中小学教育资源及组卷应用平台
1、和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标。
在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标。
解决方案：识别模型，A、若为过河问题模型，根据“异侧和最小，同侧差最大，根据问题同侧异侧相互转化”；B、若有绝对值符号或不隶属于过河问题，可将问题形式平方，构建函数，转化为求函数最值问题（若表达式中含有根式等形式，可考虑用换元法求最值）。
2、求面积最大 连接AC,在第四象限抛物线上找一点P，使得面积最大，求出P坐标。
解决方案：熟悉基本图形的面积公式【或根据拼图思想，采用割补法求面积（注意不重不漏）。】，根据问题，灵活选择面积公式，务必使表达式简单，变量的最值好求，讲变量的最值问题转化为：”定值+变量的最值“
3、讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，求出P坐标。
或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．
解决方案：此类问题是分类讨论思想能力的考察，由于直角三角形的”直角边“”和“斜边”不确定而展开讨论。在不忘三角形满足三边关系的条件下，勿忘“等腰直角三角形”。
4、讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形，求出P坐标。
解决方案：分析同上4，在能组成△的大前提下，根据谁作为腰，谁作为底边展开讨论。
5、讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标。
解决方案：从平行四边形的性质入手，已知三点求另外一点，分析其位置情况（分别以3点中任一已知两点的线段为平行四边形的边或其对角线来展开所有的情况的讨论）。
6、相似三角形 问抛物线上是否存在一动点D，使得△ABD∽△ABC。
解决方案：从边的关系找相似（勿忘全等△）或从角的关系找相似，建立数量关系，解方程并验证是否合符题意。
7、与圆有关的问题 关系：由不在同一直线上的三点可确定唯一一个圆（三角形外接圆）且在直角坐标系中，三个不同的点可确定一条唯一的抛物线】：判断点与圆的位置关系；判断圆与直线的位置关系；判断圆与圆的位置关系；
解决方案：抓住圆的必要条件：圆心和半径，根据圆的性质，涉及到根与系数的关系（中点问题--->圆心有关）。
A、直线和圆的位置关系
五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)
1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A(3，﹣3)，F(1，)是该抛物线对称轴上的一个定点，过y轴上的点B(0，)作y轴的垂线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P(m，n)是抛物线上的任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M．求证：点P在线段FM的垂直平分线上；
（3）点E为线段OA的中点，在抛物线上是否存在点Q，使QEF周长最小？若存在，求点Q的坐标和QEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
2．如图1，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+c与x轴交于A，B两点，且AB＝4．
（1）求c的值及抛物线顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当cos（∠CAO+∠CDO）＝时，求点D的坐标；
（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，设△ABP和△AEN的面积分别为m、n，求m+n的最大值．
3．如图，已知抛物线与关于轴对称，且与轴交于点，与轴交于点A，．
（1）求出的解析式，并试猜想出与一般形式的二次函数关于轴对称的二次函数的解析式（不要求证明）；
（2）若的中点是点，求的值；
（3）若过点的一条直线与的图象交于另一点，且满足，（为常数）求点的坐标．
4．抛物线与轴交于点A、B，且．
（1）当，若，求函数解析式；
（2）在（1）的条件下求的最小值；
（3）若AB的中点坐标为，且，设此抛物线顶点为P，交y轴于点D，延长PD交x轴于E，点O为坐标原点，令△DEO的面积为，求的取值范围．
5．如图，抛物线：经过点，与轴交于点，顶点为点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．
（1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
（2）点在直线：上，点为抛物线上一点，设点的横坐标为（），连接并延长，交抛物线于点，交直线于点．若，求的值；
（3）在（2）的条件下，是否在抛物线存在点，在抛物线存在点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴的一个交点是A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线C1的函数表达式；
（2）已知点D是第一象限内一点，且△ACD是以AC为直角边的等腰直角三角形，则点D坐标为　　；
（3）在直线AC左侧有一点M，将抛物线C1的图象绕点M旋转180°得到抛物线C2，其中点A、C的对应点分别是A'、C'，若以A、C、A'、C'为顶点的四边形是正方形，求点M的坐标并直接写出抛物线C2的表达式．
7．如图1，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A、B，OB＝3OA＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（3）如图2，直线l与抛物线有且只有一个公共点E，l与抛物线对称轴交于点F，若点E的横坐标为2，求△AEF的面积；
（2）如图3，直线y＝kx＋n与抛物线交于点C、D，若△ACD的内心落在x轴上，求n的取值范围．
8．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线与轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)．当以为直径的⊙E与直线相切于点Q时，请求出此时的值．
新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．
新知识：对于直线和．若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则．
（1）若抛物线的“友好抛物线”为．则h，k的值分别是 ；
（2）若抛物线与互为“友好抛物线”．则b与n的数量关系为 ，c与q的数量关系为 ．
（3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长；
10．如图所示，抛物线经过点，点，与轴交于点，连接，．点是线段上不与点、重合的点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为点．设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
（3）试探究是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线与x轴交于点和两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点M为抛物线第二象限上一点，连接交线段于点D，与的面积比为．
②过点D作直线轴，点E是直线l上的点，点F是抛物线上一动点，是否存在这样的E、F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E，F的坐标：若不存在，请说明理由．
12．已知抛物线经过点，与轴交于，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，为抛物线上，之间的动点，过点作轴于点，于点，求的最大值；
（3）如图2，平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，连接，分别交抛物线于另一点，，求证：直线经过一个定点．
13．定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．
（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．
（1）求直线的解析式；
（2）过点作交抛物线于，连接，，，，记四边形的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标和的最大值；
（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点，为平移后的抛物线的对称轴直线上一动点，将线段沿直线平移，平移后的线段记为（线段始终在直线左侧），是否存在以，，为顶点的等腰直角？若存在，请写出满足要求的所有点的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．
15．学习函数时，我们经历了“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程．以下是我们研究关于x的函数的性质及其应用的部分过程，请你按要求完成下列问题：
（1）列表：y与x的几组对应值列表如下：
根据表中的数据求m，n的值；
（2）描点，连线：在如图所示的平面直角坐标系中，根据上表中的数据补全该函数图象，并写出该函数的一条性质：　　；
（3）画出函数y2＝﹣x＋5的图象，并结合图象直接写出：当y1≥y2时，自变量x的取值范围是　　．
16．如图，抛物线与直线交于，两点，直线：交轴于点．点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标．
（3）①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以，，，为顶点的四边形是矩形？求出此时点，的坐标．
②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最大值．
17．已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴于A，B，交y轴于C，连接AC、BC，tan∠ABC=．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线向左平移m个单位，使抛物线与△ABC的边有且只有一个交点，求m的值；
(3)点M是位于直线BC上方抛物线上一点，连接MC，MB
① 若满足（k为常数）的点M有且只有一个，求点M的坐标；
② 在①的条件下，以M为圆心的圆与y轴相切，过上一点E，作直线BC的垂线，垂足为G，与x轴于点F，当的值最小时，求E点坐标．
18．如图坐标系中，矩形ABCD的边BC在 y轴上，B（0，8），BC＝10，CD＝5，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转使点C落在x轴上．现已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点D、C′和原点O．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将矩形A′BC′D′沿直线BC′翻折，点A′的对应点为M，请判断点M是否在所给抛物线上，并简述理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使∠POC′＝2∠CBD，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和．
（1）求的值，并用含的代数式表示．
①求此函数的表达式，并写出当时，的最大值和最小值．
②如图：抛物线与轴的左侧交点为，作直线，为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，作于点．是否存在点使的周长最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若线段的端点、的坐标分别为、，此二次函数的图象与线段只有一个公共点，求出的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是线段BC上一动点，点D关于AC、AB的对称点分别为点M、N，连接MN交线段AC、AB于E、F．求MF NE最小值；
（3）点J是抛物线顶点，连接JC、JA，点H为抛物线对称轴上一动点，设纵坐标为m，过点H的直线交边CJ于P，交边JA于Q，若对于每个确定的m值，有且只有一个△JQP与△JCA相似，请直接写出m的取值范围．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点(A左B右)，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第一象限抛物线上一点，射线交y轴正半轴于点N，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数解析式；
(3)在(2)的条件下，过点P作轴于点F，过点F作直线于点D，过点A作轴交直线于点H，连接交x轴于点E，点G为线段上一点，连接交y轴于点K，点M为延长线上一点,连接，延长交于点R，若，求K点的坐标．
22．如图1，一次函数y=-x-3的图像与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线y=ax +bx+c与x轴交于另一点B（1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，若点D为BC的中点．
①求直线AD的表达式；
②以AC为直径作⊙M交直线AD于点N，求点N的坐标；
（3）如图3，若点E为AB的中点，点F为抛物线上一点，直线EF与AC所夹锐角为α，且tanα=，求点F的坐标（直接写出坐标）．
21世纪教育网 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
" 21世纪教育网()中小学教育资源及组卷应用平台
1、和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标。
在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标。
解决方案：识别模型，A、若为过河问题模型，根据“异侧和最小，同侧差最大，根据问题同侧异侧相互转化”；B、若有绝对值符号或不隶属于过河问题，可将问题形式平方，构建函数，转化为求函数最值问题（若表达式中含有根式等形式，可考虑用换元法求最值）。
2、求面积最大 连接AC,在第四象限抛物线上找一点P，使得面积最大，求出P坐标。
解决方案：熟悉基本图形的面积公式【或根据拼图思想，采用割补法求面积（注意不重不漏）。】，根据问题，灵活选择面积公式，务必使表达式简单，变量的最值好求，讲变量的最值问题转化为：”定值+变量的最值“
3、讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，求出P坐标。
或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．
解决方案：此类问题是分类讨论思想能力的考察，由于直角三角形的”直角边“”和“斜边”不确定而展开讨论。在不忘三角形满足三边关系的条件下，勿忘“等腰直角三角形”。
4、讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形，求出P坐标。
解决方案：分析同上4，在能组成△的大前提下，根据谁作为腰，谁作为底边展开讨论。
5、讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标。
解决方案：从平行四边形的性质入手，已知三点求另外一点，分析其位置情况（分别以3点中任一已知两点的线段为平行四边形的边或其对角线来展开所有的情况的讨论）。
6、相似三角形 问抛物线上是否存在一动点D，使得△ABD∽△ABC。
解决方案：从边的关系找相似（勿忘全等△）或从角的关系找相似，建立数量关系，解方程并验证是否合符题意。
7、与圆有关的问题 关系：由不在同一直线上的三点可确定唯一一个圆（三角形外接圆）且在直角坐标系中，三个不同的点可确定一条唯一的抛物线】：判断点与圆的位置关系；判断圆与直线的位置关系；判断圆与圆的位置关系；
解决方案：抓住圆的必要条件：圆心和半径，根据圆的性质，涉及到根与系数的关系（中点问题--->圆心有关）。
A、直线和圆的位置关系
五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)
1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A(3，﹣3)，F(1，)是该抛物线对称轴上的一个定点，过y轴上的点B(0，)作y轴的垂线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P(m，n)是抛物线上的任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M．求证：点P在线段FM的垂直平分线上；
（3）点E为线段OA的中点，在抛物线上是否存在点Q，使QEF周长最小？若存在，求点Q的坐标和QEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x；（2）见解析；（3）存在，QEF周长的最小值为，Q．
（1）将原点O与点A（3，﹣3）、对称轴为直线x＝1，直接代入y＝ax2+bx+c中即可解题；
（2）设P（m，﹣m2+2m），表示出PM2＝（m2﹣2m+）2，PF2＝（m﹣1）2+（m2﹣2m+）2，将m﹣1看成整体，进行变形即可解题；
（3）借助（2）中结论，将周长最小转化为只要使EQ+QN最小，最终通过垂线段最短来解决问题．
解：（1）∵y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A（3，﹣3），
∵对称轴为：直线x＝1，
∴抛物线y＝﹣x2+2x，
∴点P在MF的垂直平分线上，
（3）如图，为的中点，
作QN⊥l于N，由（2）知：QN＝QF，
∴要想△QEF的周长最小，只要使EQ+QN最小，
作EN'⊥l于N'，交抛物线于Q'，
∴E、Q、N三点共线时，EQ+QN最小，
∴QEF周长的最小值为，此时Q．
本题考查二次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式、线段垂直平分线的判定、线段和最小问题，涉及整体思想，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
2．如图1，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+c与x轴交于A，B两点，且AB＝4．
（1）求c的值及抛物线顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当cos（∠CAO+∠CDO）＝时，求点D的坐标；
（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，设△ABP和△AEN的面积分别为m、n，求m+n的最大值．
【答案】（1）c=3，C（-1，4）；（2）（-19，0）或（17，0）；（3）
（1）用待定系数法即可求解；
（2）设抛物线对称轴与轴交于点，在中，可求得，推出，可证，利用相似三角形的性质可求出的长度，进一步可求出点的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；
解：（1）抛物线的对称轴为直线，而，
则点、的坐标分别为、，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
设抛物线对称轴与轴交于点，则，
如图1，当点在对称轴左侧时，
当点在对称轴右侧时，点关于直线的对称点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，用函数思想求极值等，解题关键是能够设出点坐标，求出含参数的直线的解析式，进一步表示出点坐标．
3．如图，已知抛物线与关于轴对称，且与轴交于点，与轴交于点A，．
（1）求出的解析式，并试猜想出与一般形式的二次函数关于轴对称的二次函数的解析式（不要求证明）；
（2）若的中点是点，求的值；
（3）若过点的一条直线与的图象交于另一点，且满足，（为常数）求点的坐标．
【答案】（1）所求二次函数的解析式为，关于轴对称的二次函数的解析式为；（2）；（3）点的坐标为或
（1）根据二次函数的性质，计算得的顶点坐标为；再根据轴对称的性质，得的顶点坐标为；设抛物线为：，结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到a，从而得到答案；根据上述求解结论，从而得与二次函数关于轴对称的二次函数的解析式；
（2）过点作于点，通过求解一元二次方程，得，，从而得，；再根据直角等腰三角形性质，推导得，是等腰直角三角形，根据勾股定理、三角函数的性质计算，即可得到答案；
（3）设过点的直线为，通过求解一元二次方程，得，；再通过求解一元二次方程，得k的值；再结合一元二次方程根与系数关系的性质，通过计算即可得到答案．
猜想：与一般形式的二次函数关于轴对称的二次函数的解析式为；
（2）如图，过点作于点．
∴抛物线与轴的交点为，，
∴，是等腰直角三角形，
（3）设过点的直线为，
根据题意可知，，是方程的两个根，
本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、等腰直角三角形、三角函数、轴对称、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程、三角函数、轴对称的性质，从而完成求解．
4．抛物线与轴交于点A、B，且．
（1）当，若，求函数解析式；
（2）在（1）的条件下求的最小值；
（3）若AB的中点坐标为，且，设此抛物线顶点为P，交y轴于点D，延长PD交x轴于E，点O为坐标原点，令△DEO的面积为，求的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）
（1）把代入得，结合，则可求出的值，从而求得解析式；
（2）根据（1）所求的解析式结合二次函数的性质回答即可；
（3）设抛物线顶点P为,根据抛物线对称轴以及的中点坐标可得，设直线为：，根据P、D两点的坐标求出直线的解析式，从而得到点E的坐标，运用三角形面积公式代入数据结合二次函数的性质解题即可．
∴抛物线的解析式为：；
（3）设抛物线顶点P为，
∵点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与x轴的交点为，
当时，最小，最小值为：，
当时，最大，最大值为：5，
本题考查了二次函数与一次函数综合的综合题，熟练掌握二次函数图像上点的特征，和二次函数的性质，会利用待定系数法求函数解析式，运用数形结合的思想解题．
5．如图，抛物线：经过点，与轴交于点，顶点为点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．
（1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
（2）点在直线：上，点为抛物线上一点，设点的横坐标为（），连接并延长，交抛物线于点，交直线于点．若，求的值；
（3）在（2）的条件下，是否在抛物线存在点，在抛物线存在点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）存在三个点
（1）将点代入解析式，即可求得抛物线的解析式，化为顶点式即可求得顶点；
（2）根据题意，关于原点中心对称，设，求得直线的解析式，联立直线的解析式求得的坐标，根据，则，则为的中点，根据中点坐标即可求得；
（3）根据矩形的性质，利用列方程求解即可．
（1）将点代入解析式，得：
（2）点为抛物线上一点，设点的横坐标为（），
抛物线与抛物线关于中心对称，直线关于中心对称
抛物线与抛物线关于中心对称，顶点，
以，，，为顶点的四边形为矩形
本题考查了中心对称的性质，二次函数的性质，顶点坐标，一次函数的综合问题，矩形的性质，中点坐标公式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴的一个交点是A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线C1的函数表达式；
（2）已知点D是第一象限内一点，且△ACD是以AC为直角边的等腰直角三角形，则点D坐标为　　；
（3）在直线AC左侧有一点M，将抛物线C1的图象绕点M旋转180°得到抛物线C2，其中点A、C的对应点分别是A'、C'，若以A、C、A'、C'为顶点的四边形是正方形，求点M的坐标并直接写出抛物线C2的表达式．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）（2，1）；（3）点M（﹣2，﹣2），y＝﹣x2﹣10x﹣25．
（1）用待定系数法即可；
（2）分两种情况考虑，证明三角形全等即可解决；
（3）由全等三角形的性质可求得点M的坐标，即可求得点A'、C'的坐标，利用待定系数法可求解．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，当∠DAC＝90°时，过点D作DE⊥x轴于E，
∵点A（﹣1，0），点C（0，﹣3），
∴点D'（3，﹣2），
∵点D是第一象限内一点，
（3）如图2，过点C'作C'F⊥x轴于F，
∵四边形A'C'AC是正方形，
∴点C'坐标为（﹣4，﹣1），
∴点M（﹣2，﹣2），
∴点A'（﹣3，﹣4），
∵将抛物线C1的图象绕点M旋转180°得到抛物线C2，
∴设抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+mx+n，
∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣10x﹣25．
本题是二次函数的综合，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些知识是解决问题的关键．
7．如图1，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A、B，OB＝3OA＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（3）如图2，直线l与抛物线有且只有一个公共点E，l与抛物线对称轴交于点F，若点E的横坐标为2，求△AEF的面积；
（2）如图3，直线y＝kx＋n与抛物线交于点C、D，若△ACD的内心落在x轴上，求n的取值范围．
【答案】（1）y＝x2－2x－3；（2）；（3）－12＜n＜4
（1）由OB＝3OA＝3，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴上，得出点A,B的坐标，代入解析式解出即可；
（2）首先求出点E的坐标，再求出直线AE的解析式，由直线AE的解析式得出点P的坐标，再将点E的坐标代入直线l的解析式，与抛物线解析式联立，由直线l与抛物线只有一个交点，即可求出直线l的解析式，求出点F的坐标，即可求出面积；
（3）过C作CG⊥x轴，交x轴于点G，过D作DH⊥x轴，交x轴于点H，由△ACD的内心落在x轴上，可得，即可证明△CAG∽△DAH，则,设C(t，t2－2t－3)，D(d，d2－2d－3)，代入比例式化简可得t＋d＝6，再将C,D两点的坐标代入抛物线的解析式，求出k，将直线y＝4x＋n与抛物线解析式联立，根据直线与抛物线有两个不同的交点得出，再根据点A在直线CD的上方，即可求出n的取值范围．
解：（1）∵OB＝3OA＝3，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴上，
（2）设直线l的解析式为y＝mx＋p，直线AE与抛物线对称轴的交点为P，
∵点E的横坐标为2，且E在抛物线y＝x2－2x－3上，
∴直线AE的解析式为y＝－x－1，
把E(2，－3)代入y＝mx＋p，得：－3＝2m＋p，
∵直线l与抛物线有且只有一个公共点E，
（3）过C作CG⊥x轴，交x轴于点G，过D作DH⊥x轴，交x轴于点H，
∵△ACD的内心落在x轴上，
∴AG平分∠CAD，点C，D在x轴两侧，
∵直线y＝4x＋n与抛物线y＝x2－2x－3有两个交点，
∵点C，D在x轴两侧，
∴点A在直线CD的上方，
本题是二次函数综合题，主要考查求二次函数解析式，求三角形面积，几何问题与二次函数，解题关键是熟练掌握二次函数的性质与灵活应用数形结合，将特殊的几何关系转化为等量关系．
8．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线与轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)．当以为直径的⊙E与直线相切于点Q时，请求出此时的值．
【答案】（1）；（2）的最大值为，此时；（3）
（1）将分别代入抛物线和直线的解析式，联立解方程组即可；
（2）过点P作//y轴，交AB于点M，因为在抛物线上，设点，则，根据，求得关于的二次函数式，利用配方法求得最值和的坐标；
（3）如图2，以为直径的圆于相切与点，根据已知条件分别求得的坐标，进而求得的长度，根据△FOH∽△EQH，求得,再根据在在Rt△EQH中根据勾股定理列方程求得
解：（1）当时，抛物线的解析式为：，直线的解析式为：
（2）如图1，过点P作//y轴，交AB于点M
（3）如图2，以为直径的圆于相切与点，
设直线与，轴交于H点和F点
本题考查了抛物线的图像与性质，一次函数的图像与性质，圆的基本性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等知识点，综合运用以上知识是解题的关键．
新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．
新知识：对于直线和．若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则．
（1）若抛物线的“友好抛物线”为．则h，k的值分别是 ；
（2）若抛物线与互为“友好抛物线”．则b与n的数量关系为 ，c与q的数量关系为 ．
（3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长；
【答案】（1）3，；（2），；（3）
（1）根据题目中的新定义可知“友好抛物线”关于坐标原点对称，根据关于坐标原点对称的抛物线的特征即可得出答案；
（2）根据互为友好抛物线”的图像关于坐标原点对称即可得出答案；
（3）由（2）的规律易得的解析式，由、的解析式先求出E、F点的坐标，进而可得直线EF的解析式，当四边形AFDE为菱形时，EF⊥AD，直线AD经过原点O，则可求得AD解析式，设点A（x1,2x1），点B（x2,2x2），进而根据根与系数的关系以及两点间距离公式即可求解．
解：（1）由题意可知“友好抛物线”的图像关于坐标原点对称，
∴和的顶点坐标关于原点对称，
又∵的顶点为（-3,1），
∴的顶点为（3,-1），
（2）∵和图像关于坐标原点对称，
关于原点对称可得抛物线的对称轴为：，
∵抛物线经过定点（0，c），
（0，c）关于原点的对称点为（0，-c），
抛物线经过定点（0，q），
（3）由（2）结论可得： ，
设直线EF的解析式为，
将点E代入可得直线EF的解析式为.
∵四边形AFDE为菱形时，，
所以直线AD的解析式为，
本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及两点间距离公式是解题的关键．
10．如图所示，抛物线经过点，点，与轴交于点，连接，．点是线段上不与点、重合的点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为点．设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
（3）试探究是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），时，最大值为；（3）存在，点的坐标为或或
（1）运用待定系数法将点A、B的坐标代入函数解析式即可得结果；
（2）运用待定系数法求出直线BC的解析式，设，则点，点，用含m的式子表示DF的长，根据二次函数的性质解答即可；
（3）分三种情况讨论点E的坐标，①当时，根据，求出m的值，即可求得E点的坐标；②当时，连接AE，根据可求出m的值，进一步可求点E的坐标；③当时，，求出m的值即可求得点E的坐标．
解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点，
综上，点的坐标为或或．
本题考查二次函数综合问题，涉及到待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，解题的关键是明确题意，运用数形结合的思想解题．
11．如图，已知抛物线与x轴交于点和两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点M为抛物线第二象限上一点，连接交线段于点D，与的面积比为．
②过点D作直线轴，点E是直线l上的点，点F是抛物线上一动点，是否存在这样的E、F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E，F的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②存在点E、F使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，；；．
（1）把和两点坐标代入，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①求出OD解析式，联立一次函数和二次函数解析式，求出交点即可；
②使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，分类讨论：1）当为对角线时，2）当为边，、为对角线时，3）当为边，、为对角线时，根据已知求出E，F即可；
解：（1）∵抛物线经过点，
（2）①由抛物线解析式得，
如图，设直线l与x轴交于点P，
解得（舍去第四象限的解），
1）如图，当为对角线时，
2）如图，当为边，、为对角线时，
3）如图，当为边，、为对角线时，
综上所述，存在点E、F使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，；；．
本题是二次函数综合题，主要考查用待定系数法求二次函数解析式、一次函数的性质等、平行四边形的性质和判断，图形与坐标特点等知识，综合性比较强，有一定难度，学会构建方程是本题的关键，另外第三问中正确画出图象也是解决问题的关键．
12．已知抛物线经过点，与轴交于，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，为抛物线上，之间的动点，过点作轴于点，于点，求的最大值；
（3）如图2，平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，连接，分别交抛物线于另一点，，求证：直线经过一个定点．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
（1）用待定系数法即可求解；
（2）设直线交于点，，则有，，，配方利用二次函数求最值方法即可求解；
（3）设，联立得，，求出，同理可得，联立得，得到，进而求解即可．
解：（1）由题意得：，解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）设直线交于点，如图1，
由点的坐标知，直线的表达式为：，
则，则，E(t，0)，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）如图2，∵平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线，
本题考查待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形性质、解直角三角形、求二次函数的最值、二次函数图象的平移性质、二次函数图象与一次函数交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，解答的关键是利用数形结合思想将代数和几何结合，根据坐标与图形性质得出线段间的关系解决问题．
13．定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．
（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）．
（1）根据“N”函数的定义即可求得答案；
（2）根据中心对称的性质可得的图像与的图像只有一个交点，
由此联立方程即可求得答案；
（3）先根据中心对称的性质求得点B的坐标，进而可分别表示出y1与y2的函数关系式，以及点C的坐标，再根据为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方程求解即可．
∴的“N”函数的表达式为；
∴与关于原点成中心对称，
又∵正比例函数的图像也是关于原点成中心对称，且题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，
∴的图像与的图像只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
（3）由（2）可知，若二次函数y1与y2互为“N”函数，
则二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称，
∵A、B分别是“N”函数y1与y2的图像的顶点，点，
∴点，点O为AB的中点，
∵C是“N”函数与y轴正半轴的交点，
∴若为直角三角形，则∠ACB＝90°或∠BAC＝90°，
又∵点O为AB的中点，
∴点C的坐标为（0，），
当∠BAC＝90°时，则，
∴点C的坐标为（0，5），
综上所述：点C的坐标为（0，）或（0，5）．
本题考查了二次函数的图像性质，理解题意，能够发现二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称是解决本题的关键．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．
（1）求直线的解析式；
（2）过点作交抛物线于，连接，，，，记四边形的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标和的最大值；
（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点，为平移后的抛物线的对称轴直线上一动点，将线段沿直线平移，平移后的线段记为（线段始终在直线左侧），是否存在以，，为顶点的等腰直角？若存在，请写出满足要求的所有点的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x＋2；（2）S1 S2的最大值为，此时，点P的坐标为（，）；存在点G1（2，1），G2（2， ），G3（2， ），使得以A'，C'，G为顶点的等腰直角△A'C'G．
（1）令二次函数x＝0，y＝0，求出A、B、C的坐标，再求直线BC的解析式；
（2）不能用常规的底和高，借助切割法求面积，再求出最大面积差和点P的坐标；
（3）等腰直角三角形可以利用“两圆一中垂”确定所有的情况，利用“K型全等”求出对应的点G的坐标．
∴A（ 1，0），B（3，0），
设直线BC的解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
把点C（0，2），B（3，0）代入得：，解得：．
∴直线BC的解析式为：y＝x＋2；
（2）∵AD∥BC，直线BC的解析式为：y＝x＋2．
设AD的解析式为，y＝x＋m，
把点A（ 1，0）代入得：×( 1)＋m＝0，
∴AD的解析式为：y＝x
∴直线CD的解析式为：y＝ x＋2，
当y＝0时， x＋2＝0，解得：x＝，
记直线CD与x轴交于点N，则： N（，0），BN＝3 ＝ 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

第1篇：初三数学单元练习测试题大全

一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)

3.点a、b、c在⊙o上，若∠c=35°，则的度数为()

6.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒。当你抬头看信号灯时，看到黄灯的概率是()

8.小正方形的边长为1，三角形(*影部分)与△abc相似的是()

9.四个*影三角形中,面积相等的是()

①两个函数图象的交点坐标

第2篇：初三数学单元练习测试题

一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)

3.点a、b、c在⊙o上，若c=35，则的度数为()

6.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒。当你抬头看信号灯时，看到黄灯的概率是()

8.小正方形的边长为1，三角形(*影部分)与△abc相似的是()

9.四个*影三角形中,面积相等的是()

①两个函数图象的交点坐标为a(2，2);②当x2时，y1③

第3篇：五年级数学下册第三单元测试练习题

1.长方体和正方体都有()面，()条棱，()个顶点

2.正方体的六个面都是()，每条棱长都()。正方体是一种特殊的()

3.生活中常用的容积单位是()和()

4.在括号里填上合适的数

5.在括号里填上适当的单位名称

(1)一个油箱的体积是()

(2)一间教室的空间大小约是220()

(3)一瓶墨水的容积是50()

(4)一本数学书和体积约是230()

6.有一个长方体，长、宽、高分别是10cm，5cm，6cm，它的棱长和是()cm

7.一个正方体的棱长是2cm,它的棱长和是()cm，表面积是()cm，体积是()cm

8.一个长方体的长是5cm，宽是3cm，高是4cm，它的上下两个面的面积是()cm，前后每个面的面积是()cm，左右每个面的面积是()cm，表面积是()体积是()cm

9.一根长方体木料的体积是6400cm底面积是64cm，高是()cm

10.有一块长方体大蛋糕长3dm，宽3dm，高2dm。把它切成体积为1dm的小方块，可以切成()块

11.用一根12dm长的铁丝围成一个最大的正方体形状的框架，这个正方体的体积是()dm

12.在括号里填上或=

第4篇：初一历史试题第三单元测试题练习

一、单项选择(40分)下列说法只有一项是正确的，请将字母填在括号里

1.秦统一全国的时间是()

2.秦统一后建立的*集权体制中，协助皇帝处理全国政务的是()

3.秦始皇时开凿的连接我国长*水系和珠*水系的渠道是()

4.秦朝时官方统一使用的文字是()

5.贾谊在《过秦论》一文中写道：“却匈奴七百余里，胡人不敢南下而牧马。”这是由于下列哪一次*事行动造成的?()

a.蒙恬率*出击匈奴b.卫青、霍去病出击匈奴

c.窦宪率*出击匈奴d.窦固率*出击匈奴

6.右图是水排模型，其用途是()

a.水上运输b.引水灌溉c.排水防涝d.鼓风冶铁

7.发生在西汉时期的历史事件是()

a.班超经营西域b.张骞出使西域

c.甘英出使大秦d.大秦遣使来汉

8.东汉名医张仲景对中医发展的最大贡献是()

a.开创了“四诊法”b.创制了“麻沸散”“五禽戏”

c.最早采用分科治病法d.奠定了中医治疗学的基础

9.西汉时用于播种的工具是()

10.丝绸之路从长安出发后，所经地点的先后顺序是()

①河西走廊②安息③今新疆境内④大秦a.

第5篇：六年级数学分数乘法单元测试练习题

6、边长2(1)分米的正方形的周长是()分米。

7、六(1)班有50人，女生占全班人数的5(2)，女生有()人，男生有()。

8、看一本书，每天看全书的9(1)，3天看了全书的()。

1、小羊只数是大羊只数的8(3)，()是单位1。

a、小羊b、大羊c、无法确定

2、()的倒数一定大于1

第6篇：七年级数学代数式单元测试练习题

第7篇：初一数学家庭作业—整式的运算单元测试练习题

1、下列判断中不正确的是()

①单项式m的次数是0②单项式y的系数是1

③，-2a都是单项式④+1是二次三项式

2、如果一个多项式的次数是6次，那么这个多项式任何一项的次数()

a、都小于6b、都等于6

c、都不小于6d、都不大于6

3、下列各式中，运算正确的是()

4、下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的有()

5、在代数式中，下列结论正确的是()

a、有3个单项式，2个多项式

b、有4个单项式，2个多项式

c、有5个单项式，3个多项式

6、关于计算正确的是()

7、多项式中，最高次项的系数和常数项分别为()

8、若关于的积中常数项为14，则的值为()

9、已知，则的值是()

10、若，则的值为()

第8篇：初二数学上册第四单元检测试练习题(人教版)

一、选择题：(每小题3分，共30分)

1.下列计算中正确的是().

3.下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有().

5.下列各式是完全平方式的是().

6.下列各式中能用平方差公式是()

10.下列各式从左到右的变形，正确的是().

第9篇：初三上册单元测试练习

Ⅰ.选出划线部分发音不同的单词(8％)

Ⅱ.英汉互译(17％)

第10篇：五年级数学下册第二单元测试练习题

一、填空题(每空1分，共35分)

1、3和90这两个数，()是()的倍数，()是()的因数。

2、6的倍数中，最小倍数是()，100以内3的最大倍数是();28的因数中最大的一位数是()。

3、50以内7的倍数有()，20以内最大的质数是()。

4、个位上是()的数，都是2的倍数;

个位上是()的数，都是5的倍数。

个位上是()的数，既是2的倍数，也是5的倍数。

同时是2和5倍数的数，最小两位数是()，最大两位数是()。

5、如果有两个质数的和等于24，可以是()+()，

6、一个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上的最小的奇数，这个三位数是()，它同时是质数()和()的倍数。

7、三个连续的偶数的和是42，这三个数是()、()、()。

8、605至少加上()就是3的倍数，1024至少减去()就是3的倍数，那么78至少加上()就是5的倍数。

9、一个数是48的因数，又是6的倍数，这个数可能是()、()、()、()等。

10、□47□同时是2、3、5的倍数，这个四位数最小是()，最大是()。

二、判断题(每题1分，共10分)

1、因为189=2，所以18是倍数，9是因数。()

2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。()

3、一个自然数越大，它的因数个数就越多。()

1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则抛物线的开口越小.
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.
5.常数项c决定抛物线与y轴交点.
抛物线与y轴交于（0,c）
6.抛物线与x轴交点个数
V.二次函数与一元二次方程
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,
此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根.
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.