方程与曲线:1987年全国卷题21
定长为 的线段 的两端点在抛物线 上移动,记线段 的中点为 ,求点 到 轴的最短距离,并求此时点 的坐标.
基本思路是换元。由已知条件可以得出初步结论:
我们就以这个等式为骨架,经过一系列的换元操作,所上式中点 的坐标换成点 的坐标,最后就可以得出一个关于 的方程。
换元过程中所依据的公式有:
因为 的两端点在抛物线 上移动,所以:
因为线段 的长度为 , 所以:
因为点 是 中点,所以
等号成立的条件是:, 即:
综上可知:点 到 轴的最短距离为 ; 此时点 的坐标为: 或
解析几何就是用代数的方法研究几何。用换元方法解答这个高考题,代数味道极浓。
在以上解答过程中,我们有没有用到什么高深的公式和定理呢?没有。我们用到的主要公式其实就是下面这几个:
『完全平方公式的推论』
以上公式是初中数学的核心内容。假如让一个初中生来读前面的推导过程,也是可以读懂的。但是,要把这一推导过程独立地写出来,即便是高三年级的学生,恐怕也只有少数能够做到。
关于二次项的几个公式,既简单又有用。更多实例请看下文: