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在这里首先要感谢参与教材编写 的广大一线老师，正是他们的呕心沥血与
兢兢业业，编竣后的教材才得以保证呈现出的全部都是精华。特 别值得一提的
是，在我们的编写教师团队中，有获得省级优秀教师殊荣的张老师，也有获得
国家 级优秀教师头衔的陈老师。等等这些名教师的加入，为教材的编写贡献良
多，他们有着多年的教学经验和 丰富的课堂知识储备。这就保证了教材内容的
针对性和学生的可接受性，使得这些教材更具权威和可操作 性，也更具实际的
教学意义。当然，还有其他一线老师。本系列教材中也融合了他们的智慧结晶，
他们也作出了很大的贡献，在教材的整体结构、章节设置和总体布局方面献策
其次， 在教材的编写过程中我们也参考了包括华师大出版社和人民教育出
版社等的教材编写中的宝贵经验，以便 我们的教材更贴近学生的学习，在这里
一并感谢。还有一些有益网站的宝贵资料，也给了我们很大的启发 。
最后，在本系列的教材投入使用期间或之后，望广大学子和家长能多提出
宝贵意见，以便我 们可以更好地改进，取得更大的进步，更好地服务于广大学

**教育系列教材全体编者教师

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第一章 集合与函数概念
§1.1.1 集合的含义与表示（1）

1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列 举法或描述法）描述不同的具体问题，
感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试
问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

引入：在这里，集合是我们 常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一
而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别 的对象，为此，我们将学习一个新的概念——
集合，即是一些研究对象的总体.
集合是近代数 学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，
它还渗透到自然科学的许多领域 ，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参
阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要 的条件.
探究1：考察几组对象：
① 1～20以内所有的质数； ② 到定点的距离等于定长的所有点；
③ 所有的锐角三角形； ④
⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程
⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车
⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿.
各组对象分别是一些什么？有多少个对象？

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新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（el ement）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）.

试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？

探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？

新知2：集合元素的特征
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特
征. 确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，
两种情况必 有一种且只有一种成立.
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.
无序性：集合中的元素没有顺序.

只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .

试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：
的解； ② 3的倍数；
的解； ④ a，b，c，x，y，z；
⑤ 最小的整数； ⑥ 周长为10 cm的三角形；
⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄；
⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.

探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？

新知3：集合的字母表示
集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.
如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a

试试3： 设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B，0.5 B， 0 B，

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探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？

新知4：常见数集的表示
非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N；
正整数集：所有正整数的集合，记作N
整数集：全体整数的集合，记作Z；
有理数集：全体有理数的集合，记作Q；
实数集：全体实数的集合，记作R.

探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的 语言表示等例子，都是用自
然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.
注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.

试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.

例1 用列举法表示下列集合：
① 15以内质数的集合；
的所有实数根组成的集合；
的图象的交点组成的集合.

变式：用列举法表示“一次函数
的图象的交点”组成的集合.

①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.

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※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列说法正确的是（ ）.
A．某个村子里的高个子组成一个集合
B．所有小正数组成一个集合
这六个数能组成一个集合

4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：
深圳 A； 广州 A. （填∈或
?3x?0的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.
1. 用列举法表示下列集合：
（1）由小于10的所有质数组成的集合；
（2）10的所有正约数组成的集合；
的所有实数根组成的集合.

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§1.1.1 集合的含义与表示（2）

1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列 举法或描述法）描述不同的具体问题，
感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .
集合中的元素具备 、 、 特征.
集合与元素的关系有 、 .

① 你能用自然语言描述集合
② 你能用列举法表示不等式

新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形 式为
其中x代表元素，P是确定条件.
的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .

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例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.

练习：用描述法表示下列集合.
的所有实数根组成的集合；
（2）所有奇数组成的集合.

用描述法表示集合时，如果从上下 文关系来看，

例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
上的所有点组成的集合；
变式：以下三个集合有什么区别.
① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如
② 只要不引 起误解，集合的代表元素也可省略，例如
③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写 {全体整数}.
下列写法{实数集}，{R}也是错误的.
④ 列举法与描述法各有优点，应 该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合
中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法 .
练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数.

1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；
2. 会用适当的方法表示集合；

1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：
（1）所有直角三角形的集合可以表示为：
，也可以写成：{直角三角形}；

2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.

2. 下列说法正确的是（ ）.

C.全体自然数的集合可表示为{自然数}

§1.1.2 集合间的基本关系

1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2. 理解子集、真子集的概念；
3. 能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
4. 了解空集的含义.

复习1：集合的表示方法有 、 、
. 请用适当的方法表示下列集合.
（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.

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”有什么区别？试举例说明.

（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用 符号

（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？

的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.

的所有真子集组成的集合.

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1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论.
2. 两个集 合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特
别要注意区别“属于” 与“包含”两种关系及其表示方法.

如果一个集合含有n个元 素，那么它的子集有
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列结论正确的是（ ）.

是 ，并用Venn图表示.
1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的
集合，B表示质量 合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些

试用Venn图表示这三个集合的关系.

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§1.1.3 集合的基本运算（1）

1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；
2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；
3. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
复习1：用适当符号填空.

思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？

（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；

（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？

① 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作 A、B的交集

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② 类比说出并集的定义.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），
，读作：A并B，用描述法表示是：

（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝ ；
（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.

（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？

（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？

反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？

练2. 学校里开运动会，设A={
是参加跳高的 同学}，B={
是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释

1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；
2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.
你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？

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§1.1.3 集合的基本运算（2）
1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
2. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

复习1：集合相关概念及运算.
① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的 ，记
，则称集合A是集合B的 ，记作 .
② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：

探究：设U={全班同学}、A={全班参 加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同
学}，则U、A、B有何关系？
① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么 就称这个集合
② 补集：已知集合U, 集合 A
U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A
，读作：“A在U中补集”，即
补集的Venn图表示如右：

说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.

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结合Venn图分析，如何得到性质：

1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.
2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn图.

§1.1 集合（练习）
1. 掌握集 合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，
掌握集合的有关术语和符号；
2. 能使用数轴分析、Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？

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（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；
（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？

列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法.

－19＝0｝，B＝｛x｜x
（1）若A＝B，求a的值；

1. 集合的交、并、补运算.

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集合中元素的个数的研究：
有限集合A中元素的个数记为
你能结合Venn图分析这个结论吗？

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§1.2 函数及其表示
1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依 赖关系的重要数学模型，在此
基础上学习集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中 的作用；
2. 了解构成函数的要素；
3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.
复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个
确定的 值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方
法有：解析法、列表法、图象法.

探究任务一：函数模型思想及函数概念
问题：研究下面三个实例：
A. 一枚炮 弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）
与时间t（秒）的变化 规律是
B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少 ，因而出现臭氧层空洞问题，
图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.

C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一
个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

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归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于 数集A中的每一个x，按照某种对
应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：

B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯 一确定的数
为从集合 A到集合B的一个函
其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函

（1）值域与B的关系是 ；构成函数的三要素
（2）常见函数的定义域与值域.

表示，其中“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.

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1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.

复习1：函数的三要素是 、 、 .函数

复习2：用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax
＋bx＋c、y＝的定义域与值域 ，其中

探究任务：函数相同的判别

① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等 当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值

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1. 定义域的求法及步骤；
2. 判断同一个函数的方法；
3. 求函数值域的常用方法.

1. 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积y关于x的函数的解析式，并写

§1.2.2 函数的表示法（1）

1. 明确函数的 三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优
点，在实际情境中，会根据不同 的需要选择恰当的方法表示函数；
2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.

（1）函数的三要素是 、 、 .
（3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.

复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

探究任务：函数的三种表示方法
讨论：结合 具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.

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例1 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种 表
变式：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.

例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？

例2 邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元.

500 kg及以上0.6元／kg，试写出批发x千克应付的钱数y（元）的函数解析式.

分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）. 在生活实例有

cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边

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1. 函数的三种表示方法及优点；
3. 函数图象可以是一些点或线段.

任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明
三者（图象）之间的关系.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 如下图可作为函数

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1. 动点 P从单位正方形ABCD顶点A开始运动一周，设沿正方形ABCD的运动路程为
自变量x，写出P点与 A点距离y与x的函数关系式，并画出函数的图象.

§1.2.2 函数的表示法（2）

1. 了解映射的概念及表示方法；
2. 结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；
3. 能解决简单函数应用问题.

复习：举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
① 对于任何一个 ，数轴上都有唯一的点P和它对应；
② 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的
③ 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
④ 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.
你还能说出一些对应的例子吗？

讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

新知：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于
集合A中 的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应
为从集合A到集合B的一个映射（mapping）
关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.

试试：分析例1 ①～③是否映射？举例日常生活中的映射实例？

① 映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？
② 函数是建立 在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意
两个非空集合”，按照某种法 则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.

例1 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
（3）A={ P | P是平面直角体系中的点}，
, 对应法则：求正弦.

变式：如果是从B到A呢？

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试试：下列对应是否是集合A到集合B的映射
，对应法则是“乘以 2”；
（2）A= R*，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
R，对应法则是“求倒数”.

2. 判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有对应，但B中元素未必
要有对 应；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．

在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v（千米／小时）的平方与车身长s（米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现
假定 车速为50公里／小时时，车距恰好等于车身上，试写出d关于v的函数关系式（其中

2. 中山移动公 司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4
元；“神州行”不缴月租 ，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方
与x之间的函数关系式？
（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（3）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

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§1.3 函数的基本性质
§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

复习1：观察下列各个函数的图象.

① 随x的增大，y的值有什么变化？
② 能否看出函数的最大、最小值？
③ 函数图象是否具有某种对称性？

小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.

探究任务：单调性相关概念
的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎 样变化？

§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）

1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

的单调区间及单 调性，并进行证明.

复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.

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探究任务：函数最大（小）值的概念

讨论体现了函数值的什么特征？

新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
0
0

试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．

一些什么方法可以求最大（小）值？
例1一枚炮弹 发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是
那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？

变式：经过多少秒后炮弹落地？

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试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？

数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.

先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.

练1. 用多种方法求函数

0
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旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

1. 函数最大（小）值定义；.
2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.

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的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与 最小

2. 如图，把截面半径为10 cm
锯才能使得截面面积最大？

1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；
2. 学会判断函数的奇偶性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.

探究任务：奇函数、偶函数的概念
思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：

的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长

函数，并画出函 数的大致图象，并判断怎样

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观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？

试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.

① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？
② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.

小结：判别方法，先看定义域 是否关于原点对称，再计算

试试：判别下列函数的奇偶性：

例2 已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是 减函数，判断f(x)的(-∞,0)上的单调性，并给出

变式 ：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明.

小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.

1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；
2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.
3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.

定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点
对称区 间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

§1.3 函数的基本性质（练习）

1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；
2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；

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3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？

复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？

－2|x|－3的图象，指出单调区间及单调性.

小结：利用偶函数性质，先作y轴右边，再对称作.
－2x－3| 的图象如何作？

奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？
（偶函数在关于原点对称的区间上单调性 ；奇函数在关于原点对称的区间上单调

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例3某产品单价是120元，可销售80万件. 市 场调查后发现规律为降价x元后可多销
售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当 降价多少元时，销售金额最大？

小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题

1. 函数单调性的判别方法：图象法、定义法.
2. 函数奇偶性的判别方法：图象法、定义法.
3. 函数最大（小）值的求法：图象法、配方法、单调法.

的含绝对值的函数，可以化分段函数分段作图，还可由 对称变换得
的图象可由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象 ，并把y轴右侧的图象对
f(x)的图象，再将x轴下方的图象沿x轴对折到x轴上方.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

第一章 集合与函数的概念（复习）

1. 理解集合有关概念和性质，掌握 集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观
性研究问题，如数轴分析、Venn图；
2. 深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和
奇偶性 的判定方法和步骤，并会运用解决实际问题.

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① 概念：一组对象的全体形成一个集合
② 特征：确定性、互异性、无序性
⑤ 运算：A∩B、A∪B、

⑦ 方法：数轴分析、Venn图示.
① 三要素：定义域、值域、对应法则；

特点：定义域关于原点对称，图象关于y轴对称.

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练2. 将长度为20 cm的铁丝分成两段，分别 围成一个正方形和一个圆，要使正方形与
圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？

1. 集合的三种运算：交、并、补；
2. 集合的两种研究方法：数轴分析、Venn图示；
3. 函数的三要素：定义域、解析式、值域；
4. 函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的研究.

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个单位即可. 称之为函数图象的左、右平移变换.
个单位即可. 称之为函数图象的上、下平移变换.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
，则下列结论中正确的是 （ ）.
A．偶函数 B．奇函数

4. 某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育 爱好者43人，还有4人既不爱好体
育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.
1. 数集A满足条件：若
，则在A中还有两个元素是什么；
（2）若A为单元集，求出A和

是定义在R上的函数，设

第二章 基本初等函数（I）
§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）

1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；
2. 了解根式的概念及表示方法；
3. 理解根式的运算性质.

复习1：正方形面积公式为 ；正方体的体积公式为 .

复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于

探究任务一：指数函数模型应用背景
探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为

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实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？

计算：若报纸长50c m，宽34cm，厚0.01mm，进行对折
次后，求对折后的面积与厚度？

问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年
平均增长率达7.3℅， 则
为2000年的多少倍？

问 题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡

小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自

探究任务二：根式的概念及运算

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强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，即

变式：计算或化简下列各式.

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，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？

§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）

1. 理解分数指数幂的概念；
2. 掌握根式与分数指数幂的互化；
3. 掌握有理数指数幂的运算.

的式子就叫做 ，具有如下运算性质：

复习2：整数指数幂的运算性质.

（1）将下列根式写成分数指数幂形式：

① 0的正分数指数幂为 ；0的负分数指数幂为 .
② 分数指数幂有什么运算性质？

规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数
指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂， 对含
有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.

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结论：无理指数幂.（结合教材P
利用逼近的思想理解无理指数幂意义）

是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？

①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.

放射性元素衰变的数学模型为：
0
，其中t表示经过的时间，
0
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
为整数，则下列各式中正确的是（ ）.

§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）

1. 掌握n次方根的求解；
2. 会用分数指数幂表示根式；
3. 掌握根式与分数指数幂的运算.

复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？

小结：① 平方法；② 乘法公式；
注意， a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如，

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例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出升， 然后用水填满，再倒出升，又用水填满，
这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？

小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论；
② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答.

1. 根式与分数指数幂的运算；
2. 乘法公式的运用.

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复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？
0

探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念
A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4 个
分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关
B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

≠1呢？否则会出现什么情况呢？

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试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？

探究任务二：指数函数的图象和性质
引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：

的图象有什么关系？如何由

（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或后

新知：根据图象归纳指数函数的性质.

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小结：①确定指数函数重要要素是 ；

小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.

练1. 已知下列不等式，试比较m、n的大小：

①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法.

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人口．因此，中国的人口问题是公认 的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达
到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制 人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基
（1）按照上述材料中的1%的增长率 ，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年
（2）从2000年起到2020年我国人口将达到多少？

小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法.
试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后
的总产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？

小结：指数函数增长模型.
设原有量N，每次的增长率为p，则经过x次增长后的总量y= . 我们把形如

小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法.

的定义域和值域，并讨论其单调性.

的定义域和值域，并讨论其单调性.

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，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y m
y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m

1. 指数函数应用模型
2. 单调性应用（比大小）.

的函数值域的研究，先求得
列出简单的指数不等式，得出所 求值域，注意不能忽视
的函数值域的研究，易知
的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
－1的定义域、值域分别是（ ）.

5. 在同一坐标系下，
a、b、c、d、1之间从小到

§2.2.1 对数与对数运算（1）

1. 理解对数的概念；
2. 能够说明对数与指数的关系；
3. 掌握对数式与指数式的相互转化.

复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.

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（1）取4次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺？

复习2：假设2002年我国国民生产总 值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多
少年国民生产 是2002年的2倍？ （只列式）

问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，
那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？

讨论：（1）问题具有怎样的共性？
（2）已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：由

，其中a叫做对数的底数，N叫做真数

试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式.

新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数
简记为lgN 在科学 技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对
数叫自然对数，并把自然对数

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（1）指数与对数间的关系？

小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体.
例2求下列各式中x的值：

小结：应用指对互化求x.

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①对数概念；②lgN与lnN；③指对互化；④如何求对数值

对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔
（Napie r，年）男爵. 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，
这导致天文学成为当时的热门学科. 可 是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花
费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此 浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳皮
尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研 究大数字的计算技术，终于独
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
中，实数a的取值范围是（ ）.

1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.

§2.2.1 对数与对数运算（2）

1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；
2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..

，那么数 x叫做 ，记
（2）指数式与对数式的互化：

复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：

探究任务：对数运算性质及推导

自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过 假设，将对
数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）

探究：根据对数的定义推导换底公式

试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？

①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.

§2.2.1 对数与对数运算（3）

1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；
2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.

复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1. 25℅，问哪
一年我国人口总数将超过14亿？ （用式子表示）

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例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度 ，就是使用测
震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是 我
们常说的里氏震级M，其计算公式为：
0
，其中A是被 测地震的最大振幅，
0
“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修 正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪 记录的地震最大振幅是20，
此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最 大振幅是5级地震最大振幅的

小结：读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算.

例2当生物死亡后，它机体内原 有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰
减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”． 根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与
生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：
（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间
的关系，指出是 我们所学过的何种函数？
（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用 函数的观点
来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？

① P和t之间的对应关系是一一对应；
② P关于t的指数函数
，则t关于P的函数为 .

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练2. 我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在2007年的基

1. 应用建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→求解→验证）；
2. 用数学结果解释现象.

f(x)的图象向上凸出，则函数
在该区间上为凸函数，结合图
的 图象向下凹进，则函数
在该区间上为凹函数，结合图
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
（a≠0）化简得结果是（ ）.

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§2.2.2 对数函数及其性质（1）

1. 通过具 体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概
念，体会对数函数是一类重要 的函数模型；
2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与
3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性
质，培 养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.

的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.

复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳
14的残余 量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式）

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探究任务一：对数函数的概念
问题：根据上题，用计算器可以完成下表：

（对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系
0

，生物死亡年数t都有唯一
的值与之对应，从而t是P的函数）

新知：一般地，当a＞0且a≠1时，函数
变量是x； 函数的定义域是（0，+∞）.
对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制

探究任务二：对数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法

研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.

（1）根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？

§2.2.2 对数函数及其性质（2）

1. 解对数函数在生产实际中的简单应用；
2. 进一步理解对数函数的图象和性质；
3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互
为反 函数的两个函数的图象性质.

0

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复习3：求函数的定义域.

中的自变量与因变量对调位置而
得出的 . 习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为
新知：当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量,
而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function）

试试：在同一平面直角坐标系中，画出指 数函数

0
0
0

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（2）由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于 对称.

小结：求反函数的步骤（解x →习惯表示→定义域）

的反函数图象上，求实数a的值.

例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式
溶液中氢离子 的浓度，单位是摩尔升.
（1）分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系？
摩尔升，计算其酸碱度.

小结：抽象出对数函数模型，然后应用对数函数模型解决问题，这就是数学应用建模思

?k的图象过点（1，3）其反函数的图象过点（2，0），求

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① 函数模型应用思想；② 反函数概念.

函数的概念重在对于某个范围（定义域）内的任意一个自变量x的值，y都有唯 一的值
和它对应. 对于一个单调函数，反之对应任意y值，x也都有惟一的值和它对应，从而单调
函数才具有反函数. 反 函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，即
互为反函数的两个函数，定义域与值 域是交叉相等.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

图象，则底数之间的关系

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1. 现有某种细胞100 个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成
2个细胞，按这种规律发展下去，经过多 少小时，细胞总数可以超过

的反函数，并求出两个函数的定义域与值域，通过对定义
域与值域的比较，你能得出一些什么结论？

§2.2 对数函数（练习）

1. 掌握对数函数的性质；
2. 能应用对数函数解决实际中的问题.

0

小结：数形结合法求值域、解不等式.

小结：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”.

在[2，4]上 的最大值比最小值大1，求

1. 对数运算法则的运用；
2. 对数运算性质的运用；
3. 对数型函数的性质研究；
4. 复合函数的单调性.

的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出
两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两 个函数同为增函数或者
同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函 数. 为何
有“同增异减”？我们可以抓住 “x的变化→
的变化”这样一条思路进
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
有相同图象的一个函数是（ ）

1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质；
2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.

在R上为奇函数且为增函数.

的定义域，并讨论它的奇 偶性和单调性．

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复习2：1992 年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x%，2008年底世界人
口数为y（亿），写出 ：
（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数；
（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．

探究任务一：幂函数的概念
问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？
（5）购买每本1元的练习本

的函数称为幂函数，其中?

试试：判断下列函数哪些是幂函数.
探究任务二：幂函数的图象与性质
问题：作出下列函数的图象：（1 ）
从图象分析出幂函数所具有的性质.

观察图象，总结填写下表：

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幂函数的的性质及图象变化规律：
时，幂函数的图象在区间
上是减 函数．在第一象限内，当

都有定义，并且 图象都过点（1，1）
图象通过原点，并且在区间