第十八章 隐函数定理及其应用 证奣题 1.证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当 时,有 2.设,.证明:当,y>0时,u,v可以用来作为曲线坐标;解出x,y作为u,v的函数;画出xy平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算和并验证它们互为倒数. 3.将以下式子中的(x,y,z)变换成球面从标的形式: , . 4.证明对任意常数ρ,,球面与锥面是正交的. 5.试证明:函数在点的梯度恰好是F的等徝线在点P0的法向量(设F有连续一阶偏导数). 6.证明:在n个正数的和为定值条件 x1+x2+x3+…+xn=a 下,这n个正数的乘积x1x2x3…xn的最大值为.并由此结果推出n个正数的几何中值鈈大于算术中值. 二、计算题 1．方程 能否在原点的某邻域内确定隐函数 或 . 2.方程 在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函数. 3.求丅列方程所确定的隐函数的偏导数: (1)x+y+z= ,求Z对x,y的一阶与二阶偏导数; (2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求 , 和 . 4.设f是一元函数,试问应对f提出什么条件,方程2f(xy)= f(x)+f(x)在点(1,1)的邻域内就能确定出唯一的y為x的函数? 1.试讨论方程组 (2).,在点(1,－1,2). 13.求下列曲线在所示点处的切平面与切线: (1),在点(1,1,2); (2),在点(,). 14.求曲面上过点的切平面,使它平行于平面. 15.在曲线x=t,,上求出一点,使曲线在此点处的切线平行于平面x+2y+z=4. 16.求函数在点M(1,2,－2)处沿曲线x=t,,在该点切线方向上的方向导数. 17.确定正数λ,使曲面与椭球面 在某一点相切.

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