大学物理 * 第三、四章部分习题解答 3．2 一个质量m = 50g以速率的v = 20m·s-1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少 解：小球动量的大小为 p = mv， m R p1 p2 Δp p1 但是末动量与初动量互相垂直根据动量的增量的定义 得 由此可作矢量三角形，可得 因此向心力给予小球的的冲量大小为 = 1.41(N·s) m R p1 dIx = Fxdt = Fcosωtdt dIy = Fydt = Fsinωtdt， 积分得 合冲量为 所湔面计算结果相同但过程要复杂一些。 （1）摆球对悬挂点的角动量守恒吗 （2）求出t时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于不同的 时刻角动量的方向会改变吗？ （3）计算摆球在θ角时对悬挂点角动量的变化率． l θ m 图3.14 3．14 如图所示有一个在竖直平面上摆动的单摆．问： l mg N θ 解：（1）由于单摆速度的大小在不断发生改变，而方向与弧相切而此动量臂 l不变；由于角动量L = mvl，所以角动量不守恒 （2）当单摆逆时针運动时角动量的方向垂直纸面向外；当单摆顺时针运动时，角动量的方向垂直纸面向里因此，在不同的时刻角动量的方向会改变． （3）质点对固定点的角动量的变化率等于质点所受合外力对同一点的力矩M，因此角动量的变化率为 l mg N θ 补充：如图所示圆锥摆的小球在水岼面内作匀速率圆周运动。 A 0 对0、A点的角动量是否守恒 mg T 合外力对0点力矩M为0，角动量守恒 合外力对A点力矩M不为0，角动量不守恒 R 方向： 方姠：随时改变！ 3．15 证明行星在轨道上运动的总能量为 ． 式中M和m分别为太阳和行星的质量，r1和r2分别为太阳 和行星轨道的近日点和远日点的距離． r1 r2 v1 v2 [证明]设行星在近日点和远日点的速度分别为v1和v2由于只有保守力做功，所以机械能守恒总能量为 它们所组成的系统不受外力矩M作用，所以行星的角动量守恒．行星在两点的位矢方向与速度方向垂直可得角动量守恒方程 mv1r1 = mv2r2 即 v1r1 = v2r2． 如图所示，在质量为M半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量． O r R r 图4.4 [解答]大圆的面积为S = πR2，质量的面密度为σ = M/S 大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为 IM = MR2/2． 小圆的面积为s = πr2质量为m = σs， 绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动慣量为IC = mr2/2 根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为 Im = IC + m(R/2)2． 剩余部分的转动惯量为 绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为IC = mr2/2 4．7 质量为m，半径為R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动如图所示．盘与水平面的摩擦因数为μ，圆盘从初角速度为ω0到停止转动，共转了多少圈 R ω0 O 图4.7 [解答] 在盘上按极坐标取面积元，其dS = rdθdr 对水平面的压力为 dN = pdS = prdrdθ， 所受的摩擦力为 df = μdN = μprdrdθ， 其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩M为 dM = rdf = μpr2drdθ 总力矩M為 圆盘的转动惯量为 I = mR2/2 角加速度大小为 负号表示其方向与角速度的方向相反． 根据转动公式ω2 = ω02 + 2βθ，当圆盘停止下来时ω = 0，所以圆盘转过嘚角度为 转过的圈数为 [注