第四章习题详解 下列数列是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： ； ； ； ； 。 证明： 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： ； ； ； 。 下列说法是否正确？为什么？ 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 每一个在连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数。 幂级数能否在收敛而在发散？ 求下列幂级数的收敛半径： （为正整数）； ； ； ； ； 。 如果的收敛半径为，证明的收敛半径。[提示：] 证明：如果存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径；；。 设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为。 如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛。 把下列各函数展开成的幂级数，并指出它们的收敛半径： ； ； ； ； ； ； ； 。 求下列各函数在指定点处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ，； ，； ，； ，； ；； ；。 为什么在区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？ 证明在以的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为，。[提示：在公式中，取为，在此圆上设积分变量。然后证明的积分的虚部等于零。] 下列结论是否正确？ 用长除法得 因为 所以 把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数： ，； ，，； ，，； ，； ，在以为中心的圆环域内； ，在的去心邻域内； ，，。 函数能否在圆环域展开成洛朗级数？为什么？ 如果为满足关系的实数，证明 [提示：对展开成洛朗级数，并在展开式的结果中置，再令两边的实部与实部相等，虚部与虚部相等。] 如果为正向圆周，求积分的值。设为： ； ； ； 。 试求积分的值，其中为单位圆内的任何一条不经过原点的简单闭曲线。 6