本节书摘来异步社区《游戏开发物理学（第2版）》一书中的第1章，第1.6节，作者： 【美】David M Bourg , Bryan Bywalec 译者： 崔力强 , 魏广程 责编： 陈冀康，更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。

1.6　质量、质心和转动惯量

物体的属性——质量（mass）、质心（center of mass）和转动惯量（moment of inertia），总体来讲被称为质量特性（mass properties）——对于研究力学来说是至关重要的，因为物体的线性运动、角运动及物体对于给定外力的响应都是质量特性的函数。因此，为了准确建模物体的运动，你需要知道或者有能力计算这些质量特性。让我们先看几个定义。

通常来讲，人们认为质量是用来衡量一个物体中含有物质的多少。从研究力学的角度来讲，也可以认为质量是用来衡量物体对于运动或者运动中的变化的阻力。因此物体的质量越大，就越难让它动起来，或者说越难改变它的运动状态。

在力学以外的术语中，质心（也被称为重心（center of gravity））是物体上的一个点，该物体的质量均匀的分布在质心的周围。在力学中，质心是这样一个点，当任何的外力施加在该点上的时候，都不会引起该物体的转动。

虽然大多数人熟悉质量（mass）和重心（center of gravity）这样的术语，但是转动惯量就没有那么熟悉了；然而在力学中，它们都是一样重要的。一个物体的转动惯量是当物体在一个坐标轴上的转动的时候，用来衡量该物体质量的放射性分布指标。质量是物体对于线性运动的阻力[1]，类比之下，可以认为转动惯量是用来衡量物体对转动的阻力的。

现在你已经知道这些属性是什么意思了，我们来看看如何计算它们。

对于由多部分组成的物体，总质量可以通过简单地把每个部分的质量加起来得到。每个部分的质量可以通过密度乘以体积得到。假设该物体的密度是统一的，那么该物体的总质量就可以简单地用密度乘以物体的总体积得到。这个可以使用下面的方程表示：

在实践中，你通常不需要做体积的积分来得到物体的质量，尤其是我们将要考虑的那些物体（例如汽车和飞机）的密度并不是均匀的。因此你可以把物体分解成为比较容易计算质量的部分，计算每个部分的质量，然后简单地把每个部分的质量加起来，从而得到总质量。

物体重心的计算更复杂点。首先，把物体分为有限个基本的质块，每个质块的中心使用参考坐标系的轴来定位，使用mi来引用这些质块。接下来取每个质块的相对于参考坐标轴的一阶距（first moment），再把它们加起来。一阶距求解方法如下：先得到沿着某个给定的坐标轴从原点到质块中心的距离，该距离与该质块质量的乘积即为一阶距。最后把所有质块的一阶距的和除以物体总质量，就可以得到该坐标轴上的物体质心的坐标。你必须对每个维度都做这样的计算，也就是说，对2D做两次计算，对3D做三次计算。下面是物体质心3D坐标的方程。

其中（x，y，z）c是物体质心的坐标，而（x，y，z）o是每个质块的质心坐标。量xodm、yodm和zodm表示质块质量dm关于坐标轴的一阶距。

这里，不用太担心这些积分方程。在实践中你只需将有限的质量相加，方程看起来会友好很多，如下所示：

注意，你可以轻易地将这些方程中的质量替换为重量，因为重力加速度g会同时出现在分子和分母中，因此会从等式中消去。记住，物体的重量就是它的质量乘以重力加速度g，g在海平面为9.8 m/s2。

计算物体总质量和离散粒子系统重心的方程可以很方便地写作向量符号形式如下：

其中mt是总质量，mi是每个系统中每个粒子的质量，CG是合并后的重心，而cgi是每个粒子在设计或参考坐标下的重心。注意CG和cgi是向量，因为它们表示笛卡尔坐标系中的位置。这样做是为了方便你能够一次处理x、y、和z（或者在二维中的x和y）。

在稍后的示例代码中，让我们假设组成物体的粒子由一种数据结构组成的数组表示，每个这种数据结构都包含对应点粒子的设计坐标和质量。这个数据结构同样会包含稍后计算的粒子相对于组合后刚体质心的坐标。

这里是示范如何计算总质量以及合并元素重心的代码：

现在解出了合并后的重心位置，你就可以计算每个粒子的相对位置如下：

为了计算转动惯量，你需要取组成物体的每个粒子对于每条坐标轴的二阶矩。之后用所得二阶矩乘以质量与距离平方的积。这个距离不是沿计算质心时的坐标轴到粒子中心的距离，而是从我们计算转动惯量相对的坐标到粒子中心的垂直距离。

三维中的任意物体如图1-2所示，当计算对于x轴的转动惯量Ixx时，距离rx将会在yz平面上，rx2=y2+z2。同样的，对于关于y轴的转动惯量 Iyy，r y2 = y2 + z2，而对于关于z轴的转动惯量Izz，r z2 = y2 + z2。

三维中相对于坐标轴的转动惯量方程为：

让我们看一眼实际中矩的更通常的情况。假设给定物体对于穿过物体质心的中性轴（neutral axis）的转动惯量为Io，而你想知道对于平行与这个中性轴但有一定距离的另一个轴的转动惯量I，你可以使用坐标变换，或者平行轴定理（parallel axis theorem）来确定对于这个新轴的转动惯量。需要使用的公式如下：

其中m是物体的质量，而d是两轴之间的垂直距离。

这里有一个重要的实用观测：新的转动惯量是两坐标轴分开距离平方的函数。这表明当Io比较小而d比较大时，你可以安全地忽略Io，因为md2项将占主导地位。当然，在这里你需要尽力判断。这个用于变换坐标轴的公式同时表明了物体的转动惯量在相对于过物体重心的轴计算时最小。物体对于任何不通过物体质心的平行轴的转动惯量将会增大md2。

在实践中，除了对密度均匀的简单形状，计算转动惯量都是一个很复杂费力的过程，因此我们通常会将物体对于一个过其质心的转动惯量使用近似物体的基础形状的公式来进行近似求解。进一步，我们会将复杂物体分成小组件，并利用某些组件的Io相对于其md2对于整个物体转动惯量的可以忽略的特性简化计算。

图1-3到图1-7展示了一些能够轻松地计算转动惯量的简单几何实体。在图题中展示了这些简单密度均匀的几何体相对于三个坐标轴的转动惯量公式。你可以轻易地在大学动力学教材中找到其他基础几何体的类似公式。

正如你所见到的，这些公式实现起来相对简单。这里用到的技巧就是将一个复杂物体分为一系列小而简单的有代表性的几何形，它们组合起来会近似于复杂物体的惯性属性。这个联系很大程度上是一种考虑期望精度水平的判断。

让我们通过一个简单的2D示例来展示如何应用本节中讨论过的公式。假设你正在编写一个自顶向下视图的自动赛车游戏，想在其中使用基于2D刚体动力学仿真汽车精灵。在游戏最开始，玩家的汽车处于起跑线，加满油并准备出发。在开始仿真之前，你需要计算初始状态时车、司机和燃料载重的质量特性。在这个例子中，物体（body）由三部分组成：车、司机和满载的燃料。之后在游戏中，物体的质量会随着燃料燃烧和司机在车祸中被甩出去变化。现在，让我们只注意图1-8所示的初始状态。

示例中每个组件的属性在表1-2中给出。注意，长延x轴测量，宽延y轴，高会向外伸出屏幕。同时注意每个组件中心坐标，即写作（x，y）形式是在全局坐标系下书写的。

我们需要计算的第一个质量特性是物体的质量。由于我们已经有了汽车和司机的重量，这个计算就很简单了。余下的燃料重量就是我们所谓唯一缺少重量分量。由于我们有了燃料的密度和油箱形状，我们可以计算出油箱体积并乘以密度和重力加速度来得到油箱中燃料的重量。得出燃料为920.6N，如下：

重力加速度（Acceleration due to gravity）是正在下落的物体向地面掉落时的加速度。一个物体的重量等于它的质量乘以重力加速度。符号g用于表示重力加速度，g在地球海平面高度的值大约是9.8 m/s2 。重量在公制系统中的单位是牛顿N。
现在，物体的总重量为：

为了得到物体的质量，你只要简单地将重量除以重力加速度。

我们需要的下一个质量特性是物体的重心位置。在这个示例中我们将会计算相对于全局坐标系原点的物体中心坐标。我们同样会将一阶矩公式应用两次，一次对于x坐标，另一次对于y坐标：

注意，我们在这些公式中使用了重量而非质量。记住，由于重量中的重力加速度是个常量，并且同时出现在分子、分母中而被消去，所以我们可以这么做。

现在到了计算物体转动惯量的时候了。在这个2D示例中计算过程足够简单，因为我们只有一个转动轴指向纸张外，因此我们只需要进行一次计算。第一步是计算每个组件相对于自己中性轴的局部转动惯量。由于我们对于每个组件几何形和质量分布信息了解是有限的，我们将会进行一个简化的近似，通过将每个组件表示为一个方柱体，因此可以应用图1-5中相应的转动惯量公式。在下列等式中，我们将会用小写的w表示宽度，以便不与它的重量混淆，我们之前用大写的W表示重量。

由于这些结果是每个组件关于它自己中性轴的转动惯量，我们现在需要用平行轴定理将这些矩转换成相对于过我们刚计算得出的物体重心的中性轴的转动惯量。

为了进行这个计算，我们必须解出从物体重心到每个组件重心的距离。从每个组件重心到物体重心的距离平方为：

现在我们可以应用平行轴定理如下：

注意计算司机和燃料的Icg时它们是如何被md2项所主导的。在这个例子中，司机和燃料的局部惯性相应的只有它们各自md2的2.7%和2.1%。

最终我们通过将每个组件贡献的Icg相加得到物体对于自己中性轴的合转动惯量如下：

表1-3展示了物体的质量特性，即车、司机和整箱燃料的总和。

清楚地理解这个例子中所展示的概念非常重要，因为当我们接下来过渡到更复杂的系统，尤其是3D中的一般运动时，这些计算只会变得更加复杂。此外，我们需要仿真的物体运动是这些质量特性的函数，其中质量将会决定这些物体会如何被力所影响，质心将会用于追踪位置，而转动惯量将会用于决定在受到不过中心的力时物体如何转动。

至此，我们已经看到了在3D空间中关于三条坐标轴的转动惯量。

但是，在一般3D刚体动力学中，即使局部坐标轴通过物体质心，物体也可能绕任意轴转动，而不是必须绕三条坐标轴之一。这种复杂性表示我们必须给物体的I添加一些项来处理一般转动。我们将会在本章的后面解决这个问题，但是在此之前我们需要详细地复习牛顿第二运动定律。

1、好运转不停，快乐笑盈盈；好运转不断，开心一线牵；好运转不完，爱情永相伴，好运转又转，幸福享无边；6月9日反转日，转动祝福，给你转转运，霉运、厄运、苦运，转一转变成好运、喜运、福运，再转出一个桃花运，愿你时来运转。

2、当水泵转动时，其离心力把液体甩出来，从而就不断地从中心吸水。

3、似乎花园里的女子那发自内心的,不加掩饰的,脆如银铃又婉转动听的笑声,有一种能荡涤人们内心一切的苦痛和积郁的神力。

4、片刻之后,他发现关碍之处,拨开附着在洞口的藤蔓,伸手一推,岩石缓缓转动,露出洞口。

5、平安夜，我想送你一辆车，快乐作里程表，随时更新。幸运做方向盘，时刻转动。车牌子就用平安吧，因为这才是我想给你的一成不变的祝福。平安夜快乐。

6、轮周叶片将空气沿着转动方向抛离轴心.

7、飞轮由电机和三角皮带驱动，飞轮积聚地能量仅在曲柄转动地小部分范围，即材料变形地时候才释放出来。

8、然而，那只被当做命运转动的轮子，真是一个奇怪的东西。木浮生

9、几个玩了一天早就饥肠辘辘的人,饿狼一样风卷残云的消灭了盘中的美味,然后相互看看别人的盘子，不约而同的都把盘子聚到正在转动烤羊的房主人面前……

10、电场使旋转器产生了扭矩，这个系统就更易顺时针转动。

11、驱动轮然后开始转动，这样既达到了平衡也有了推动力。

12、本系列发电机可与原动机直接联接或用三角皮带联接。发电机可正、反两方向转动。连续额定工作。（查字 典 h ttps://w w w 。ch azidian。com）

13、眼见就要死于非命,岳飞脑海中的念头飞速的转动起来,终于在千钧一发的当口儿想到了化解的策略。

14、大多数昆虫的拍翼运动由平动挥拍与俯仰旋转动组合而成。

15、转动惯量不是一个简单的概念.

16、画眉鸟唱着婉转动听的歌儿，在歌颂大自然的美好。

17、本文的第一部分根据刚体定点转动的理论，用复合运动法论证了正交单万向节的传动比公式。

18、虽然我的速度对于地球转动不算什么，但我会尽自己最大的努力，不输给这个世界！陈翔

19、随着地轴转动的地球不再赋课附加税之时,是为成功之时.

20、一种中心线可自动调整的转动轴机构，属于健身器材。

21、因为有你，地球才转动。

22、和B处的辊轴支承不允许沿竖直方向平动,但允许转动.

23、湖泊是金色的,他能感觉到湖泊是由意念组成,可它自己转动还好,但陆长生要想进一步的推演,就变得困难至极。

24、电刷整流子是一种铜线制造的电流接点,在线圈每转一圈时,它会使电流反转两次,造成方向相反的磁场,让马达不断转动.

25、随着转动惯量增加，调节器比例系数必须下降，以保证系统获得接近临界阻尼响应过程。

26、濡湿的长发披拂在肩上,那两排黑而长的睫毛低垂的弧线像扇子般密集着,她匆遽的抬起头,张皇的扫了宁采臣一眼,颔首行礼,眼波的转动与流盼,显现出一丝羞怯和矜持。

27、门上的手柄转动了，格洛弗小姐走了进来，她的脸色由于紧张不安而通红。

28、就在同一天,“大观览车”载着游客转动了第一圈,成为北京摩天轮的最早纪录。

29、幸福的时间摩天轮缓缓的转动着，转眼又是个周末，用手掸去身上的尘土，除去一周的疲惫与烦恼，忘记往日的忧愁，祝福爱我的你，好似摩天轮幸福快乐。

30、看着墙上的石英钟,听着摆针滴答滴答的转动着,眼前又浮现出慕容芊芊的一颦一笑。

31、仅仅是一些自行车的铃铛声和脚踏板转动的咔哒声。

32、接下来的一步便是‘玉汝于成’,这一步有一些风险,若是控制不好可能会毁了你的丹田,所以一定要用灵魂力控制好丹田的转动。

33、小虹的歌声婉转动听。

34、转动主动齿轮若干圈以校正轴承滚柱.

35、我的车太旧了,我只好转动曲柄来发动它.

36、这时聂末不得不往中间走去,很快走到了那巨大的轴旁,用手电照去,它确实是在慢慢的转动,只是那转动的幅度若不是他这般仔细看是无法看出的。

37、研究了二分量带电粒子悬浮系统的短时间平动和转动自扩散系数。

38、作用于绕定轴转动刚体上的外碰撞冲量将引起刚体角速度的突变，并引起轴承的反碰撞冲量。

39、刘致福、周盛阔、初宝杰、崔凯共同转动吉祥球,为齐鲁网理论频道启动上线。

40、把烤箱的电源接通,转动旋钮,完事大吉!

41、当人们用力使纺轮转动的时候,纺轮自身的动力,使得一堆乱麻似的纤维牵伸拉细,纺轮旋转所产生的力量,使拈细的纤维加拈而成麻绳的花状。

42、寄居蟹随意转动的眼睛似乎在捕捉每个角度的动静.

43、九大行星都自转，它们又都围着太阳按同一方向转动。

44、转动快乐的转盘，十分开心；掀起美好的窗帘，十分幸福；沏好吉祥的茶水，十分走运；发送心灵的祝福，十分真挚：十全十美日，愿你事事如意，十全十美！

45、就在气体进入发动机喷嘴，他们通过一个风扇，这样的一套涡轮叶片转动轴发动机。

46、可采用组合式法兰盘，以易脱模，可设一模具转动机构，以提高铺设玻纤布质量，并降低劳动强度。

47、副翼向相反的方向转动就会使得飞机翻滚.

48、把陀螺球绕垂直轴连续地转动。

49、水车先是慢慢转动,在不断的外力作用下,水车逐渐加快,到最后保持在一个缓慢却又稳定的匀速转动着。

50、分子因热效应而发生转动和振动.

51、善莫善于水轻与重也借势推送，柔弱莫弱于水水转动卸去了心痛，容大莫大于水将压力化清风，磨到顽石也融将恨意归空，善莫善于水水向下退了也可进柔弱莫弱于水水舞动哪里要操控，容大莫大于水山与岸被簇拥，直到顽石失踪只望见清空。

52、不久，尼摩舰长向大家宣布，螺旋桨突然被大章鱼咬住了，无法转动，如果再照这样下去，大家的生命都会有危险。所以，必须立刻出去和这些怪物展开一场生死搏斗！

53、第二空腔承接转动轴。

54、当套筒推枪管复进簧时,枪管下的铰链环又绕挂机柄稍向前转动,使枪管上抬,闭锁突笋进入套筒座凹槽,实现闭锁。

55、显然,使主键转动参数对终止速度的影响更定量化是可能的.

56、随着陶轮的转动，制陶工人缓慢挤压陶泥块，塑出优美的造型。

57、张东健，象一颗经岁月打磨的钻石，熠熠地闪烁着光芒，每当你转动一个角度，他都会显出不同于别的美丽。所以才让人百看不厌，朝思暮想。

58、慢慢儿，太阳开始变红。这时，我仿佛看见了七种颜色在不停地变幻着，太阳似乎在转动似的，一会儿青，一会儿紫，一会儿红，五光十色，美丽极了。

59、天变地变年轮在变，唯我心不变。时间的距离不能阻隔我们两个心灵之间的碰撞，即使地球不再转动，我的心依旧为你辗转不已。

60、对变速转子准稳态主动平衡系统，可按一定时间步长把变转速离散成有限个转动角速度。

61、人们说当你遇上你的挚爱时，时间会暂停。真的是这样。但人们没有告诉你，当时针再度恢复转动，它会无比飞快，让人无法赶上。

62、那种电视可了不得,头上两个大辫子,就能收到好几个台,不过美中不足的是,想要换台的话,就得转动电视上的调台旋纽,要是身体行动不便的,就只能看一个台了。

63、?贝壳看起来五色缤纷,异光转动。

64、我的世界要是没有了你我一样的可以活的很好，不是没有了你我的地球就停止转动了，而且没有你在我的世界时我的世界会比以前运行还要好。

65、童年的风车，带给我美好的时光，随着它的转动，我已经告别了那些美好的日子，但心底对儿时的怀念却是怎么转也磨灭不掉的，愿所有人都有个快乐的童年！

66、所述的一种牙齿正畸自锁托槽，包括托槽体和托槽盖，所述托槽体与托槽盖之间为可转动翻盖式卡扣连接。

67、与此同时,自大道被扰,始终干瘪欲枯的檀中穴,却倏然焕发出柔和异常的淡淡光晕,伊始,朦朦胧胧,如迷雾中的暗灯,但随着它周遭的八条悬臂,缓缓转动,光晕愈渐烁亮。

68、轴瓦盖和连杆中有轴瓦,它允许连杆内的曲柄锁自由地转动.

69、地球每天自转一圈,因此若是你在赤道上其实是以每小时1670公里的速度朝东面转,而南北极的人则是以每小时1180公里的速度转动。

70、树枝上的麻雀，转动小小的脑袋，拍打着翅膀，雨雾就顺着它的羽毛滴落，麻雀不去想今夕是何年，只知道还能站在树枝就好。

71、地球仍然转动，世界依旧善变，而我永远爱你。

72、914，音乐情人节，不送你玫瑰鲜花，只给你真心实意；不说花言巧语，只有短信表白：愿我们的爱，如一首婉转动听经久不衰的歌曲，相爱到永远！

73、时针滴答在这转动的世界，我们隔很远蜿蜒了思念，想你的每一天心更靠近一点，多感谢这些年你执着没退却，汗水眼泪都在心底沉淀，等待那一天那场化茧成蝶。宋茜

74、这人刚进来不久，他动作那么轻，因而没人听见门枢转动的声音。

75、当时她看了郭女士家进水闸是打开的,水表也在转动。

76、火车轮子转动的声音，就像雷鬼乐，让人身心放松，所以火车有可能治愈人的失眠和郁郁症。周云蓬

77、分手以后，我转过头望着窗外。心里不知道想着什么，很多片段，在疾驰的转动中慢慢浮现。

78、在练拳时，要学会很慢的向内和向外转动胳膊和手腕。

79、不一样的人，却永远相似的青春，永远相似的故事。地球不会因为任何人而停止转动，这是一句最诚实的话，也是一句最残忍的话。

80、介绍匀强磁场中非直导线平动和绕定点转动的动生电动势.

81、那一世，我转动所有经筒，不为祈福，只为转花你眼睛；那一年，我念诵佛经，不为成仙，只为骚扰你的心；感恩节，我发出短信，不只祝福，更有感谢。

82、在此基础上分析系统的转动数，发现转动数一般为无理数，只在某些特定条件下存在有理旋转数，从而系统作准周期运动或者周期运动。

83、LCD显示器用两个结实的环固定住；转轴的部分转动得相当平顺，也有适当的紧密度。

84、从刚体定点转动的动力学方程出发，推导定点转动刚体打击中心位置的普遍表达式，并通过特例加以应用。

85、凌云峰转动手中铁扇,挽了个扇花,右手高抬,“哗啦”。

86、式中9个元素称为惯性系数,分别是火箭对与箭体固连的直角坐标系各坐标轴的转动惯量和惯量积;它们随着质量的喷出而不断变化。

87、再仔细观察,风车翼也被铁丝固定住了,为了防止转动起来而造成部件损耗。

88、清洁机器人将含油的海水吸入一个圆锥体。这个旋转的椎体会带动内部液体转动，将密度较大的水释放出去，剩下的油会流入椎体核心部位。

89、时间的齿轮从未停止转动，它用一种最冷酷和理智的方式，让每个生命得以平行前进。

90、梅杰保持节奏,一下一下匀速转动小轮,银色小球呼呼滚过通道,啪啪掉进玻璃瓶,声音非常悦耳。

91、将鸡蛋放置于平面上,用手指轻轻一转,新鲜蛋转动时,蛋壳里有阻力,转两三周便停下;坏蛋则转得长且快;如蛋转得不快不慢,则证明已不够新鲜。

92、这只水轮又带动另一只轮子转动，这样就可以干很多活儿了。比如，带动两块碾石将玉米碾成碎粒。

93、人类之时间并不是循环转动的，而是直线前行。这就是为什么人类不可能幸福的缘故，幸福是对重复的渴望。米兰·昆德拉

94、在没有侧移的情况下进行身体转动,左膝的弯曲会增大,右膝的弯曲会减小.

95、既然如此,白寂下意识的铁尺刺出,想要顺着寒珑鱼的咽喉,来个开肠破肚,但铁尺刚一转动,寒珑鱼利口猛地闭合,铁尺与坚牙激撞,双双反震而开。

96、我绝对是不会输给你的，这个世界是围绕着活人转动的。

97、转动惯性：物体在绕着自己的对称轴转动时，具有保持转速和转动轴方向不变的性质。

98、在台面上涂上抛光蜡，用抛光机在台面来回转动，直到台面接驳口表面光泽度与其它处基本一致。

99、彩色绒布缝制的珍珠棉棒,按照风车转动的原理制作而成。

100、正常状态下，FPSO通过单点系泊装置长期系泊于工作海域，它随着环境载荷的作用绕单点自由转动，此时FPSO受风浪流等载荷的影响较小。

ICEM平动及转动周期性网格划分流程

ICEM 平动及旋转周期性网格生成流程（杨鹏整理）? 一、 平动周期性网格生成：? 1、 创建 parts 及定义平动周期性? ? 2、 初始化 block，雕塑块，并关联，设置节点? ? 3、 生成周期性块并生成网格（正确——周期块的同时，几何也被周期性，并且 parts 中的如 inlet 能控制所有模型的 inlet）? ? ? 4、 生成周期性块并生成网格（错误）? 直接利用 copy 块过去，关联关系不会被 copy 过去，需要重新逐一去关联，麻烦? 5、 转换网格并导出? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 二、 旋转周期性网格生成? 1、 创建 parts（非常重要???尤其是要创建 side 侧面）? ? 2、 定义旋转周期性——轴上一点、轴、旋转的角度? ?? 3、 初始化 block? ? ? ? ? 4、