浅述导数的定义在觚题巾的运用

杭州１师范大学钱江学院

［摘要］学习导数的定义和方法后一般都是利用导数基本公式及运算法则等进行运算，但有些问题还必须用导數的定义然而导数的定义在求函数在某点导数、求分段函数以及极限等运算中有着重要的作用。本文结合例题对导数的定义运用的关键點进行探讨以期大家对此问题引起重视，加深对导数的定义理解和应用

［关键词］导数定义分段函数极限一、引言

导数的定义是高等數学中一个重要概念，深入理解导数的定义能

够帮助我们灵活的解题

导数的定义：设函数ｙ＝“ｘ）在Ｘｏ的某个领域内有定义，当自變量ｘ

２曾（ｘ叶一＋．．．＋ｘ＋１）粤ｇ（ｘ）＝２００５

三、利用导数的定义对分段函数求导

对分段函数在分段点的导数计算须按定义求解，有时在分析分段

点的可导性时可通过“可导必定连续，连续不一定可导不连续必定不可导”来判定。

在Ｘｏ处取得增量ａｘ（点ｘ０＋△ｘ仍在该领域内）时相应地取得增量Ａｙ＝ｆ

（ｘｏ＋Ａｘ）一ｆ（ｘ０；如果△ｙ与△ｘ之比当△ｘ—岫时的极限存在，则称函数ｙ＝ｆ∞

在点Ｘｏ处可导并称这个极限为函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点］（。处的导数记为ｆ㈤，即

例３：Ｎｒ函数ｆ（ｘ）＝ｆ盖矗囝ｘ＜≥Ｏｏ，求ｒ（ｘ）

分析：讨论分段函数的分界点的导数时，只能用定义解：当ｘ＜Ｏ时，ｆ（Ｘ）一ｓｉｎｘ

ｆＣｘｏ＋ａ…ｘ）－ｆ（Ｘｏ）

导数的定义式也可取不同的形式常见的有：

ｆ（ｘｏ＋ｈ）－ｆ（ｘｏ）

当ｘ＞ｏ时，Ｐ（ｘ）＝≠≮．

ｅ（ｘｏ）＝ｌｉｍ！㈣二！ｉ型

当ｘ＝０时ｆ』ｏ）＝ｌｉｍ塑！ｊ芸＝ｌｉｍ！塑坠不存在，则ｅ（ｘｏ）不存在ｘ—廿

上式中的ｈ即自变量的增量△ｘ。

二、利用导数的定义求导数

（一）求某些函数在某点的导数

初等函数求导数一般用计算公式和法则但它鈈能概括全面，一些

函数在某点处的导数仍需要用导数的定义来求

四、利用导数的定义求函数的极限

当所要求极限具有导数定义式特征時，我们可以利用导数的定义

例４：设“ｘ）在ｘｏ处可导求ｌｉ。ｆ（ｘｏ－３ｈ）－ｆ（ｘｏ）一。

例ｔ：设ｆ（ｘ）＝ＶｉｓｉｎＶ丁求ｆ（ｏ）。

ｆ（ｘ）＝塑等％≥＋告ｃｏｓＶ丁

因为Ｐ（ｘ）在ｘ＝０点处无定义所以ｆ．（ｏ）不存在。

分析：在ｘ＝Ｏ点无定义不能判定ｆ（０）一定存在。只能说明本题此方法不适用用导数的定义研究，ｆ（０１是存在的

触ｌ。ｉｒａ掣＝ｌｉｍ紫删一３ｆ（ｘｏ）１３．

分析：本题的极限问题就形如导数定义，可以这样求解

例５：设“ｘ）在。：１处可导且ｆ（１）：２＇ｆｌ（ｘ）：１，求ｌｉｍ丛！１１；生

正确解：由导数的定义：

ｅ（ｘｏ）：ｌｉｍ坠尘型

解：ｌｉ田胆警车生：ｌｉ田掣二ｐ㈣＋ｆ（１）】：２ｆ（１）ｅ（１）＝４

：ｌｉｍ—Ｑ＇－五－ｓｉｎ４ｖｆ（Ａｘ）２一：１

（二）求抽象函数的复合函数的导数

在抽象函数的求导中，抽象函数的可导性是未知的只知道是连续，往往不能套公式而应该用定义计算，如果不注意这点就可能导致解法错误。

例２：设ｆ（ｘ）＝（ｘ”一１）ｇ（ｘ）其中ｇ（ｘ）在点ｘ＝ｌ处连续，且ｇ（１）＝１求ｆｆ

通过以上例子可以看出，运用导数的定义可以巧妙地解决常见的数学问题起到了很好的效果，这都需要深刻地理解导数的定义通过利用导数的定义解题，能夠促进我们理解导数的定义

［１］同济大学应用数学系．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，

错解：ｆ（ｘ）＝【（严一１）ｇ（ｘ）】Ｉ

＝ｆｘ”４—１）ｇ’（ｘ）＋２００５ｘ”０４９（ｘ）

［２］王玉苏吴素敏，陈佩宁．导数定义在导数计算中的作用［Ｔ］．石家庄职业技术学院学报２００３，１５（２１

ｆ（１）＝（１”一１）ｇ’（１）＋２００５ｘｌ”～１）

［３］狄秀荣谢國军．导数定义在解题中的灵活应用［Ｔ］．桂林航天工业高等专科学校学报，２００７４６（２）

［４］施荣权，孙红明．浅谈导数萣义及其应用［『］．河北能源职业技术学院学报２００５，１６（３）

［５］张一龙．浅谈导数定义在导数计算中的地位与作用［Ｔ］高等数学研究２００２，３

［６］郭文婷．运用导数定义解几种数学问题［Ｉ］．长江工程职业技术学院学报２００９，２６（２）

分析：题中并没假设函数ｇ（ｘ）可导ｇ（ｘ）的具体表达式未知，要按照

正确解：ｃＯ）：ｌｉ堑逊－１

＝ｌｉｍ一（ｘａｒ２ｓ－１）ｇ（ｘ）－０—

（上接第９８页）不能仅从水平面或剖面上的岩层的错移来判断断层性质。应通过计算预测等多种方法综合分析嘚出结论

在主观方面，部分学生往往觉得地质枯燥无味所以，教学过程中应尽量与实际生活和生产紧密联系比如插入某地方地形图、地质图或地质剖面图，有条件的可以讲解本学校的重点实验室在教学过程中添加科技前沿，提高学生的积极性

地质实习能够让学生茬最短的时间消化课堂上所学的理论知识。

所以应加强对地质实习的教育与实施力度，让学生真正学到地质知

识为今后的野外工作打丅坚实的学术基础、身体基础和心理基础。学

生很难仅经过ＰＰＴ就对层序地层、岩性、区域构造等概念有完整准确的

掌握让学生全面觀察地势地貌沉积物地层断层褶皱等等一系列地质现象，勤作图并进行分析与探讨，在探讨中产生碰撞的火花进而得到

５．以多媒体課件为主，其他教学媒体资源相补充

社会在进步时代在更新，要达到最佳的教学效果则要在具体的教学目标、教学内容、教学策略基礎上选择适当教学手段，最大限度发挥各种媒体的优势既要鼓励多媒体教学，又要倡导合理使用各种资源不能认为多媒体就是现代化敎学，更不能将现代化教学限制于多媒体教学如果因为有了多媒体，就把本来有条件做的地质实习删掉这

［１］夏邦栋．普通地质学ＥＭ３．地质出版社，１９９５．

［２］徐开礼朱志澄．构造地质学［Ｍ］．地质出版社，１９８９．

［３］崔树清等．石油地质基础精品课建设的思考［Ｉ］．石油教育２００９

［４］何圣静．多媒体技术及其应用．北京：北京理工大学出版社，１９９５

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∵切线的倾斜角为45°，∴切线的斜率＝tan45°＝1∴可设AB的方程为y＝x＋t。联立：y＝x＋t、y＝x^2－3x消去y，得：x＋t＝x^2－3x∴x^2－4x－t＝0。

∵y＝x＋t与y＝x^2－3x相切∴方程x^2－4x－t＝0有重根，∴16＋4t＝0∴t＝－4。

∴AB的方程为：y＝x－4∴AB与y轴的交点为（0，－4）

令y＝x－4中的y＝0，得：x＝4∴AB与x轴的交点为（4，0）

∴△ABC的面积＝（1/2）×4×4＝8。3、最小斜率就是与曲线y=f(x)相切的直线的最小斜率对函数f(x)=x^3+ax^2-9x-1(a<0)求一阶导数得的就是与若曲线y=f(x)相切的直线的斜率函数

即f'(x)=3x?+2ax-9斜率函数是二次函数且開口向上，最小值在对称轴上即x=-a/3时f'(x)最小