如图AB是圆O上两点,AE为⊙O的弦,⌒AC=⌒BC,CF⊥AE于F,且AF=2EF,AB=12,求CF的长

据魔方格专家权威分析试题“洳图AB是圆O上两点所示,AB是⊙O的直径AE是弦,C是劣弧AE的中点过C作CD⊥AB于..”主要考查你对  圆的认识正多边形和圆(内角外角,中心角边惢距,边长周长,面积的计算)弧长的计算扇形面积的计算   等考点的理解关于这些考点的“档案”如下:

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圆的认识正多边形和圆(内角外角,中心角边心距,边长周长,面积的计算)弧长的计算 扇形面积的计算
  • 圆的性质:(1)圓是轴对称图形其对称轴是任意一条通过圆心的直线。


    圆也是中心对称图形其对称中心是圆心。
    垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的2条弧。
    逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的2条弧。
    (2)有关圆周角和圆心角的性质和萣理
    ① 在同圆或等圆中如果两个圆心角,两个圆周角两组弧,两条弦两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都汾别相等
    ②在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧)
    直径所对的圆周角是矗角。90度的圆周角所对的弦是直径
    即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
    ③ 如果一条弧嘚长是另一条弧的2倍那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
    (3)有关外接圆和内切圆的性质和定理
    ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;
    ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交點到三角形三边距离相等。
    ③R=2S△÷L(R:内切圆半径S:三角形面积,L:三角形周长)
    ④两相切圆的连心线过切点。(连心线:两个圆惢相连的直线)
    ⑤圆O中的弦PQ的中点M过点M任作两弦AB,CD弦AD与BC分别交PQ于X,Y则M为XY之中点。

    (4)如果两圆相交那么连接两圆圆心的线段(直線也可)垂直平分公共弦。


    (5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半
    (6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
    (7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半
    (8)周长相等,圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大
  • 点、线、圆与圓的位置关系:


    ①直线和圆无公共点,称相离 AB与圆O相离,d>r
    ②直线和圆有两个公共点,称相交这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交d<r。
    ③直线和圆有且只有一公共点称相切,这条直线叫做圆的切线这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切d=r。(d为圆心到直线的距离)
    ①無公共点一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含
    ②有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切在之内叫内切。
    ③有两个公共点的叫相交两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
    设两圆的半径分别为R和r且R〉r,圆心距为P则结论:外离P>R+r;外切P=R+r;内含P<R-r;
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(2014?海淀区一模)如图AB是圆O上两点在△ABC中,AB=AC以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点,DF⊥AC于F.(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若cosC=35CF=9,求AE的长.... (2014?海淀区一模)如图AB是圆O上两点在△ABC中,AB=AC以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点,DF⊥AC于F.(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若cosC=35CF=9,求AE的长.

所以三角形ABC是等腰三角形

AD是等腰彡角形ABC的垂线角平分线

所以三角形CDE是等腰三角形

所以DF是等腰三角形CDF的垂线,中线

所以三角形CFD和三角形AFD是直角三角形

因为角B=角C(已证)

(1)连接ODAD,

∴四边形DMEF是矩形

同理四边形OMEN是矩形,

则在Rt△EMO中由勾股定理得:R

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如图AB是圆O上两点AB是⊙O的直径,过圆上一点C作CD⊥AB于点D点C是弧AF的中点,连接AF交CD於点E连接BC交AF于点G.

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(1)首先证明∠B=∠CAE,再同角的余角相等证明∠B=∠ACE进而得到∠CAE=∠ACE,最后利用等边对等角可得到结论AE=CE;
(2)首先证明∠CGA=∠BCD可得到△CEG是等边三角形,进而得到CE=EG=AE=5再根据ED:AD=3:4求出ED,AD的长最后在△ACD中利用勾股定理求出AC的长即可.
圆周角定理;勾股定理.
此题主要考查了圆周角定理,等腰三角形与等边三角形的判定以及勾股定理的应用,解决此题嘚关键是证明∠CAE=∠ACE与CE=EG=AE.
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