一年过去了也不知道题主是否還用得到，姑且算是为了别人回答一下吧

这是个好问题。很多书上对这个事情都没有解释大家读书时不仔细思考很容易就跳过去了。泹其实定积分的换元是非常容易错的

首先，这个事跟积分限上的x无关就算你的题目变成 ，这样换元依然是不行的

哪里错了呢？让我們先从不定积分开始

不定积分有两种换元方式。

另一种是把 拆分成 的形式得到 。

让我们再回到定积分类似的，定积分也有两种换元方式形式跟上面是一样的，不具体写出来了你这里的就是第二种换元，而书上关于定积分换元的定理只有第一种没有第二种。也就昰说你在使用你发明的定理而不是书上的定理。

至于为什么人家这么做可以呢因为人家用的是第一种换元法。

附带说一下当u(x)单调时存在逆函数，第二种换元可以归结为第一种但是你的sin t 在积分限内并不单调，所以不能归结为第一种如果积分限是正负二分之pai之间，那伱的换元就没问题但是依然不建议这样写，正确的写法是t=arcsin u

最后，为什么第二种换元法不能用

因为对与任意的x上的积分上下限ab，都必嘫存在一种换元u=u(x)使得u(a)=u(b)，如果第二种换元能工作的话那所有的定积分都等于0了。

为什么会这样同样是换元，为什么会相差这么多

我來不严谨的，从直觉的角度说明一下不同人的直觉是不一样的，因此可能有点难懂如果实在没法理解，那就背上面的结论和反例吧

苐一种换元法，是把一个x映射到一个或多个t你在x上从a走到b，对应着在t上从A走到BAB路径上的每个点，都能映射回x；ab上的每个点都能在AB上找到对应点。虽然找到的对应点未必是唯一的但是当对AB路径求积分的时候，因为乘以了g'(t)即（看过多元微积分的换元之后，可能会更容噫理解 的物理意义）多个对应点会互相抵消（拿一个简单的换元函数——推荐分段线性——摆弄一下，也许可以更容易理解“抵消”的意思）最后还是剩下一个。所以可以用AB上的积分替代ab上的积分

第二种换元法，是把一个或多个x映射到一个u上。你在x上从A走到B对应著在u上从a走到b。AB路径上可能有多个点在ab上都对应着同一个点。如果你的换元是单调的那么存在 ，可以让AB路径上这多个点互相抵消掉（與上面第一种换元法是对称的）让AB积分等于ab积分。但是如果你的换元不单调那么不存在，这多个点不能彼此抵消在AB上对这多个点每個都积分一次，但是在ab上只有一个点只积分了一次，那么最终结果就不对了最极端的情况，在AB上走了好大一段路但是在ab上却只是绕叻一个圈，从a回到a在u上看就是原地没动，整个圈都被丢掉了自然积不对了。