定积分的性质与计算方法

摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常

丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。

关键词:定积分 性质 计算方法

最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b

其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件，

()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件：

定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则

例：利用定义计算定积分1

解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了

便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i

不定积分的 概念和性质 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一 个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产 生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积 分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 最后着重系统地介绍积分方法O 最后着重系统地介绍积分方法O 原函数与不定积分的概念 基本积分公式 换元积分法分部积分法 有理函数积分 换元积分分部积分有理函数积分 会求简单无理函数的积分 基痒要疝 正确理解原函数和不定积分概念 熟记基本积分公式 熟练地运用换元积分法和分部积分法 会用待定系数法求有理函数积分 会用万能代换和三角代换求三角有理式积分 —、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间Z内，可导函数F&)的 导函数为/(x),即Vx",都有F?) = /&) ^HdF(x) = f 既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然 要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们 给出如下的结论： 原函数存在定理: 如果函数/(兀)在区间T内连续, 那么在区间Z内存在可导函数卩(兀) UVx g I,都有FF(x) = /(x). 简言之：连续函数一定有原函数. (证明待下章给出) (2)原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有 什么联系？ ①若F\x) = 解设曲线方程为y = f（x\ 根据题意知窃=2兀， dx 即/（x）>2x的一个原函数. ?? 12xdx = x2 +C,???/*（兀）=，+ f， 由曲线通过点（1, 2）=>C = 1, 所求曲线方程为丿= x2 + l. 函数八兀）的原函数的图形称为/（兀）的积 函数八兀）的原函数的图形称为/（兀）的积分曲线? ■ ■■ 显然，求不定积分得到一积分曲线族.