数电中为什么A(1+B+C)+BC =A+BC,为什么1并b并c为1？

点击联系发帖人 时间：2022-09-13 09:21

电里面S和B代表什么

数字电路基础知识——数字逻辑代数(逻辑代数公式、卡洛图的运用、Q-M法化简（列表法）)
本节主要介绍逻辑代数的公式、及逻辑函数的化简、包括公式法化简、卡洛图化简、Q-M列表法化简。重点需要知道前面两种的方法，第三种可以了解，能够帮助自己更深的了解逻辑相邻项的理解

一、逻辑代数的三个基本运算

逻辑代数中最基本的三个运算：与、或、非

二、逻辑代数的基本定律

比较重要的是后面三个定律：

乘积项

和项

× 变+

+变×

原变量变反变量，反变量变原变量

任何一个逻辑式代入原来式中所有的相同变量的位置，等式仍然成立。
若两逻辑等式相等，则他们的对偶式也相等
对偶定理主要在某些情况下，证明某式成立时，可以通过证明其对偶式成立来简化证明。

三、逻辑函数的两种标准式

n个变量的最小项是含n个变量的与项，其中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次。

如：对于下面的逻辑表达式：
n个变量的最大项是含n个变量的或项，其中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次。
最大项和最小项的性质：
n变量的全部最小项之和恒为1，全部最大项之积恒为0.
任意两个最小项之积恒为0,任意两个最大项之和恒为1.
n变量的每一个最小项或者最大项有n个相邻项（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称逻辑相邻项）

四、逻辑函数的卡洛图化简

公式法化简逻辑函数其实就是用上面的公式来化简。
主要介绍一下卡洛图化简。

首先需要知道相邻项的概念，即两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称逻辑相邻项
把任意两个逻辑上相邻的最小项变为几何中的相邻，做到逻辑相邻和几何相邻
2变量卡洛图：由代表四个最小项的四个方格组成：
三变量卡洛图由8个最小项组成，需要注意的是最小项编码和格雷码的编码类似，即相邻位置或者首尾是逻辑相邻。：
四变量如下（一般卡洛图的化简至多四-五个变量）：
逻辑函数在卡洛图的表示任何两个为一的相邻最小项可以合并为一项，并消去一个变量（消去的是互为反变量的因子，保留公因子）
任何四个为一的相邻最小项（可以是循环相邻）可以合并为一项，并消去两个变量

第一、将函数化为最小项之和的形式，然后做函数的卡洛图，确定卡洛图方格矩阵
第二、画卡洛圈（要遵循卡洛圈最少，最大的原则）
第三、写逻辑表达式（相同变量留下，不同变量去掉）

五、Q-M法化简逻辑函数（奎恩-麦克拉斯基），也叫列表化简法

卡洛图法化简虽然比较直观，简单，但是也有自身的缺点，如当逻辑变量大于五个之后，会变得很困难。
而公式法化简虽然虽然不受变量数量的影响，但是化简过程并没有固定、通用的步骤。所以也很难借助计算机辅助进行化简。
本节介绍一下Q-M法化简，本质上也是通过相邻最小项消去多余因子，来求逻辑函数的

先将函数表达式用最小项之和的形式表示：

将其按照一个个数一次排列分组，如下：即将上表中每一组的每一个最小项与相邻组所有的最小项逐一比较，若仅有一个因子不同，则可以合并，并消去不同的因子。如下，例如罪域m0和m4仅尤一位不一样，所以这一位可以合并为0-00，同时将上表中可以合并的用“对号”表示，不能合并的用Pi表示。
按照同样的方法，可以在次合并下面左边的一列，可以合并的用“对号”表示，不能合并的用Pi表示。
因此经过以上的并向合并，留下了没有合并过的最小项Pi,所以就包含了函数Y的全部最小项，因此，可以表示为：
需要注意的是上面的表达式并不一定是最简结果，将所有Pi列成如下表格。

上表格中的m5、m6、m8都是只在Pi中只出现了一次所以最小项一定包含P1和P4，所以选取了这两项之后，以及包含了m4、m5、m6、m7、m8、m10这六个，除去之后剩下的m0、m3、m11如下表所示：

现在就是化简上面的结果了，因为P2和P3都有m0,因此可以去任何一项作为最简项。
对于P5、P6、P7，由于P5和P7行的所有项均包含在P6中，因此P6包含了P5、P7的所有最小项，故将P5、P7删掉。因此最终的结果是：

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}

在关系模式R(U)中，对于U的子集X和Y，
如果X→Y，但Y 不包含于 X，则称X→Y是非平凡的函数依赖
若X→Y，但Y 包含于 X, 则称X→Y是平凡的函数依赖
（通常，我们总是讨论非平凡的函数依赖）

设K为R(U,F)中的属性或属性组合。若K -F->U，则K称为R的侯选码
若候选码多于一个，则选定其中的一个作为主码

包含在任何一个候选码中的属性，称为主属性

不包含在任何码中的属性称为非主属性或非码属性

整个属性组是码，称为全码
如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，

若R∈1NF，且每一个非主属性完全函数依赖于候选码，

若R ∈2NF，且它的任何一个非主属性都不传递地依赖于任何候选码，

关系模式R(U，F)∈1NF，若X→Y且Y包含于X时，X必含有码，
等价于：每一个决定因素都包含候选码

在关系模式SJP（S，J，P）中，S表示学生，J表示课程, P表示名次。
没有非主属性部分依赖或传递依赖于候选码
∵对F中任意一个X→Y,X都是候选码,

若X→→Y，而Z为非空集，则称X→→Y为
【非平凡】的多值依赖。

若X→→Y，而Z为空集（即U=X+Y），则称X→→Y

关系模式R(U，F)∈1NF，如果对于R的每个【非平凡】多值依赖X→→Y（Y不包含于X），
X都含有码，则R∈4NF。
存在非平凡的多值依赖C→→T， C→→B
用投影分解法把Teaching分解为如下两个关系模式：

候选码AB，非主属性C,D
∵存在非主属性对候选码的部分依赖

候选码：S#，非主属性SD,SL
∵ SL传递函数依赖于S#，
∵ 不存在SL中存在非主属性对码的部分函数依赖。

候选码：AB,AD ，非主属性C
∵ B→D,B不是候选码
∵不存在非主属性对候选码的部分或传递依赖

对于一个R（U，F），由F逻辑蕴涵的所有
函数依赖称为F的闭包，记作F+

1、只在左端出现的属性：CE，（M=CE）
2、只在右端出现的属性：ADG，（N=ADG）
3、余下的属性：B，（W=B）
4、R的候选键只可能是CE或CEB

设F和G是两个函数依赖集：
①如果F 包含于G +，则称G是F的一个

设G和F是两个函数依赖集，F与G等价的充要条件是

将较【低】等级的关系模式分解为若干个较【高】等级的关系模式过程称为模式分解。

模式分解的方法并不是唯一的。

关系模式分解的目标：【无损连接性】和【函数依赖保持性】

所谓分解的【无损连接性】：若将R（U，F）分解为K个子模式：ρ={R1（U1,F1）,R2（U2,F2）,…,Rk（Uk,Fk）},
这K个子模式进行连接运算后，还可恢复为模式R。即：对R中满足F的每一个关系r，都有

只有能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价，分解方法才有意义。

A、原先的【函数依赖关系不存在】。
B、R1XR2XR3笛卡尔积，元组增加，【不具无损连接】。

ρ2对R的分解是可恢复的，【具有无损连接性】
存在问题:SD→MN依赖关系丢失,【不具函数依赖保持性】

既【具无损连接】,又【保持函数依赖】,同时解决插入、删除、更新异常

，F4={C→B,B→A}情况下，ρ是否具有无损分解和保持
F1:是无损分解且保持FD集的分解。
F2:是无损分解，但不保持FD集的分解。B→C丢失。
F3:是有损分解，但保持FD集的分解。
F4:是有损分解且不保持FD集的分解。C→B丢失

规范化理论提供了一套模式分解算法，按这些算法可以做到：
⒈ 若要求分解具有【无损连接性】，模式分解【一定】可以达到【4NF】(在函数依赖范畴,一定可达到BCNF)。
⒉若要求分解【保持函数依赖】，模式分解【一定】可以达到【3NF】，但不一定能够达到BCNF。
⒊若要求分解既要【保持函数依赖】，又具有无损连接性，模式分解【一定】可以达到【3NF】，但不一定能够达到BCNF。

一．分解成【3NF】，并【保持函数依赖】的分解算法：
1）对R（U，F）中的F进行极小化处理。
2）找出不在F中出现的属性，形成一个关系模式。
3）对F按具有相同左部的原则分组Fk，Fk所涉及的属性集Uk，
则去掉Ui，合并Fi, Fj ，对每个Ui形成子模式Ri。

例2：关系模式R（U，F），其中F={BE→G，BD→G，CDE→AB，CD→A，CE→G，BC→A，B→D，C→D}，将R分解到3NF并具有函数依赖保持性。
1）对R（U，F）中的F进行极小化处理。Fm={B→G，CE→B，C→A，B→D，C→D}
2）找出不在Fm中出现的属性，形成一个关系模式。
3）对Fm按具有相同左部的原则分组Fk，Fk所涉及的属性集Uk，
分解成三个模式，Ri∈3NF且具有函数依赖保持性。

二.分解成【3NF】，既有【无损连接性】又【保持函数依赖性】算法
（1）调用算法一产生R的分解ρ={R1…Rn}
（2）构造分解τ={ R1，…，Rn ，RK}，其中RK是由R的一个候选键K构成的关系

三、具有无损连接性的BCNF分解算法
输入：关系模式R（U，F）
若.( ρ中存在非BCNF的关系模式 )
选一个非BCNF模式Rj∈ρ；
选Rj的一个违反BCNF要求的函数依赖X→Y【注释：X 不包含码/候选码/主键】
并用ρ2=｛Rt，Rm｝代替ρ中的Rj；
停.（ρ中不存在非BCNF的关系模式）

例：STJ（学生S，教师T，课程J）每门课程可有多位教师上课、每位教师只上一门课。
F：{（S，J）→T，（S，T）→J，T→J}
候选键：（S，J）、（S，T），
对不满足BCNF的依赖关系：T→J【注释：T 不包含码/候选码，*注意区分T 包含于码/候选码】
该分解且具有【无损连接性】。
【不保持函数依赖关系】丢失:（S，J）→T,（S，T）→J

四．具有【无损连接性】的4NF分解算法
若.(ρ中存在非4NF关系)
选择一个非4NF模式S∈ρ
选择Rj的一个违反4NF要求的多值依赖X→→Y
并用ρ2=｛Rt，Rm｝代替ρ中的Rj；
停.（ρ中不存在非4NF关系）

指出R不属于4NF，分解R使属4NF，具有无损连接性
存在非平凡的多值依赖A→→B，A→→C

问R∈？NF，将R分解到4NF且具有无损连接性。
以上子模式属4NF且具有无损连接性。

如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集。
亦称为最小依赖集或最小覆盖。
(1) F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。
(2) F中不存在这样的函数依赖X→A， X有真子集Z使得
(3) F中不存在这样的函数依赖X→A，使得

定理：每个函数依赖集合F均等价于一个最小函数依赖集合Fm

的最小函数依赖集合Fm
3）从左向右逐一检查F中的函数依赖是否多余

}

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