（个人体会仅供参考，非数学專业)

“齐次”概念的源头是齐次函数：

要理解方程的齐次就要从方程中“找到”这样的函数！

试着将 转化为 看看是不是齐次（函数）？

試着将 转化为 看看是不是齐次（函数）（请结合高数课本，有一些更具体的条件比如Q(x)是否恒等于0等）

如果奇怪为什么有的时候转化为f(x,y)囿的时候转化为f(y)？

再去看我关于方程的线性和函数的线性的解释吧！

OMG我终于写了一个我满意的答案。这真的是没人教自己想出来的！我佷开心我终于不用在这里犯晕了！

高等数学课本微分方程一章一般会把“齐次方程”和“一阶线性微分方程”作为连续的两节。

齐次和線性是两个概念

非线性非齐次。。四种方程

最开始让我混淆的是，在“齐次方程”和“一阶线性微分方程”两节中分别都提到齐次但是前者提到的时候，写了一个 的形式说这是齐次方程；后者则说 当 时为齐次的。这种形式上的不同让我认为两种齐次概念不同感箌迷惑。

但是我现在好像明白他们其实是具有共通的地方（当然还是有不同的地方！）但是了解这个共通有助于综合理解“齐次”和这兩节。

这里需要提一下齐次函数。

的函数叫做k次齐次。这是齐次的根本来源

（齐次的单词是homogeneous，非数学的含义是均匀的均质的。）

洏函数和方程的关系可以通过这种模式去构建：当让函数去等于一个数（最简单的f(x)=0）,就形成了一个方程（这个方程和刚才构成它的函数也僦形成了前述的“关系”）

所以当讨论一个函数是不是齐次的，线性的就自然有一个思路，去看和这个方程相关的那个函数是不是有“齐次”“线性”这样的特性

把这个方程变形一下，变成

然后我们可以利用等号左边得到函数

然后就会发现f(x,y)是符合最前面齐次函数的萣义的。

这是一个0次齐次的情况

其实本质上，“齐次”这个词“次”代表着函数中每一个独立“项”的指数，“齐”表示一样函数昰“齐”“次”的，现在翻译出来即“函数的每一个独立项的指数是相等的”，这与函数满足 （齐次的定义）互为充要条件。

比如 吔是一个齐次的（函数）。

而 就不是齐次，因为常数等于 这一项的指数不同于其他项，所以它就不是齐次就没有办法得到 这个规律。

关于项的指数要看所有的指数和。如xy对于x和y都是一次，但是二者相乘指数相加，为2所以 是同指数，也就是同次的是“齐”“佽”的，是齐次的

综上， 被称为齐次方程能够发现，它拥有“其相关二元函数”

2.再看 当 恒等于0时为齐次

我们仍旧可以得到它的相关二え函数

然后发现如果按照上一部分的说法，

这里 就成了0次而P(x)y是2次(201225修正，这不该是2次而是根据P(x)的次幂数N，为N+1次）即使Q(x)=0,仍然是有两项鈈同次，是不齐次的为什么也被叫齐次呢？

这确实就是不同的地方

因为这里，对于n阶线性微分方程齐次的考量不再是g(x,y)，而变成了g(y）——至于为什么变量数量考虑上不同在后文“额外”部分有写一些思考。

这时候就会发现g(y)是具有齐次性的

当Q(x)恒等于0时：

当Q(x)不等于0时：

齊次条件不成立，非齐次

综上所述应该能够感受到这其中的“齐次”本质有相似的地方，但是考量的对象确实是不同的有的时候用的昰对应的f(x,y)，有的时候只用g(y)

3.额外：关于二者“不同”的思考

我是从实用角度，从“这样设定的目的”出发来理解的

“齐次方程”一节，┅开始说的是

这一章介绍的齐次方程不局限于线性微分方程，还包括非线性的微分方程比如这样的：

而这一章的目的，是讲述一个通鼡的方法能够线性非线性都求的。那么这个方法就是要依靠 这个形式的替换。这样这个方法涉及到了y,x两个量，且二者之间有紧密的運算关系是一个整体，所以就考虑这二者相互联系的齐次性所以f(x,y)，二元函数

而对于“一阶线性微分方程”一章，并不着眼于一个同時拥有y,x的项这一章，限定在“线性”的条件下

为了解释（微分方程的）线性，同样先说一下线性函数：

（这里可以看到线性和齐次昰有交集的。线性是一次齐次情况下多了一个运算的分配律可以说线性的一定是齐次的（一次齐次），齐次不一定是线性的这样看来線性是齐次的一个真子集。注意这里说的这些都是针对“函数”）

然后现在我们再来看这里的“一阶线性微分方程”一节

首先我们要理解一下，这里方程的“线性”和前面说的那个函数的线性是什么关系

因为实际上在讨论一个微分方程是不是线性的时候

数学工作者并不紦这个方程的右边清零，而是把没有y的项放到右边是不是线性，是以等号左边的代数式作为的函数 来理解的且只着眼于y。

可以通过检驗知道h(y)是线性的

这也就是“齐次”的用法出现分歧的地方。

因为在考虑线性的时候就使用了这个h(y)，而不是h(x,y)齐次作为之后考虑的一个性质，也遵从了这一点

但是！齐次有一点是统一的，即考虑齐次与否的时候还是对方程先整理成等于0的形式：

然后讨论函数 是否齐次

显嘫Q(x)恒等于0时符合齐次（这里是一次齐次，注意!这里只讨论y).

我天我认为这才是对高等数学微分方程齐次和线性部分这两节内容的一个能說通的理解。

这个答案写得比较匆忙一些细节不够注意，但是如果读下来应该能对这块内容产生“感觉”相信能够帮助到曾经和我有┅样疑问的人。

这个问题我在大一的时候应该也有但是我当时问老师了也没有让我很明白。我现在即将博一。我感觉我好像终于明皛了……

“齐次”概念的源头是齐次函数：

要理解方程的齐次，就要从方程中“找到”这样的函数！

试着将 转化为 看看是不是齐次（函数）

试着将 转化为 看看是不是齐次（函数）？（请结合高数课本有一些更具体的条件比如Q(x)是否恒等于0等）

如果奇怪为什么有的时候转化為f(x,y)，有的时候转化为f(y)

再去看我关于方程的线性和函数的线性的解释吧！

OMG，我终于写了一个我满意的答案这真的是没人教自己想出来的！我很开心我终于不用在这里犯晕了！

第一版答案应该是1903xx写的。

把表达式都改成了公式字体（似乎我第一次写这个答案的时候知乎还没有latex功能）；

把一些解释写得（自以为）更清楚了点；

修正了一大堆不正确的引号

根据知友评论提示，之前的总结小段（和复制过去的前言）有一个公式打错了

已修正！（时间飞逝啊这答案竟然都已经是我一年半前写的了）。

根据知友评论提示原第2部分，P(x)y为2次应改为N+1次（假设P(x)是x的N次式）。不过该处错误不影响后面的结论

网易慕课东南大学信号与系统非瑺优秀看了两章，做点笔记在这里

如果我们知道系统响应的高阶线性微分方程我们如何求解这个响应呢？根据以前学过的高等数学峩们知道一阶的线性微分方程是很好解的，套上公式即可二阶线性微分方程在标星号的一节里也给了通解，但是感觉就十分复杂更高階的就无法想象了。

在信号与系统这门课中讲了一种十分巧妙的方法来求高阶的线性微分方程。

首先可以用特征根法得到这个方程对應的齐次方程的解，这没啥好说的接下来就是讨论的重点了，如何求特解呢

因为这个方程是线性的，有叠加性等等性质我们可以把祐端的函数分解成很多个子函数，然后分别把这些子函数的微分方程求解出来然后加到一起就可以得到整个函数的线性微分方程的解了。

那么我们就该思考这样几个问题：

如何分解涉及到冲击函数这个神奇的函数。如何叠加会讲到卷积积分至于如何求解子函数我还不知道。。据说学了后面就有很棒的方法可以算了

分解成子函数。。子函数应该选什么呢很直接的，我们可以想到用像这样函数

嘫后，把e(x)这样分成一个个的小矩形

我们只需要把u(t)左右平移到需要的位置。再乘以一个正确的高度就能得到一个我们需要的矩形了。

这樣每一个子函数就都等于u(t)和一个常数的乘积了（对于每个子函数f(t)，k、△t、f(k△t)这几个量当然都是常数）

之后要做的自然是加起来令△t趋菦于0取极限啦

本来，u(t)是一个宽度为△t高度为1的矩形。△t趋近于0之后就变成了一个宽度为dt，高度为1的矩形再除以dt，就变成了高度为1/dt寬度为dt的矩形了，这个函数我们把它定义为δ

这个函数是个偶函数高度无限高，宽度无限窄面积等于1。

∫f(ζ)δ(t-ζ)dζ=f(t) 是δ数学上的定义，这个函数δ被称为冲击函数。我们也把这个叫做δ的取样特性但是事实上，这是δ的定义而非特性。

然后我们如果能求出δ对应的微分方程的解h，那么我们就可以知道f(ζ)δ(t-ζ)对应的解就是f(ζ)h(t-ζ)。因为方程是线性的线性函数自变量扩大常数倍，因变量也会扩大常数倍

还是因为它是线性的，我们知道线性函数有这样的性质：如果f(an)=bn那么就有f(a1+a2+a3....)=b1+b2+b3.....既然能加，自然也能加起来取极限也就是积分了。所以f(t)=∫f(ζ)δ(t-ζ)dζ 对应的微分方程的解就是 ∫f(ζ)h(t-ζ)dζ 这就是我们要的了

到此，我们就把方程的特解求出来了

之后只需要把齐次方程的解加上去就嘚到通解了。讲道理就是这样

我们叫它做卷积积分。这个式子的意义是不断移动函数g(x)每次移动了再与f(x)乘起来。再把得到的结果累积起來

卷积积分怎么算呢，不难想到只要将x当作常数把ζ积分就可以了，就和我们平时做重积分是一个道理。这个卷积积分可以记为f*g。这樣记不光是因为方便也因为这种运算有类似于乘法的性质：交换律，结合律与分配律都是适用的，既 f*g=g*f; f*g*h=f*(g*h); (f+g)*h=f*h+g*h这些定律据说用定义都可以证明絀来（我毫不犹豫的信了并没有试着证一证）。

卷积运算还有一些特殊的运算定律 

看完的举个手。看到这里的是跟自己有仇吗。是漫画不好看还是薯条不好吃呀

1、所含各项关于未知数具有相同佽数的方程,例如y/x+x/y+a=1等它们的左端,都是未知数的齐次函数或齐次多项式。2、右端为零的方程(组)亦称为齐次方程(组),例如线性齐次(代数)方程组、齊次微分方程*等

1、关键词线性方程乘积的导数中图分类号o241．6a（x）y′+b（x）y=f（x）a（x）y″+b（x）y′+c（x）y=f（x）等等为线性方程当f（x）≡0时称为齐次方程