数是数学研究的对象之一，是代数学的”先行官”，是代数学的”火车头”。负数概念的引入，数系扩充到有理数的范围；实数概念的引入，数系扩充到实数的范围。生活实际的需要，数学本身的发展，需要产生新的数。

数学深刻地影响着哲学。唯物主义哲学家泰勒斯、唯心主义哲学家毕达哥拉斯、创立理念论的柏拉图等等。古希腊的哲学家崇尚数学、重视数学。

“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的信念，认为数是万物的本源，”数”与”和谐”是他们的主要哲学思想。柏拉图认为，存在一个物质世界、一个精神世界，一个诸如正义、智慧、善、美的理念世界，只有通过心灵才能达到对这些永恒理念的理解。”几何学使灵魂趋向于真理，进而创造出哲学精神”。

从逻辑学的始祖、写出”三段论”推理方式名著《工具论》的亚里士多德，到倡导归纳法并写出《新工具》的培根，再到唯理论哲学派别的代表人物笛卡尔、莱布尼茨，数学与哲学在思考：怎样认知真理？运用何种方法？是演绎法还是归纳法？

19世纪代数学最重大的事件之一是四元数的发现，它是由爱尔兰数学家哈密顿（）于1843年在皇家科学院宣讲的，形如a+bi+cj+dk，其中a，b，c，d为实数。

哲学家如此重视数学，而数学又始终影响着哲学。数与形、变与不变、相等与不等、偶然与必然、连续与离散、演绎与归纳、抽象与具体……没有数学与哲学，我们什么也看不懂。

辩证法认为矛盾是事物发展的动力。在数学发展的历史过程中，充满着矛盾。正与负、加与减、有理数与无理数、连续与离散、有限与无限、抽象与具体、直观与逻辑、存在与构造等。

当矛盾激化影响数学的根基时，就会产生数学危机。最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派，他们很重视数学，企图用数来解释一切。他们认为宇宙间的各种关系都可以用整数或整数之比来表示，但是当√2被发现后，就导致了第一次数学危机。

通过修正、补充及理论的创新，数学家们消除矛盾、解决危机，给数学带来了新的发展。

错误有时也美得残酷。公元前第五世纪，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派倒霉的希勃索斯（Hippasus）发现了一个惊人事实，一个边长为一的正方形的对角线长度不是有理数。无理数的存在说明了数轴上存在不能用有理数表示的”空隙”，和毕达哥拉斯学派的”万物皆为数（有理数）”的哲理大相径庭。学派领袖惶恐、愤怒以后，可怜的希勃索斯被百般折磨，判了极刑。从此毕达哥拉斯学派把守住这一秘密当成学派的头等大事。

但根号2很快就引起了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为”第一次数学危机”，也让数学向前大大发展了一步。历史证明谁都会犯错，连那些大数学家也不例外，然而这个错误带来的结果似乎残酷了些。

公元前5世纪，古希腊人点燃了无理教的火种，照亮了实数的广阔天地，但人类在很长一段时间内不能分享这甘美的”人类智慧之果”

直到19世纪后期，著名数学家魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔的杰出贡献为无理数、实数理论的建立打下了坚实的基础。

随着无理数概念的引入，把数系扩张到了实数的范围。诗人高笑曾写过《√２的自白》。

毕达哥拉斯声名高贵，只承认整数分数的地位。

戴着无理的帽子也全不理会实数没有我就不完备，

我自代表着优秀的一类。

默默地填补着有理数间的空白，

让事实宣布高贵者的愚昧！

例１. √２的有理逼近。

解析：√２的有理逼近的基本方法有：夹逼法、方程法等。

估计√2在1和2之间，设√2=1+a。

变式.造一种方法，用有理数逼近√2。

√２，π是常见的无理数，但可以用有理数的形式表示如下。