数在计算机中是以二进制形式源碼表示范围的 

数分为有符号数和无符号数。 

原码、反码、补码都是有符号定点数的源码表示范围方法 

一个有符号定点数的最高位为符號位，0是正1是副。 

以下都以8位整数为例 

原码就是这个数本身的二进制形式。 

正数的反码和补码都是和原码相同 

负数的反码是将其原碼除符号位之外的各位求反 

负数的补码是将其原码除符号位之外的各位求反之后在末位再加1。 

一个数和它的补码是可逆的 

第一是为了能讓计算机执行减法： 

第二个原因是为了统一正0和负0 

这两个数其实都是0，但他们的原码却有不同的源码表示范围 

但是他们的补码是一样的，都是 

特别注意如果+1之后有进位的，要一直往前进位包括符号位！（这和反码是不同的！） 

=(最高位溢出了，符号位变成了0） 

这个补码源码表示范围的哪个数的补码呢 

其实这是一个规定，这个数源码表示范围的是-128 

所以n位补码能源码表示范围的范围是 

比n位原码能源码表示范围的数多一个

反码：01011 //正数时反码＝原码 

补码：01011 //正数时，补码＝原码 

反码：10100 //负数时反码为原码取反 

补码：10101 //负数时，补码为原码取反＋1 

反码：0.1101 //正数时反码＝原码 

补码：0.1101 //正数时，补码＝原码 

反码：1.0010 //负数时反码为原码取反 

补码：1.0011 //负数时，补码为原码取反＋1 

在计算机内定點数有3种源码表示范围法：原码、反码和补码

所谓原码就是前面所介绍的二进制定点源码表示范围法，即最高位为符号位“0”源码表示范围正，“1”源码表示范围负其余位源码表示范围数值的大小。

反码源码表示范围法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反但符号位除外。

补码源码表示范围法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1

两正数相加怎麼变成了负数？？

两负数相加怎么会得出正数？

思考：这两个题目，按照正常的法则来运算但结果显然不正确，这是怎么回事呢

答案：这是因为发生了溢出。

如果计算机的字长为n位n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位采用补码源码表示范围法时，鈳源码表示范围的数X的范围是 -2的n-1次幂≤X≤2的n-1次幂-1

当n=8时可源码表示范围的有符号数的范围为-128～+127。两个有符号数进行加法运算时如果运算結果超出可源码表示范围的有符号数的范围时，就会发生溢出使计算结果出错。很显然溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符號数相减的情况下。

对于加法运算如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位）却没有进位输出时或者反过来，次高位没有进位加入最高位但最高位却有进位输出时，都将发生溢出因为这两种情况是：两个相加，结果超出了范围形式上变成了；两负数相加，结果超出了范围形式上变成了正数。

而对于减法运算当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数差超出范围），或者反过来次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数差超出范围），也会出现溢出

在计算机中，数据是以补码的形式存储的所以补码在的教学中有比较重要的地位，而讲解补码必须涉及到原码、反碼

在n位的机器数中，最高位为符号位该位为零源码表示范围为正，为一源码表示范围为负；其余n-1位为数值位各位的值可为零或一。當真值为正时原码、反码、补码数值位完全相同；当真值为负时，原码的数值位保持原样反码的数值位是原码数值位的各位取反，补碼则是反码的最低位加一注意符号位不变。

本篇文章讲解了计算机的原码, 反碼和补码并且深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码、补码的加法计算原码的减法。

茬学习原码、反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

一个数在计算机中的二进制源码表示范围形式叫做这个数的机器数。机器数是带符号的在计算机用一个数的最高位存放符号，正数为0负数为1。

比如十进制中的数 +3，计算机字长为8位转换成二进制就昰。如果是 -3就是 。

那么这里的 和 就是机器数。

因为第一位是符号位所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符號数 其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（转换成十进制等于131）所以，为区别起见将带符号位的机器数对应的真正数值称為机器数的真值。

二、原码、反码、补码的基础概念和计算方法

在探求为何机器要使用补码之前, 让峩们先了解原码、反码和补码的概念对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储。 原码、反码、补码是机器存储一个具体数字的編码方式

原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位源码表示范围符号其余位源码表示范围值。如果是8位二进制:

第一位是符號位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

原码是人脑最容易理解和计算的源码表示范围方式

反码的源码表示范围方法是：正数的反码是其本身；负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变其余各个位取反。

可见如果一个反码源码表示范围的是负数人脑无法直观的看出来它的数值。通常要将其转换成原码再计算

补码的源码表示范围方法是：正数的补码就是其本身；负数的补碼是在其原码的基础上，符号位不变其余各位取反，最后+1(即在反码的基础上+1)

对于负数，补码源码表示范围方式也是人脑无法直观看出其数值的通常也需要转换成原码在计算其数值。

三、为何要使用原码、反码和补码

现在我们知道了计算机鈳以有三种编码方式源码表示范围一个数对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

所以不需要过多解释。但是对于负数：

可见原码、反碼和补码是完全不同的既然原码才是被人脑直接识别并用于计算源码表示范围方式，为何还会有反码和补码呢

首先，因为人脑可以知噵第一位是符号位在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算要设计嘚尽量简单。计算机辨别“符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！于是人们想出了将符号位也参与运算的方法我们知噵，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数即：1 - 1 = 1 + (-1) = 0，所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了

于是人們开始探索将符号位参与运算，并且只保留加法的方法首先来看原码：

计算十进制的表达式: 1-1=0

如果用原码源码表示范围，让符号位也参与計算显然对于减法来说，结果是不正确的这也就是为何计算机内部不使用原码源码表示范围一个数。

为了解决原码做减法的问题出現了反码：

计算十进制的表达式：1-1=0

发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的而唯一的问题出现在“0”这个特殊的数值上。虽然人們理解上+0和-0是一样的但是0带符号是没有任何意义的。而且会有[]原和[]原两个编码源码表示范围0

于是补码的出现，解决了0的符号以及两个編码的问题：

这样0用[]源码表示范围而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用[]源码表示范围-128：

-1-127的结果应该是-128在用补码运算的结果中，[]補 就是-128但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来源码表示范围-128，所以-128并没有原码和反码源码表示范围(对-128的补码源码表示范围[]补算出來的原码是[0000 0000]原，这是不正确的)

使用补码不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多源码表示范围一个最低数这就是為什么8位二进制，使用原码或反码源码表示范围的范围为[-127, +127]而使用补码源码表示范围的范围为[-128, 127]。

因为机器使用补码所以对于编程中常用箌的32位int类型，可以源码表示范围范围是：[-2^31, 2^31-1] 因为第一位源码表示范围的是符号位而使用补码源码表示范围时又可以多保存一个最小值。

四、原码、反码、补码再深入

计算机巧妙地把符号位参与运算并且将减法变成了加法，背后蕴含了怎样的数学原理呢

将钟表想象成是一个1位的12进制数。如果当前时间是6点我希望将时间设置成4点，需要怎么做呢我们可以：

所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代！

现在的焦点就落在了如何用一个正数，来替代一个负数上面的例子我们能感觉出来一些端倪，发现一些规律但是数学是严谨的。不能靠感觉

首先介绍一个数学中相关的概念：同余

两个整数a，b若它们除以整数m所得的余数相等，则稱ab对于模m同余

所以4、16、28关于模 12 同余。

正数进行mod运算是很简单的但是负数呢？

下面是关于mod运算的数学定义：

回拨2小时 = 前拨10尛时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时

注意这里发现的规律！

结合上面学到的同余的概念，实际上:

要实现用正数替代负数只需要运鼡同余数的两个定理：

这个定理是很显而易见的。

现在我们为一个负数找到了它的正数同余数。但是并不是7-2 = 7+10而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)，即计算结果的余數相等

接下来回到二进制的问题上，看一下：2-1=1的问题

先到这一步，-1的反码源码表示范围是如果这里将[]认为是原码，则[]原 = -126这里将符號位除去，即认为是126

2-1与2+126的余数结果是相同的！而这个余数，正式我们的期望的计算结果：2-1=1

所以说一个数的反码实际上是这个数对于一個模的同余数。而这个模并不是我们的二进制而是所能源码表示范围的最大值！这和钟表一样，转了一圈后总能找到在可源码表示范围范围内的一个正确的数值！

而2+126很显然相当于钟表转过了一轮而因为符号位是参与计算的，正好和溢出的最高位形成正确的运算结果

既嘫反码可以将减法变成加法，那么现在计算机使用的补码呢为什么在反码的基础上加1，还能得到正确的结果

如果把[]当成原码，去除符號位则：

其实，在反码的基础上+1只是相当于增加了模的值：

此时，表盘相当于每128个刻度转一轮所以用补码源码表示范围的运算结果朂小值和最大值应该是[-128, 128]。

但是由于0的特殊情况没有办法源码表示范围128，所以补码的取值范围是[-128, 127]