在刚开始学习图形学的时候，很多网上，某乎，百度的一致说图形学设涉及到的数学很多，让很多对图形学感兴趣，但是数学不好的同学望而却步。其实如果不是为了做科研工作，作为学习图形学，涉及到的数学部分并不是很多，而且也不是很难。用的最多的就是线性代数中很简单的部分。线性代数中难的部分作为学习图形学基本用不着。
在学习图形学的时候也完全没必要害怕。要用到的数学知识有：

1. 向量的加法，点乘，叉乘，以及向量的规范化。这些向量的数学计算主要是为了模拟光线作用在物体的时候，如何反射，折射，散射。从而计算出每个物体每个顶点的颜色值或者每个像素的颜色值。
2. 矩阵的乘积，矩阵的转置。这些矩阵的知识主要是为了转化空间和实现物体的各种变形。

在高级图形学中还会用到微积分和概率的部分知识，但是其复杂程度没有达到高数下册后部分。

1. 微积分：在BRDF中使用。
2. 概率：在路径追踪中使用在光栅化部分用到的数学知识也就是向量和矩阵这两个部分。初步学习完可以不学习微积分和概率部分。

除了数学外与图形学相关的重要的课程还有：
其他涉及到的课程还有：信号处理，数值分析

这一块高中学过了。在图形学中也使用的最多。

向量的加法，点乘和叉乘都有几何意义的计算方式和数学坐标系下的计算方式。这两个都需要很熟悉，更重的是要知道在图形学的用法。

向量的加法的结果还是一个向量。
从几何的角度看向量的加法—高中知识
在坐标系中的向量加法—在以后的图形学中的计算都是用这个来计算向量的加法。这个计算向量的长度是非常方便的。

向量的点乘是一个数.。

向量点乘在图形学中的用法如下:

• 快速到找到两个向量之间的夹角:后面光照模型都是用点乘来计算光线，视线，物体法线之间的夹角都是用这个来计算的。
• 一个向量投影到另外一个向量上是什么样子的：分解向量：垂直和水平。
• 计算两个向量方向的接近程度：根据点乘的结果来判断是接近和远离；比如在高光渲染的时候就要用这个知识
• 向量点乘还可以给出一个前与后的信息：如果落在了上半圆就是接近，如果落在了下半圆就是远离。根据点乘的符号来判断，如果是正的，结果等于1就是相同，如果是-1是相向；

下面这张图中着色点的颜色都是利用v,n,l三个向量之间的点乘来计算的，具体可以结合代码看。

向量叉乘的结果还是一个向量，其方向用右手螺旋定则来确定。（或者左手定则）
openGL中使用的是左手坐标系。

1 叉乘在图形学中的用法：

1. 判断一个向量是在另外一个向量的左边还是右边：

如下图：判断b在a的左边还是右边
用a叉乘b，得到的结果是正的，说明b在a的左侧
用b叉乘a，得到的结果是负的，说明b在a的右侧

1. 判断一个点是否在三角形内部。光栅化的时候判断一个像素点是否在三角形内部，从而判断是否为其着色。
   判断P在三角形ABC的内部？
   ABXAP，结果是正的，说明P在AB的左侧
   BCXBP，结果是正的，说明P在AB的左侧
   CAXPC，结果是正的，说明P在CA的左侧
   所以P在三角形ABC的内部，
   绕的顺序是AB-BC-CA，绕向逆时针和顺时针，也就是三个叉乘结果要嘛都是正的，要嘛都是负的
   这个是三角形光栅化的基础，要知道三角形覆盖了哪些像素，判断像素是否在三角形内部；
   

3 叉乘的坐标系计算方式

向量规范化，即让向量的长度为1。

向量的规范化在后面的光照模型和光线追踪部分使用也很多，很多计算出来的向量都要进行规范化。

矩阵主要是在图形学的模型变换，view 变换，投影变换中使用。这些变换的计算都是基于矩阵的相乘进行的。

1. 相乘计算的简单记忆方式
   

26是两个矩阵乘积的二行四列：
计算方法：找第一个矩阵的第二行(5,2)，第二个矩阵的第四列(4,3),把两个向量求个点积就可以了。26=54+26；
61是两个矩阵乘积的二行三列：
计算方法：找第一个矩阵的第二行（5，2）和第二个矩阵的第三列（9，8）求点积就是61；59+28=61=61；
总结归纳这个记忆方法如下:
需要算两个矩阵乘积的第几行第几列的数值，直接在第一个矩阵中找第几行，在第二个矩阵中找第几列，然后将两个找到的向量按照顺序求向量点积。点积的数值就是要求的数值。

没有交换律，有结合律和分配律

2 矩阵如何和一个向量乘

在这里要始终认为矩阵在左边，向量在右边（Matrix X vector）。
向量永远是一个列向量（mX1）。

这个就是图形学变换的基础。一个点想要变成另外一个点，乘以一个矩阵做变换，这个矩阵就是变换矩阵。

5 向量的点乘和叉乘写成矩阵的形式

叉乘：----》》》在图形学旋转的推到中使用这个。

平面的一条法线以及平面上的任意一点就可以定义一个平面

平面的一个特性:平面的法线与平面的任意两个点的连线垂直(初中知识)

p在平面上，根据平面的特性得到如下式子：

上面的算法只是求出了平面与直线的交点，在图形学中需要判断这个交点是否在三角形内部，采用向量叉乘那部分的方法就可以了。
但是这个方法比较麻烦，下面的方法可以直接判断交点是否在三角形内部。

利用重心坐标来求出三角形内的任何一个点，然后和光线上的点做比较，只要相等就是一个点。需要满足的条件是t>0,三角形三个顶点P0,P1,P2的系数要大于0.

需要解出t，b1，b2。三个方程和三个未知数，肯定可以求出来。
可以直接使用下面这个就可以解出来了：

在渲染方程中用到了微积分。
也就是BRDF中主要使用的就是微积分的思想。

在下面计算dA出收到的irradiance，先算一个方向收到的Radiance,然后再求积分，将各个方向的radiance积分起来，这个地方用的就是微积分思想。

主要是在蒙特卡洛积分中使用概率论的知识。
蒙特卡洛积分----给你任意一个函数求它的定积分。但是这个函数比较复杂，求不出它的解析式，蒙特卡洛就可以解决这个。
蒙特卡洛是通过随机采样的方法做的。在积分域内不断去采样。最后求和去平均。

4 概率密度函数pdf

图形学中的很多情况要用到基本的三角知识，三角知识可以帮我们记忆基本定义。

以一点出发的两条射线形成一个角。角度定义为这两条射线 在单位圆周上截出的圆弧长度。
一般规定用较短的弧长来表示角度，符号由两条射线的顺序来确定，这时所有弧度值都位于[-π,π].每个角度都是两条射线在单位圆周上切出的圆弧的长度。

已知一个直角三角形，根据毕达哥拉斯定理有以下等式：
定义角α的正弦、余弦以及其他三角函数如下
注意：在计算机图形学中经常约定逆时针旋转为正方向。
三角函数是周期函数，多个自变量值对应同一个函数值，这 就意味着这些函数在实数域R内是不可逆的。
为了使三角函数可逆，必须对取值范围进行限制。定义域和值域规定为：
最后一个函数atan2(s,c)是非常有用的。其中s与sinA成正比，c与cosA成正比，且比例因子相同，atan2(s,c)的函数值为A。
假使该比例因子为整数，其中的一种理解方式为，函数返回极坐标下二维笛卡尔点(s,c)的角度。

在此列出各种有用的三角函数公式。
对于变长为a,b,c 对应角分别为A,B,C的任意三角形，下列公式都成立：
三角形的面积同样可以通过三条边长表示出来：

重心坐标：数学中，重心坐标是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。
三角形内的任意点都可以用三角形的三个点的坐标线性表示。如下图所示：
所以只要求出a，β，γ。（a，β，γ）就是重心坐标。

a，β，γ要满足全都大于0的条件。
a，β，γ计算方式如下：

然后就可以利用重心坐标对ABC三个顶点的属性进行插值。下面代码使用的alpha，beta,gamma来源于上面三角形内的点求出来的alpha，beta,gamma

注意：重心坐标在投影之后坐标会变化，所以插值三维空间的属性，就应该插值三维空间中的重心坐标，然后再对应到二维空间中。

重心坐标在图形学中使用的整个逻辑是：
遍历整个三角形内部的像素坐标，对每个像素坐标求一个重心坐标，然后利用这个重心坐标对三角形三个顶点所带的属性进行插值。
其实就是用了两次重心坐标：第一次已知条件是三角形内部坐标，求出这个已知坐标的重心坐标；第二次是利用这个点的重心坐标对三角形顶点的其他属性，比如所带的颜色，法向量等进行插值计算。这样就求出了了每个像素的法线，颜色以及各种各样的属性。

几何部分主要是利用数学来表示几何体的方式分为两种：

用隐式方程表示，给你一个关系，满足这个关系的点，就是这个几何体上的点。
判断一个点是否在这个面上是非常简单的事情。

直接把所有的点或者通过参数映射的表示。
测试一个点在不在几何体内比较难。

用一系列的控制点来绘制一条曲线，曲线并不一定通过控制点，只要通过起止点即可。

几个控制点的基函数加权平均，是对贝塞尔曲线的拓展。
B样条具有局部性，更容易控制，影响范围小
及其复杂。基函数很复杂

在水平方向上做一次贝塞尔曲线，然后再另外一个方向再做一次贝塞尔曲线。需要两个t。