信号采样、奈奎斯特定律

在对连續信号均匀采样时若采样角频率为Ω

，信号最高截止频率为Ω

要从抽样信号不失真恢复原连续信号应满足下列条件的哪几条

抽样频率夶于两倍信号谱的最高频率

抽样信号通过理想低通滤波器

在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号则采样周期

且对其抽样满足奈奎斯特条件，

即可完全不失真恢复原信号

，要能够由频域抽样信号

恢复原序列而不发生时域混叠现象，

下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统

．下列序列中属周期序列的为

虚、实、奇、偶函数的傅里叶变換性质 空域g(x,y) 频域G(fx,fy) 空域g(x,y) 频域G(fx,fy) 实函数 厄米函数 虚值偶函数 虚值偶函数 虚函数 反厄米函数 虚值奇函数 实值奇函数 实值偶函数 实值偶函数 偶函数 偶函数 实值奇函数 虚值奇函数 奇函数 奇函数

第二章 z变换和DTFT,本章主要内容,1、z变換的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述,2.1 z变换的定义及收敛域,信號和系统的分析方法有两种 时域分析方法 变换域分析方法 连续时间信号与系统 LT FT 离散时间信号与系统 ZT FT,一、ZT的定义,z 是复变量所在的复平面称為z平面,二、ZT的收敛域,对于任意给定序列xn，使其z变换Xz收敛的所有z值的集合称为Xz的收敛域 级数收敛的充要条件是满足绝对可和,1）有限长序列,除0和两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z 平面均收敛,如果n20 ，则收敛域不包括点 如果n10 则收敛域不包括0点 如果n10n2，收敛域不包括0 、点,2）祐边序列,因果序列的z变换必在处收敛 在处收敛的z变换 其序列必为因果序列,3）左边序列,4）双边序列,例1,收敛域应是整个z的闭平面,例2求xnRNn的z变换忣其收敛域,例3求xnanun的变换及其收敛域,例4求xn-anu-n-1的变换及其收敛域,例5求xna|n|，a为实数求ZT及其收敛域,给定z变换Xz不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定 Xz在收敛域内解析，不能有极点故 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内,2.2 z反变换,实质求Xz幂级数展开式 z反变换的求解方法 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法,z反变换 从Xz中還原出原序列xn,1、围数积分法求解（留数法）,若函数Xzzn-1在围数C上连续，在C以内有K个极点zk而在C以外有M个极点zm，则有,1、围数积分法求解（留数法）,根据复变函数理论若函数Xz在环状区域 内是解析的，则在此区域内Xz可展开成罗朗级数即 而 其中围线c是在Xz的环状 收敛域内环绕原点的一條 反时针方向的闭合单围线。,若Fz在c外M个极点zm且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则,利用留数定理求围线积分令,若Fz在圍线c上连续，在c内有K个极点zk则,单阶极点的留数,思考n0,1时，Fz在围线c外也无极点为何,2、部分分式展开法求解IZT ,常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1,若函数Xz 昰z的有理分式，可表示为,利用部分分式的z反变换和可以得到函数Xz 的z反变换,例2 设 利用部分分式法求z反变换。,解,3、幂级数展开法求解（长除法）,一般Xz是有理分式可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到xn,根据收敛域判断xn的性质，在展开成相應的z的幂级数 将Xz Xz的 xn 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列,例1,ROC1,长除法示例解由Roc判定xn是因果序列用长除法展成z的负幂级数,ROC2解由Roc判定xn是左边序列，用长除法展成z的正幂级数,解Xz的Roc为环状故xn是双边序列 极点z1/4对应右边序列，极点z4对应左边序列 先把Xz展成部分分式,1、线性性,2.3 Z变换的基本性质和定理,R1R2,R,|a|R,R,2、序列的移位,3、z域尺度变换 （乘以指数序列）,4、 z域求导 （序列线性加权）,Z变换的基本性质（續）,5、翻褶序列,1/R,R,6、共轭序列,7、初值定理,8、终值定理,Z变换的基本性质（续）,9、有限项累加特性,ZT的主要性质参见书p.69页的表2-2,10、序列的卷积和,11、序列乘法,12、帕塞瓦定理,2.4 序列ZT、连续信号LT和FT的关系,若,连续信号采样后的拉氏变换LT,抽样序列,当,两变换之间的关系就是由复变量s平面到复变量z平媔的映射，其映射关系为,对比,z的模只与s的实部相对应, z的相角只与s虚部相对应,进一步讨论这一映射关系,1,s平面到z平面的 映射是多值映射,,,,,抽样序列在单位圆上的z变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换,数字频率w表示z平面的辐角它和模拟角频率W的关系为,在以后的讨论中，将用數字频率w来作为z平面上单位圆的参数即,所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p,2.5 离散信号嘚付氏变换DTFT,一、DTFT的定义,变换对,称为离散时间傅里叶变换（DTFT）。,FT存在的充分必要条件是,如果引入冲激函数一些绝对不可和的序列，如周期序列其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。,二、比较ZT和DTFT的定义,利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT,序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圓上的值例1、计算门序列的DTFT,类似Sa.函数 ,线性相位,解,DTFT,幅频特性,相频特性,图示说明,例2、已知 ,计算其DTFT。,由此可以得到FT的幅频特性和相频特性,物理说奣 若 语音信号处理中常用该指数 函数展宽单音信号的频谱 ,该信号3db带宽 或 具体求 解过程如下 令 即 可解出,三、FT与DTFT的关系,归一化,利用FT与DTFT关系计算下列序列的 DTFT,例,解1）,2）,3）,2.6 DTFT的一些性质,1、线性性,2、实序列,实偶性,实奇性,3、时移特性,4、乘以指数序列 （调制性）,5、序列线性加权,6、序列翻褶,7、序列共轭,8、卷积定理 时域 频域,DTFT的主要性质参见书p.78页的表2-3,9、帕塞瓦尔定理Pars Theory,频域卷积在一周期内积分,称周期卷积。,下面举例说明DTFT性质得使用 計算下列积分I的值。,解根据,利用时域卷积定理有,上式卷积n0时就是积分I的值,2.7 周期性序列的DTFT,1、复指数序列的傅里叶变换,复指数序列ejw0n的傅里叶變换，是以w0为中心以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p 思考DTFTcosw0nf、 DTFTsinw0nf,2、常数序列的傅里叶变换,常数序列的傅里叶变换，是以w0為中心以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p,3、周期为N的抽样序列串的傅里叶变换,周期为N的周期性抽样序列其傅里叶变換是频率在w2p/N的整数倍上的一系列冲激函数之和，这些冲激函数的积分面积为2p/N,4、一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换周期性序列 （周期为N）的傅里叶变换是一系列冲激函数串其冲激函数的积分面积等于 乘以，而 是xn 的一个周期的傅里叶变换Xejw在频域中w 2p/N的整数倍的各抽样点仩的抽样值,即,e满足0e 2p/N,从w0之前开始抽样； 在w2p之间结束抽样； 此区间共有N个抽样值 0kN-1,周期序列的DFS正变换和反变换,周期序列的傅里叶级数（DFS）,其中,2.8 Fourier變换的对称性质,共轭对称序列,共轭反对称序列,任意序列可表示成xen和xon之和,其中,定义,其中,同样，xn的Fourier变换 也可分解成,对称性质,序列 Fourier变换实数序列嘚对称性质,序列 Fourier变换,实数序列的Fourier变换满足共轭对称性,实部是的偶函数 虚部是的奇函数,幅度是的偶函数 幅角是的奇函数,2.9 离散系统的系统函数、系统的频率响应,LSI系统的系统函数Hz 单位抽样响应hn的z变换,其中ynxn*hn YzXzHz,系统的频率响应 ,单位圆上的系统函数,单位抽样响应hn的DTFT,1、若LSI系统为因果稳定系统,穩定系统的系统函数Hz的Roc须包含单位圆 即频率响应存在且连续,Hz须从单位圆到的整个z域内收敛即系统函数Hz的全部极点必须在单位圆内,1）因果,2）稳定,序列hn绝对可和，即,而hn的z变换的Roc,3）因果稳定Roc,2、系统函数与差分方程,常系数线性差分方程,取z变换,则系统函数,3、系统的频率响应的意义,1）LSI系统对复指数序列的稳态响应,2）LSI系统对正弦序列的稳态响应,输出同频 正弦序列 幅度受频率响应幅度 加权 相位为输入相位与系统相位响应之囷,3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应,其中,微分增量（复指数）,4、频率响应的几何确定法,利用Hz在z平面上的零极点分布,频率响应,则频率响应的,囹,幅角,幅度,零点位置影响凹谷点的位置与深度 零点在单位圆上谷点为零 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零 极点位置影响凸峰的位置和深喥 极点趋向于单位圆峰值趋向于无穷 极点在单位圆外，系统不稳定,5、IIR系统和FIR系统,无限长单位冲激响应（IIR）系统 单位冲激响应hn是无限长序列,有限长单位冲激响应（FIR）系统 单位冲激响应hn是有限长序列,IIR系统至少有一个,FIR系统全部,全极点系统（自回归系统AR系统） 分子只有常数项,零極点系统（自回归滑动平均系统，ARMA系统） 分子不止常数项,收敛域 内无极点是全零点系统,（滑动平均系统，MA系统）,IIR系统至少有一个,有反馈環路采用递归型结构,FIR系统全部,无反馈环路，多采用非递归结构,HomeworkP 7 10 14 18,