二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

　　y=a(x+h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-h，k）或（h,k）对称轴为x=-h或x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

　　由一般式变为交点式的步骤：

　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　x是自变量，y是x的二次函数

　　求根的方法还有因式分解法和配方法

　　二次函数与X轴交点的情况

　　1。要理解函数的意义。

　　2。要记住函数的几个表达形式，注意区分。

　　3。一般式,顶点式,交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。

　　4。联系实际对函数图像的理解。

　　5。计算时，看图像时切记取值范围。

　　在中作出二次函数y=a(x-h)^2+k的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

　　注意：草图要有 1本身图像，旁边注明函数。

　　2画出对称轴，并注明直线X=什么

　　3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质

　　1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h

　　对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

　　特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,x )

　　当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。

　　3.a决定二次函数图像的开口方向和大小。

　　当a＞0时，二次函数图像向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　可简单记忆为，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时

　　（即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（）的

　　斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定二次函数图像与y轴交点的因素

　　5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

　　二次函数图像与y轴交于（0,k）

二次函数图像与x轴交点个数

　　6.二次函数图像与x轴交点个数

　　k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。

　　当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在x<h范围内是减函数，在

　　x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向

　　上，函数的是y>k

　　当a>0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x>h范围内事增函数，在

　　x<h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下

　　，函数的值域是y<k

　　当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数

　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，

　　正无穷）；②[t，正无穷）

　　奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 。

　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

　　Δ＞0，图象与x轴交于两点：

　　Δ＝0，图象与x轴交于一点：

　　Δ＜0，图象与x轴无交点；

　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连

　　交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。

二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　解析式 顶点坐标 对 称 轴

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；

　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)^2+k的图象；

　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x+h)^2-k的图象；在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。

　　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。

　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）

　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；

　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

　　6．用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)。

　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。

　　1．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

　　甲：对称轴是直线x=4；

　　乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

　　丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．

　　请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：　．

　　考点：二次函数y=ax^2+bx+c的求法

　　∵抛物线对称轴是直线x=4，

　　①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4-

　　∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。

　　说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。

　　2．( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。

　　(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

　　(2)第10分时，学生的接受能力是什么？

　　(3)第几分时，学生的接受能力最强？

　　考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质。

　　评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)&sup2;+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x＜13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0＜x3＜0，所以两个范围应为0＜x＜13；13＜x＜30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：

　　所以，当0＜x＜13时，学生的接受能力逐步增强。

　　当13＜x＜30时，学生的接受能力逐步下降。

　　第10分时，学生的接受能力为59。

　　(3)x=13时，y取得最大值，

　　所以，在第13分时，学生的接受能力最强。

　　3．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

　　(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

　　(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；

　　(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

　　解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为

　　(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40)元，所以月销售利润为：

　　当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为：

　　当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：

　　由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．

　　5．2006义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势，全市实现生产总值Y元，已知全市生产总值＝全市户籍人口×全市人均生产产值，设义乌市2006年户籍人口为x（人），人均生产产值为y（元）．

　　（1）求y关于x的函数关系式；

　　（2）2006年义乌市户籍人口为706 684人，求2006年义乌市人均生产产值（单位：元，结果精确到个位）：若按2006年全年美元对人民币的平均汇率计（1美元＝7.96元人民币），义乌市2006年人均生产产值是否已跨越6000美元大关？

另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所以对称轴x=1，应选A．

　　②顶点式：y=（x-h）2+k , h为顶点横坐标 k为顶点的纵坐标 将顶点和一个任意坐标带入顶点式后化简 可得解析式

　　③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) -x1 -x2为与x轴的交点横坐标 将x1 x2带入交点式 在带入任意一个坐标 可得交点式 化简后可得解析式