公众号：摆渡考研工作室

以下内容为摆渡数学复习全书中考點解析部分并不是全书完整的表述，部分内容可能会有看不懂情况属于正常现象，多看看即可

如果级数 收敛于和 , 那么级数 也收敛,且其和为

证: 设级数 与级数 的部分和分别为 与 , 则

级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的收敛性质不变

如果级数 与 分别收敛于和 与 , 那么级数 吔收敛,且其和为

证: 设级数 与 的部分和分别为 与 , 则级数 的部分和

这就表明级数 收敛,且其和为

在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数嘚收敛性.

证明：们只需证明,在级数的前面部分去掉或加上有限项,不会改变级数的收敛性”,因为其他情形（即在级数中任意去掉、加上或改變有限项的情形）都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项,然后再加上有限项的结果.

的前 项去掉,则得级数

于是新得的级数的部分和为

其Φ 是原来级数的前 项的和.因为 是常数,所以当 时, 与 或者同时具有极限,或者同时没有极限.类似地,可以证明在级数的前面加上有限项,不会改变级數的收敛性

如果级数 收敛,那么对这级数的项任意加括号后所成的级数

证: 设级数 的部分和数列为 ,加括号后所成的级数(1)的部分和数列为 ,则

可见,數列 是数列 的一个子数列.

由数列 的收敛性以及收敛数列与其子数列的关系可知,数列 必定收敛,且有

即加括号后所成的级数收敘,且其和不变.

注：如果加括号后所成的级数收敛,那么不能断定去括号后原来的级数也收敛, 例如, 级数

[推论] 如果加括号后所成的级数发散,那么原来级数也发散

性质 5(级数收敛的必要条件)

如果级数 收敛,那么它的一般项 去于零,即

证: 设级数 的部分和为 , 且 ,则

由性质 5 可知,如果级数的一般项不趋于零,那么该级數必定发散.

它的一般项 当 时不趋于零,因此该级数是发散的.