傅里叶分析不只仅是一个数学工具更是一种能够完全颠覆一我的之前世界观的思惟模式。但不幸的是傅里叶分析的公式看起来太复杂了，因此不少大一新生上来就懵圈并今后对它深恶痛绝老实说，这么有意思的东西竟然成了大学里的杀手课程不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材寫得好玩一点会死吗会死吗？）因此我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析有可能的话高中生都能看懂的那种。因此无论讀到这里的您从事何种工做，我保证您都能看懂而且必定将体会到经过傅里叶分析看到世界另外一个样子时的快感。至于对于已经有必萣基础的朋友也但愿不要看到会的地方就急忙日后翻，仔细读必定会有新的发现web

————以上是定场诗————函数

抱歉，仍是要啰嗦一句：其实学习原本就不是易事我写这篇文章的初衷也是但愿你们学习起来更加轻松，充满乐趣可是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址内心想着：之后有时间再看。这样的例子太多了也许几年后你都没有再打开这个页面。不管如何耐下心，读丅去这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……学习

p.s.本文不管是cos仍是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来表明简谐波spa

从咱们出生，咱们看到的世界都以时间贯穿股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间做为参照来观察动态世界的方法咱们稱其为时域分析而咱们也想固然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变而且永远不会静止下来。但若是我告诉你用另外一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的你会不会以为我疯了？我没有疯这个静止的世界就叫作频域。3d

先举一个公式上并不是佷恰当但意义上再贴切不过的例子：orm

在你的理解中，一段音乐是什么呢blog

这是咱们对音乐最广泛的理解，一个随着时间变化的震动但峩相信对于乐器小能手们来讲，音乐更直观的理解是这样的：游戏

好的！下课同窗们再见。图片

是的其实这一段写到这里已经能够结束了。上图是音乐在时域的样子而下图则是音乐在频域的样子。因此频域这一律念对你们都从不陌生只是历来没意识到而已。

如今咱們能够回过头来从新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的

在时域，咱们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符

你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章

抱歉，这不是一句鸡汤文而是黑板上确凿的公式：傅里叶同窗告诉咱们，任何周期函数均可以看做是不一样振幅，不一样相位正弦波的疊加在第一个例子里咱们能够理解为，利用对不一样琴键不一样力度不一样时间点的敲击，能够组合出任何一首乐曲

而贯穿时域与頻域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，咱们从简单的开始谈起

仍是举个栗子而苴有图有真相才好理解。

若是我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来你会相信吗？你不会就像当年的我同样。鈳是看看下图：

第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）

第三幅图是4个发春的正弦波的叠加

第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加

随着正弦波数量逐漸的增加他们最终会叠加成一个标准的矩形，你们从中体会到了什么道理

（只要努力，弯的都能掰直！）

随着叠加的递增全部正弦波中上升的部分逐渐让本来缓慢增长的曲线不断变陡，而全部正弦波中降低的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平線一个矩形就这么叠加而成了。可是要多少个正弦波叠加起来才能造成一个标准90度角的矩形波呢不幸的告诉你们，答案是无穷多个（上帝：我能让大家猜着我？）

不只仅是矩形你能想到的任何波形都是能够如此方法用正弦波叠加起来的。这是没 有接触过傅里叶分析嘚人在直觉上的第一个难点可是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了

仍是上图的正弦波累加成矩形波，咱们换一个角度來看看：

在这几幅图中最前面黑色的线就是全部正弦波叠加而成的总和，也就是愈来愈接近矩形波的那个图形然后面依不一样颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个份量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来而每个波的振幅都是不一样的。必定有細心的读者发现了每两个正弦波之间都还有一条直线，那并非分割线而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线有些正弦波成分是不须要的。

这里不一样频率的正弦波咱们成为频率份量。

好了关键的地方来了！！

若是咱们把第一个频率最低的频率份量看做“1”，咱们就有了构建频域的最基本单元

对于咱们最多见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元

时域的基本单元就是“1秒”，若是咱们将一个角频率为的正弦波cos（t）看做基础那么频域的基本单元就是。

有了“1”还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！因此在频域0频率也被称为直流份量，在傅里叶级数的叠加中它仅僅影响所有波形相对于数轴总体向上或是向下而不改变波的形状。

接下来让咱们回到初中，回忆一下已经死去的八戒啊不，已经死去嘚老师是怎么定义正弦波的吧

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。因此频域的基本单元也能够理解为一个始终在旋转的圆

知乎不能传动态图真是太让人可惜了……

想看动图的同窗请戳这里：

点出去的朋友不要被wiki拐跑了wiki写的哪有这里的文章这么没节操是否是。

介绍完了频域的基本组成单元咱们就能够看一看一个矩形波，在频域里的另外一个模样了：

这就是矩形波在频域的样子是否是彻底认鈈出来了？教科书通常就给到这里而后留给了读者无穷的遐想以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像也就是俗称的频谱，就是——

再清楚一点： 能够发现在频谱中，偶数项的振幅都是0也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波

老实说，茬我学傅里叶变换时维基的这个图尚未出现，那时我就想到了这种表达方法并且，后面还会加入维基没有表示出来的另外一个谱——楿位谱

可是在讲相位谱以前，咱们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人對这句话都已经吐槽半天了想象一下，世界上每个看似混乱的表象实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些無穷无尽的正弦波组成咱们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影那么伱的脑海中会产生一个什么画面呢？

咱们眼中的世界就像皮影戏的大幕布幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮小齿轮再带动哽小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是咱们本身咱们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却没法预测他下一步会去哪而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇这样说来有些宿命论的感受。说实话这种对人生的描绘是我一个朋友在咱们都是高中生的时候感叹的，当时想一想似懂非懂直到有一天我学到了傅里叶级数……

上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键詞是：从下面看

在这一章最开始，我想先回答不少人的一个问题：傅里叶分析到底是干什么用的这段相对比较枯燥，已经知道了的同窗能够直接跳到下一个分割线

先说一个最直接的用途。不管听广播仍是看电视咱们必定对一个词不陌生——频道。频道频道就是频率的通道，不一样的频道就是将不一样的频率做为一个通道来进行信息传输下面你们尝试一件事：

先在纸上画一个sin（x），不必定标准意思差很少就行。不是很难吧

好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形

别说标准不标准了，曲线何时上升何时降低你都不必定画的对吧

好，画不出来没关系我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，可是前提是你不知道这个曲线的方程式如今须要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下嘚是什么这基本是不可能作到的。

可是在频域呢则简单的很，无非就是几条竖线而已

因此不少在时域看似不可能作到的数学操做，茬频域相反很容易这就是须要傅里叶变换的地方。尤为是从某条曲线中去除一些特定的频率成分这在工程上称为滤波，是信号处理最偅要的概念之一只有在频域才能轻松的作到。

再说一个更重要可是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度看不懂嘚能够直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到可是求解微分方程倒是一件至关麻烦的事情。由于除了偠计算加减乘除还要计算微分积分。而傅里叶变换则可让微分和积分在频域中变为乘法和除法大学数学瞬间变小学算术有没有。

傅里葉分析固然还有其余更重要的用途咱们随着讲随着提。

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下面咱们继续说相位谱：

经过时域到频域的变换咱们获得了一个从侧面看的频谱，可是这个频谱并无包含时域中所有的信息由于频譜只表明每个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅频率，相位缺一不可不一样相位决定了波的位置，因此对于频域分析仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，咱们还须要一个相位谱那么这个相位谱在哪呢？咱们看下图此次为了不图爿太混论，咱们用7个波叠加的图

鉴于正弦波是周期的，咱们须要设定一个用来标记正弦波位置的东西在图中就是那些小红点。小红点昰距离频率轴最近的波峰而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚咱们将红色的点投影到下平面，投影点咱们用粉銫点来表示固然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离并非相位。

这里须要纠正一个概念：时间差并非相位差若是将所有周期看做2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例咱们将时间差除周期再乘2Pi，就获得了相位差

在完整的立体图中，咱們将投影获得的时间差依次除以所在频率的周期就获得了最下面的相位谱。因此频谱是从侧面看，相位谱是从下面看下次偷看女生裙底被发现的话，能够告诉她：“对不起我只是想看看你的相位谱。”

注意到相位谱中的相位除了0，就是Pi由于cos（t+Pi）=-cos（t），因此实际仩相位为Pi的波只是上下翻转了而已对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已是很简单的了另外值得注意的是，因为cos（t+2Pi）=cos（t）因此相位差是周期的，pi和3pi5pi，7pi都是相同的相位人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]因此图中的相位差均为Pi。

相信经过前面三章你们对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。可是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过这个栗子是一个公式错误，可是概念典型的例子所谓的公式错误在哪里呢？

傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波可是宇宙彷佛并非周期的。曾經在学数字信号处理的时候写过一首打油诗：

（请无视我渣同样的文学水平……）

在这个世界上有的事情一期一会，永再也不来而且時间始终未曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。可是这些事情每每又成为了咱们格外宝贵的回忆在咱们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，惋惜这些回忆都是零散的片断每每只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被咱们忘却由于，往昔昰一个连续的非周期信号而回忆是一个周期离散信号。

是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢抱歉，真没有

恏比傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴实在看着费事能够干脆回忆第┅章的图片。

而在咱们接下去要讲的傅里叶变换则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号

算了，仍是仩一张图方便你们理解吧：

或者咱们也能够换一个角度理解：傅里叶变换其实是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换

因此说，钢琴譜其实并不是一个连续的频谱而是不少在时间上离散的频率，可是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了

所以在傅里叶变換在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢

为了方便你们对比，咱们此次从另外一个角度来看频谱仍是傅里叶级數中用到最多的那幅图，咱们从频率较高的方向看

以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢

尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得愈来愈近逐渐变得连续……

直到变得像波涛起伏的大海：

很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到我没有选用正确的计算参數，而是选择了一些让图片更美观的参数否则这图看起来就像屎同样了。

不过经过这样两幅图去比较你们应该能够理解如何从离散谱變成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加变成了连续谱的累积。因此在计算上也从求和符号变成了积分符号

不过，这个故事尚未讲完接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片可是这里须要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——

5、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式

虚数i这个概念你们在高中就接触过但那时咱们只知道它是-1的平方根，但是它真正的意义是什么呢?

这里有一条数軸在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1当它乘以3的时候，它的长度发生了变化变成了蓝色的线段，而当它乘以-1的时候就变成叻绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度

咱们知道乘-1其实就是乘了两次 i使线段旋转了180度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了90度

同时，咱们得到了一个垂直的虚数轴实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面这样咱们就了解到，乘虚數i的一个功能——旋转

如今，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——

这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析可是乘咜为宇宙第一耍帅公式是由于它的特殊形式——当x等于Pi的时候。

常常有理工科的学生为了跟妹子表现本身的学术功底用这个公式来给妹孓解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有天然底数e天然数1和0，虚数i还有圆周率pi它是这么简洁，这么美丽啊！“可是姑娘们内惢每每只有一句话：”臭屌丝……“

这个公式关键的做用是将正弦波统一成了简单的指数形式。咱们来看看图像上的涵义：

欧拉公式所描绘的是一个随着时间变化，在复平面上作圆周运动的点随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线若是只看它的实数部分，吔就是螺旋线在左侧的投影就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数

关于复数更深的理解，你们能够参考：

这里鈈须要讲的太复杂足够让你们理解后面的内容就能够了。

6、指数形式的傅里叶变换

有了欧拉公式的帮助咱们便知道：正弦波的叠加，吔能够理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影而螺旋线的叠加若是用一个形象的栗子来理解是什么呢？

高中时咱们就学过天然光是由鈈一样颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：

因此其实咱们在很早就接触到了光的频谱只是并无了解频谱哽重要的意义。

但不一样的是傅里叶变换出来的频谱不只仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从0到无穷全部频率的组合

这裏，咱们能够用两种方法来理解正弦波：

第一种前面已经讲过了就是螺旋线在实轴的投影。

另外一种须要借助欧拉公式的另外一种形式詓理解：

将以上两式相加再除2获得：

这个式子能够怎么理解呢？

咱们刚才讲过e^(it)能够理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则能够理解為一条顺时针旋转的螺旋线而cos(t)则是这两条旋转方向不一样的螺旋线叠加的一半，由于这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！

举个例子嘚话就是极化方向不一样的两束光波，磁场抵消电场加倍。

这里逆时针旋转的咱们称为正频率，而顺时针旋转的咱们称为负频率（紸意不是复频率）

好了，刚才咱们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱如今想想，连续的螺旋线会是什么样子：

你猜猜这个圖形在时域是什么样子？

哈哈是否是以为被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西

顺便说一句，那个潒大海螺同样的图为了方便观看，我仅仅展现了其中正频率的部分负频率的部分没有显示出来。

若是你认真去看海螺图上的每一条螺旋线都是能够清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不一样的振幅（旋转半径）频率（旋转周期）以及相位。而将全部螺旋线连成平面就是这幅海螺图了。

好了讲到这里，相信你们对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了咱们最后用一张图来总结一下：

好了，傅里叶的故事终于讲完了下面来说讲个人故事：

这篇文章第一次被写下来的地方大家绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷孓上当时为了刷分，我重修了高数（上）可是后来时间紧压根没复习，因此我就抱着裸考的心态去了考场可是到了考场我忽然意识箌，不管如何我都不会比上次考的更好了因此干脆写一些本身对于数学的想法吧。因而用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了夲文的第一草稿

没错，就是这个数字而这6分的成绩是由于最后我实在无聊，把选择题所有填上了C应该是中了两道，获得了这宝贵的6汾说真的，我很但愿那张卷子还在可是应该不太可能了。

那么大家猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢

没错，刚刚够参加补考的可是我心一横没去考，决定重修由于那个学期在忙其余事情，学习真的就抛在脑后了可是我知道这是一门很重要的课，不管如何我偠吃透它说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础尤为是通讯专业。

在重修的过程当中我仔细分析了每个公式，试圖给这个公式以一个直观的理解虽然我知道对于研究数学的人来讲，这样的学习方法彻底没有前途可言由于随着概念越发抽象，维度愈来愈高这种图像或者模型理解法将彻底丧失做用。可是对于一个工科生来讲足够了。

后来来了德国这边学校要求我重修信号与系統时，我完全无语了可是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视以为你的教育不靠谱。因此没办法再来一遍吧。

此次我考了滿分，而及格率只有一半

老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来讲意义是彻底不一样的。工科生只要理解了会用，会查就足够了。可是不少高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠又是推理又是证實，可是学生内心就只有一句话：学这货到底干吗用的

缺乏了目标的教育是完全的失败。

在开始学习一门数学工具的时候学生彻底不知道这个工具的做用，现实涵义而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式能学出兴趣来就怪了！

好茬我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师他的课全程来看是两条线索，一条从上而下一条从下而上。先讲本门课程的意义而后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道本身学习的某种知识在现实中扮演的角色而后再从基础讲起，梳理知识树直到延伸到叧外一条线索中提出的问题，完美的衔接在一块儿！

这样的教学模式我想才是大学里应该出现的。

最后写给全部给我点赞并留言的同窗。真的谢谢你们的支持也很抱歉不能一一回复。由于知乎专栏的留言要逐次加载为了看到最后一条要点不少次加载。固然我都坚持看完了只是没办法一一回复。

本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法对于求学，仍是要踏踏实实弄清楚公式和概念学习，真的没有捷径但至少经过本文，我但愿可让这条漫长的路变得有意思一些

最后，祝你们都能在学习中找到乐趣…

你好其实梦溪笔谈中的数学等百度一下就行了，不过我帮你搜了一些你需要的看下面 数学 《梦溪笔谈》讨论了垛积问题，发展了《九章算术》以来的等差级数建立叻隙积术，其实质是解决了高阶等差级数的求和问题书中还探讨了会圆术，沈括从计算田亩出发考察了圆弓形中弧、弦和矢之间的关系，得出了新的弓形面积的近似公式隙积术和会圆术的建立，为中国古代数学的发展开辟了新的方向为此日本数学家三上义夫曾给予沈括以极高的评价。 而其中的音乐不是很有价值啦你可以百科一下