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按理来说很好理解啊……

首先一个不满秩的矩阵的行列式值是0，对应的n维体积也是0，所以不满秩的时候是成立的，接下来只考虑满秩的情况

首先思考一下什么叫做体积，怎么计算平行多面体的体积？基本上来说应当有两个结论：

1. 同底等高的平行多面体体积相等（依据祖暅原理）
2. 一组两两垂直向量组张成的n维长方体的体积为各条边长度的乘积

那么对于任意一组向量组张成的n维平行多面体，只要考虑将它逐步调整为各个边长互相垂直就行了。将矩阵正交化的方式很多，这里采用施密特正交化的方式，它的特点是前k个向量组成的子空间不变。对不熟悉施密特正交化的读者来说，简单来说施密特正交化就是求出第k个向量的垂直于前k-1的向量所在子空间的分量作为新的基底中的第k个向量，具体表达式可以自行查找，这里只关注这个几何意义即可。另一个需要关注的点在于施密特正交化可以完全使用第二类初等变换完成，因此不改变行列式的值。

不过，考虑行列式值时，我们反过来替换向量组中的向量， 从第n个开始，逆序替换为正交化之后的向量。注意我们每次将一个向量替换成了它到其它向量组成的n-1维超平面的法线上的投影，因此每次都将平行多面体替换成了一个同底等高的平行多面体，因此体积不变；同时，因为是做第二类初等变换，所以行列式值也不变。

全部替换完成之后，我们得到一个矩阵，它的任意两行之间是相互正交的。注意到这个矩阵和自己的转置的乘积得到一个对角阵，这个对角阵的每个对角元正好是相应向量长度的平方，行列式值也就是所有向量长度乘积的平方；而对角阵的行列式值应当是矩阵和自己转置的行列式乘积，也就是原始矩阵行列式值的平方，因此原始矩阵行列式值的绝对值就是变换后的n维长方体的体积，也就是原始平行多面体的体积。

重新回顾一下，实际上我们可以总结一下向量组张成的平行多面体体积的重要性质：

1. 同底等高体积相等，即：任意向量增加一个其它向量的线性组合的分量，体积不变
2. 体积和高成正比，即：任意向量变换为自己的a倍(a>0)，则体积也变成a倍
3. 交换任意两个向量体积不变
4. 单位边长的n维立方体体积为1，即：单位正交基按顺序组成的向量张成的体积为1

对比一下行列式的性质：

1. 任意向量增加一个其它向量的线性组合的分量，行列式值不变
2. 任意向量变换为自己的a倍，行列式值也变成a倍
3. 交换任意两个向量，行列式值变成相反数（绝对值不变）
4. 单位正交基按顺序组成的向量的行列式值为1

可以看出，行列式的绝对值的性质和体积完全相同，而这些性质唯一确定了每个矩阵的行列式值，因此行列式绝对值的确和平行多面体的体积是对应的。