题目:函数傅里叶变换在物理中的应用姓名董昊煜郑意南刘书琬成梦左晏宁国志浩指导教师苏德矿教授年级大一年级第一部分函数傅里叶变换在电路通信中的应用概述:傅里叶变换是指对某一区域内(或周期函数)分段光滑的函数用正、余弦函数的线性组合来近似原函数。当组合的函数项n→∞时,便得到一组形如n=1∞ancosnπxL+bnsinnπxL的数项级数,称之为傅里叶级数。其和函数Sx满足Sx=fx-0+fx+02,fx-0和fx+0分别表示fx在x处的左、右极限,故可见当fx在x处连续时,Sx=fx。由于傅里叶变换可将一些复杂的函数表示成为某区域上的若干简单三角函数(正、余弦函数)的线性组合,使原函数简单化,故可利用傅里叶变换来处理一些复杂的函数。另外,又由于正余弦函数的奇偶性、周期性及其特殊的和差化积与函数变换特性,使得原函数经傅里叶变换后出现许多“好”的性质,便于我们更方便地研究与原函数相关的一些问题。在物理学上,傅里叶变换由于其独特的性质而成为了许多物理技术的理论根据,在如电路及通信方面有着非常广泛的应用。傅里叶级数在电信号中的应用:事实上,在物理学中,我们常见T表示一个电流或电压信号的周期,用n表示其角频率,则fx(周期为T)又可表示为:fx=a02+n=1∞ancosnωt+bnsinnωt 其中a0=2Tt0t0+Tftdt,an=2Tt0t0+Tftcos(nωt)dt,bn=2Tt0t0+Tftsin(nωt)dt;(T=2l,ω=2πT=2π2l=πl)为了便于研究,常将fx的上述傅里叶展开式写成仅含一种三角函数的形式,则由三角函数加减运算法则有:fx=a02+n=1∞an2+bn2cos(nωt+φn),其中φn=-arctanbnan;图1或者fx=a02+n=1∞an2+bn2sin(nωt+θn),其中θn=-arctananbn。一些典型电信号的傅里叶级数:周期函数矩形脉冲信号(图1):可利用傅里叶变换将周期矩形脉冲信号转换为如下形式的傅里叶变换:fx~2Ετ2Τ+2ΕτΤn=1∞SanπτΤcosnωt其中Τ为周期,τ为脉宽,Ε为脉幅。该电路信号具有如下特点:频谱离散,相邻两谱线间隔为1个ω=2πΤ;其直流分量、基波及各谐波分量、大小正比于Ε而反比于Τ;各谱线的幅度按照SanπτΤ规律而变化;且有无穷多条谱线,从而周期矩形脉冲信号可分解为无限个三角脉冲信号的线性组合。在上述例子中,我们不难发现,利用三角形式的傅里叶变换,我们将难以求得的周期矩形脉冲信号分解成了若干个余弦电信号的线性叠加。众所周知,我们日常见到的电基本都是正余弦交流电,因此,利用傅里叶展开,我们便能经过对交流电的线性组合来合成周期矩形电波,当然随n值的增加,合成波的近似度也会随之提高。理论上,当n→∞时,误差充分小,周期矩形波便可由这无限个容易获得的正弦波合成。周期锯齿波信号示波器是实验室中的常见仪器,其工作原理想必大家都不陌生:X轴方向具有扫描电压,作用是将待测电信号“拉开”以便清晰分析其特征。如图,扫描电压即为一种锯齿波电压(当从左到右扫描时,扫至最右须立即返回左侧,减少递程成像使整个图像连续不断)。扫描电压虽然也是周期电压却不能直接由直流电得到,我们仍需借助傅里叶展开来合成,类似可推导出:ft=E/π×n=1∞(-1)n+1sin(nwt)。由傅里叶展开可知,周期锯齿波状脉冲电压的信号频谱只有正弦分量,谐波幅度以1/n规律收敛。这些特征为电信号设计及分析提供了的帮助与指导。周期半波余弦信号(半波整流信号)同理,可得出半波整流信号的傅里叶展开:ft=Eπ+E2sinωt-n=1∞Eπ(1+-1n)(n2-1)cos(nwt),其图像如图。周期全波信号同理,周期全波信号的傅里叶展开为:ft=2Eπ-n=1∞4Eπ14n2-1cos(2nwt),其图像如图。以上4种电信号为物理研究中常见的周期脉冲电信号,另外还有很多脉冲信号也是利用傅里叶展开进而进行合成。可见,傅里叶级数在物理中有着广泛应用,对物理学的发展特别是通讯电信号的传递发面发挥了卓越的作用。第二部分波形的傅里叶分析与应用一、在物理中,因为波的叠加我们能够把复杂的波拆分成简单的波。傅里叶的研究告诉我们,简谐波使我们能用来构成一般波形的最简单波。任何周期波都能够表示为简谐波的叠加。像脉冲波这样的非周期波能够用傅里叶积分表示。因此任何周期运动都能够表示为简谐运动的叠加。应用举例:转载请标明出处.