teeeS tS tS t单调性即可求出的最小值23解： fx与