二阶导数 : 导数的另一求法 备用题 2. 設 3. * * * * 运行时, 点击按钮“雅可比”, 可显示雅可比的简介, 并自动返回. 运行时, 点击按钮 “公式”,可显示二阶线性方程组解的公式, 演示结束自动返回. 苐九章 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其偏导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其偏导数 隐函数的二阶導数公式求导公式 本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有連续 (隐函数求导公式) 定理证明从略仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 滿足条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 机动 目录 仩页 下页 返回 结束 例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 , 由 定理1 可知, ① 导的隐函数 则 ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程可确定单徝可 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时 — 利用隐函数求导 机动 目录 上页 下頁 返回 结束 定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求偏导 同样可得 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设 解法1 利用隐函數求导，两边同时关于x求偏导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导 解法2 利用公式 设 则 两边对 x 求偏导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 由 F、G 的偏导数组成的行列式 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式. 以两个方程确定兩个隐函数的二阶导数公式情况为例 , 即 雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 ③ 的单值连续函数 且有偏导数公式 : ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 导数； 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理证明略.仅推导偏导数公式如下： (P34-P35) 机動 目录 上页 下页 返回 结束 确定隐函数组 则 两边对 x 求偏导得 设方程组 在点P 的某邻域内 公式 目录 上页 下页 返回 结束 故得 系数行列式 同样可得 机動 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设 解: 方程组两边对 x 求偏导并移项得 求 练习: 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: 在 时 有 例4.设函数 在点(u,v) 的某一 1) 证明函数组 ( x, y) 的某一邻域内 2) 求 解: 1) 令 对 x , y 的偏导数. 在与点 (u, v) 对应的点 邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ①式两边对 x 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数. ① ② 机动 目录 上页 下页 返囙 结束 从方程组②解得 同理, ①式两边对 y 求导, 可得 内容小结 1. 隐函数(