很多人都感到数学有一种特殊的美感，他们也曾经做过生理上的分析，发现这个美感和看到漂亮风景、帅哥靓女之类，神经反应好像差不多的。事实上还有一些物理学家，对数学之美的感受是很强烈的，对数学的美的追求也是无尽的。外尔对数学美的态度就是这样，“我的工作总是设法把真与美统一起来，但如果只能选择这个或另一个时，我常常选择美。”一般我们追求真善美，但好像从道德上来讲，这样做是不对的，但数学里面的美很可能是更高层次的真实。就像在我们所认识的世界里面，你的认识是有一定局限的，但美是一个原则，让你发现更高层次的真实。外尔写的《群论与量子力学》1928年首次出版，非常的有名，据说当时的理论物理学家都会把这本书放在书架上，但都不看，因为里面的数学太难了。物理学家对数学家写的书好像好感并不多，他们的评价大概是这样的，认为数学家写的书有两种：第一种是看了一页就看不下去了，第二种是看了一行就看不下去了。

哈代是20世纪杰出的分析学家，也是他所在的时代英国最杰出的数学家，他的一个数学家的独白表达了他对数学的看法，影响颇广。他也是一个唯美主义者，他认为“美是（数学的）第一道检验：难看的数学在这个世界上没有长驻之地。”

狄拉克认为，“物理定律必须有数学的美，上帝用美丽的数学创造了这个世界。”狄拉克方程就是一个典型的例子，它是个很有名的方程，杨振宁对它也是非常赞叹的，专门有文章提到这件事情，就是利用这个方程，人们发现了正电子。当初根据已有的实验结果来讲，它的方程不是这样的。但他认为根据实验结果得出的方程不美，所以就给修改了，修改之后很多东西又解释不了，他就大胆地预言应该还有一个例子没有发现，后来果然通过实验发现了。他对这个公式当然也是非常的喜欢。也有一个很牛的物理学家费曼，课讲的非常好，有次大概因为开会，这两个人（费曼和狄拉克）碰在一起了，长时间的沉默之后，狄拉克就冒了一句话，“我有一个方程，你有吗？”估计费曼当时非常的郁闷。物理学家也好，数学家也好，独特的人是非常多的，英文有个词叫eccentric（中文译为怪人），在我们国家对eccentric好像没那么宽容，西方文化对他们要宽容一些。

罗素说：“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也有至高的美。”罗素是数学家，也是哲学家，获得过诺贝尔奖文学奖。他所写的《西方哲学史》从一个哲学家的角度，而非哲学史家的角度看待西方的哲学史，那独特的视角、脉络清晰，文笔也非常的流畅，但又不乏幽默，所以他对美的认知自然有非常广阔的背景。

如果你觉得数学不美的话，从某种意义上讲我不太建议你去学数学，或者你至少培养了美感之后再去学数学。数学美的含义到底是什么？这个问题提得多了之后，我觉得就要想一想它到底什么内容？后来我发现它大概有以下的内容：形式上要清晰、简洁，还有就是要简单、原创、新颖。不新颖的话，老生常谈，不会有美的感觉；还有就是很优美，以及一个很重要的就是不同对象之间的联系，这一点大家以前可能没有意识到其实是非常重要的。它的内涵必须要非常深刻、重要，还有基本和蕴意丰富，从这个基本的对象出发，能解释很多其他的东西。它的证明要清晰、干净利落、巧妙。

我们用一些例子来说明一下这些观点。第一个就是勾股定理，勾三股四弦五，我们常常理解起来就是32+42=52这样一个等式而已。但实际上它揭示了3、4、5这三个数的联系，这是非常重要的。勾股定理我们知道，三角形的直角边的平方和等于斜边的平方，以前我们理解起来，就是这两个边能够求出第三边，其实这只是它价值很小的一部分，更重要的是这三个边之间的联系。我国古代赵爽给了一个很漂亮的证明，他把四个直角三角形拼起来得到一个大的正方形，里面包含一个小的正方形，比较一下面积就能够得到勾股定理的证明。这里你能感受到这个证明的清晰、干净、利落和巧妙，和一种美感。定义的本身也是非常简洁优美的，它的内涵是非常丰富的。

比方说我们应用这个定理，我们就知道，平面上以原点为圆心、半径为r的方程，它就是一个很漂亮的方程，x2+y2=r2。关于它的蕴意的丰富，我们其实可以从这里提出很多的问题来，这些问题在中学就可以让老师告诉学生，但是一般老师好像并没有这样启发学生。比方说什么样的正整数能够成为直角三角形的边长？这样的问题有趣，但还不算太难。另一个问题，如果边长都是整数，它的直角三角形面积是不是也是整数？这也比较简单。到了第三个问题，你就会发现它是惊人的难，如果直角三角形的边长都是有理数，什么情况下它的面积是整数？我们可以举一个例子，3/2、20/3、41/6，它是一个直角三角形的三个边长，它的面积是5。看起来这个问题好像不太简单，这个问题其实已经有一千年的历史，是古埃及人提出来的。157就是这样一个整数，以157为面积的最简单的有理直角三角形的三个边长，大家可以看一下，分子分母都会有40多位。大家可能想不到这里面会有这么复杂的数据在这里头，你更想不到这个问题它会和BSD猜想（编注：全称Birch and Swinnerton-Dyer 猜想）联系在一起。BSD猜想到目前为止谁也没能够证明它，已有的结果离完全解决遥远得很，因为它是关于椭圆曲线的一个问题，也是克雷数学研究所几个千禧年的问题之一。换句话说如果你能够证明它，能拿到100万美元，也有着享誉全世界的学术声誉。

我们前面提到过，欧几里得的一个证明说素数有无穷多个。素数是一个数学的基本对象，里面神秘的东西非常的多。欧几里得证明同样干净利落，富有美感。假设这个结论不对，只有有限个素数，那我把这有限个素数乘起来再加1，那这个新的数M，前面N个素数都不会是它的因子。所以M的素因子就会和前面那n个素因子不一样，这是一个矛盾，所以素数有无穷多个，这个定理就非常完美的被证明，好像就没什么事情可以做了。但数学家他从来都不会这样考虑问题，就像庞加莱所说：“我们从来没有完全理解过一个问题，我们只是对这个问题理解的更深了一点、更多了一点。”素数看起来很容易明白，但可能是数学里面最神秘、最难以琢磨的一个对象。你会有很多问题接二连三的产生，比方说素数在自然数中间占有多大的比例？这个问题很难回答，你可以把它变得更容易琢磨一点，就1到N之间有多少个素数？这个问题到现在为止没有一个人能够回答。关于素数有无穷多个，后来欧拉有个更好的证明，欧拉的证明对数学产生了一个巨大的影响，包括产生了欧拉函数（Euler'totient function）等等，今天我们不会有时间谈这些。

还有一个看上去非常简单的问题——哥德巴赫猜想，每个大于2的偶数都是两个素数的和，比方说6可以写成3+3，20可以写成13+7等等，但是谁也没有能够证明这个结果。到目前为止最好的结果还是四、五十年前我国数学家陈景润做的，他证明了“1+2”，它的含义就是充分大的偶数都能够写成一个数字加上另一个数，另一个数的素因子不超过两个。陈景润的这项工作随着徐迟的报告文献传遍我国大江南北，敬仰、爱慕的信件如雪片般的飞过来，这个盛况后来再也没有出现过。徐迟报告文献的副产品就是，大家都知道数学家连1+1都弄不清楚，原来1+1还是这么高深的数学。

曾有人和我说起陈景润的工作，他是完全从字面上来理解“1+2”的。我试图给他解释陈景润工作中“1+2”的含义，他听后斜看了我一眼，说我不懂。我当时无语，觉得做科普还是很不容易的，同时也发现人们是多么的执着于自己不合事实的理解，可能这和他的自尊心、心智安全感也是分不开的。

另一个看起来简单的问题就是孪生素数猜想，比如3和5，41和43，他们都是相差2的素数对。它的问题是，这样的素数对有没有无限多个？2013年华裔数学家张益唐在这个问题上取得巨大的突破，他证明了存在无穷多对素数，每一对素数的差都不超过7000万。张益唐结果哄动一时，他本人在逆境中也保持对理想追求的故事也是非常励志的，他感动了世界。

讲到数学美的时候我们还可以提一个例子。前面提到过根号2不是有理数，我们可以给一个很严格的证明。假设这个结论不正确，它是两个整数的比，x=a/b，我们可以要求分子分母没有公因子，那么去分母之后得到xb=a。然后做平方得到x2b2=a2，从而就是2b2=a2，所以a肯定是偶数。然后再把2b2=a2代进去之后，会得到b也是偶数，这样就会有一个矛盾了，所以这个假设是错的，所以它必然是一个无理数。

我们在小学的时候都学过圆，也知道圆周率（π），大家都计算过圆周求面积等等，不过好像没有想过圆周率这个数是不是有理数或者无理数，这里反应一个问题就是我们提问题的能力是比较弱的。不知道大家注意到没有，很多的问题都是外国人提出来的，我们自己提的问题或者我们自己开创的理论是比较少的，这其实反应出来我们思维上的一个局限，愿意跟随而不愿意开创。

π这个数不仅是一个无理数，而且还是个非常无理的数，它是一个超越数。这个事情到1882年才由林德曼证明，他也证明了古希腊的画圆为方的问题是不可能的。

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