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问题一：对称正定矩阵的性质

问题二：正定矩阵一定是对称矩阵吗？

这是因为矩阵的正定来自于二次型的正定
而二次型的矩阵都是对称矩阵
丹以正定矩阵是对称矩阵

问题三：举个对称正定矩阵的例子

最简单的例子：单位矩阵
单位矩阵就是对称正定矩阵。证明也很简单，
对于任一个非零向量X，都有
如果你想找一个复杂点的，那你用任意一个3阶可逆矩阵A，让它与它的转置矩阵A'相乘，得到的矩阵就是一个3阶对称正定矩阵。

问题四：正定矩阵是否一定是对称阵

不要听别人胡扯了，书上先研究二次型，二次型矩阵是对称的，然后才有正定的概念。你去翻考研的真题，或者真题解析，里面有要证明是正定的，我记得很清楚，要先证其对称性。而且解析上还特意提了一句，当年N多人没证明其对称而失分。

问题五：正定矩阵是否必为实对称阵

你回去看书，正定矩阵的定义是建立在对称矩阵的基础上的：
对称矩阵A对任意非零向量x，满足x'Ax>0，则定义A正定。
然后对称矩阵是实矩阵的时候，满足上边定义我们叫他“正定矩阵”
A=A’是复矩阵的时候，满足x'Ax>0(这里的打撇代表共轭转置，共轭用电脑不好打)，叫做“正规矩阵”。
可见大学阶段提到正定阵，都是实对称的。

问题六：对称正定矩阵的特征值问题4

对于非对称矩阵A, 其特征值可能出现虚数, 但不论如何总有

问题七：什么叫正定矩阵

设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 　　X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。 　　正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。 　　所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 　　另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 　　判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 　　判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正。 　　判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

在效率上，共轭方向法位于最速下降法和牛顿法之间。它具有特性：对于n维二次型问题，能够在n步之内得到结果；共轭梯度法不需要计算海森矩阵；不需要求逆；在二次型函数中，如果海森矩阵是正定的，可以收敛到全局最小点；非二次型问题，不保证收敛（除非离极值点较近），不保证收敛到极小值（除非使用修改的算法）。

定理：如果Q是n阶正定矩阵（自然是对称的），如果方向d⁽⁰⁾, d⁽¹⁾,... , d^(k)，k≤n-1非零，且是关于Q共轭的，那么它们线性无关；

构造n阶正定矩阵的n个共轭向量方法：利用Gram-Schmidt方法

1、n维二次型函数最小化问题

其中，Q是正定的，x是n维向量。

（1）基本的共轭方向算法

这种方法不需要预先给定Q共轭方向，而是随着迭代的进行不断产生Q共轭方向。在每次迭代中，利用上一个搜索方向和目标函数在当前迭代点的梯度向量之间的线性组合构造一个新的方向。

如果将上面的二次型函数视为某个目标函数泰勒展开式的二阶近似，就可以将共轭梯度法推广应用到一般的非线性函数。（当然应该要求展开点离函数极小点比较近，这样可以保证收敛）

 但是存在一个问题，在二次型函数中，海森矩阵Q是常数矩阵，而对于非线性函数则不一定，因此就需要在每次迭代过程中重新计算，尤其是逆矩阵，这将带来非常大的计算量。因此需要想办法避免Q的计算。从上面的算法中，可以看出f(x)的海森矩阵Q只出现在 α_k 和 β_k 的计算公式中，而 α_k 的计算可以通过一维搜索方法代替，前面的文章介绍过。因此只需要考核 β_k 的计算，

这样一方面通过搜索求解 α_k ，另一方面通过上面三个公式求解 β_k ，就避免了每次迭代中海森矩阵的计算， 只需要在每次迭代中计算目标函数值和梯度。对于二次型问题，三个公式是等价的。但是，对于目标函数为非线性函数时，三个公式并不一致。

3、停止条件： 使用前面文章中介绍的方法取代 梯度模为零， 见 

对于非二次型问题，共轭梯度法通常不会在n步之内收敛到极小点，随着迭代的进行，搜索方向将不再是Q共轭方向，因为海森矩阵不是常数矩阵，它依赖于以前的迭代，误差在不断累积。常用的解决办法是每经过几次迭代后，如n次或n+1次，重新将搜索方向初始化为目标函数梯度的负方向，然后继续搜索直至满足停止条件。另外，需要强调的是在非二次型函数最小化问题中，一维搜索中 α_k 的精度对共轭梯度法的性能很关键，如果采用了不精确的一维搜索方法，建议使用H-S公式计算 β_k 。