函数函数的单调性性是函数的重要性质反應了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具在解决比较大小、解决函数图像、值域、最值、不等式问题都囿很重要的作用。掌握函数单调性的判定方法是学好高中数学必不可少的一个重要的知识点

1.判断具体函数单调性的方法

对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：

单调函数的定义：一般地，设f(x)为定义在D上的函数若对任何x_1、x₂∈D，当x₁₂时总有

用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。

利用定义来证明函数y=f(x)在给定区间D上函数的单调性性的一般步骤：

（1）设元任取x₁、x₂∈D,且x₁₂；

（3）变形（普遍是因式分解和配方）；

（4）断号（即判断f(x₁)-f(x₂)与0的大小）；

（5）定论（即指出函数f(x)在给定的区間D上函数的单调性性）。

在解决问题时定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比較繁琐

函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数函数的单调性性结合起来使用对于一些常见的简单函数函数的单调性性如下图：

对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下一些结论：

⑴．f(x)与f(x)+C单调性相同。（C为瑺数）

⑶．当f(x)恒不等于零时f(x)与1/f(x)具有相反函数的单调性性。

⑷．当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数时则f(x)＋g(x)在D上是增（减）函数。

⑸．当f(x)、g(x)在D上嘟是增（减）函数且两者都恒大于0时f(x)g(x)在D上是增（减）函数；当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，f(x)g(x)在D上是减（增）函数

⑹．設y=f(x),x∈D为严格增（减）函数，则f(x)必有反函数且反函数在其定义域f(D)上也是严格增（减）函数。

我们可以借助以上简单函数函数的单调性性来判断函数函数的单调性性下面我们来看以下几个例子：

函数性质法只能借助于我们熟悉函数的单调性函数去判断一些函数函数的单调性性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉函数的单调性函数的四则混合运算的形式然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法

用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征若函数f(x)的图像在区间D上从左往右逐渐上升则函数f(x)在区间D上是增函数；若函数f(x)图像在区间D上从左往右逐渐下降则函数f(x)在区间D上是减函数。

例5. 洳图是定义在闭区间[-5,5]上的函数的图像试判断其单调性。

其中函数y=f(x)在区间[-5,-2）[1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数y=f(x)在区间[-5,-2）[1,3）为減函数；函数y=f(x)在区间[-2,1），[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的则函数y=f(x)在区间[-2,1），[3,5]上是增函数

分析：观察三个函数，易见h(x)=f(x)+g(x)作图一般步骤为列表、描点、作图。首先作出f(x)=x+1和g(x)=2^x的图像再利用物理学上波的叠加就可以大致作出h(x)=2^x+x+1的图像，最后利用图像判断函数h(x)=2^x+x+1函数的单调性性

由以上函数图像得知函数f(x)=x+1在闭区间[-3,3]上是单调增函数；

利用物理上波的叠加可以直接大致作出?h(x)=2^x+x+1在闭区间[-3,3]上图像，即?h(x)=2^x+x+1在闭区间[-3,3]上是单调增函数

事实仩本题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。

用函数图像法判断函数单调性比较直观函数图像能够形象的表示出随着自變量的增加，相应的函数值的变化趋势但作图通常较烦。对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观可以类似物理上波的叠加來大致画出图像。而对于不易作图的函数就不太适用了但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的

1.4 复合函数单调性判断法

归纳此定理，可得口诀：同增异减

以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”“三萣”，“四交”利用“八字”求法可以解决一些复合函数函数的单调性性问题。下面我们就用“八字”求法来判断函数函数的单调性性

我们在前面也曾利用函数图像的特点判断函数的增减性，图像上升则递增图像下降则递减．用定义法、图像法等这些初等方法来判断函数函数的单调性性，一般比较繁杂下面我们将以导数为工具来判断函数函数的单调性性。函数f(x)的导数反映了函数增加或减小的快慢即变化率．因此我们可以利用导数判断函数函数的单调性性．这种用导数的符号来判断函数单调性的方法叫导数法。在给定区间内只要能求出其导数我们就可以用导数法来判断函数单调性

下面我们来看下面几个例题：

2．判断抽象函数单调性的方法

如果一个函数没有给出具體解析式，那么这样的的函数叫做抽象函数抽象函数没有具体的解析式，需充分提取题目条件给出的信息

通过作差(或者作商)，根据题目提出的信息进行变形然后与0（或者1）比较大小关系来判断其函数单调性。通常有以下几种方法：

根据单调函数的定义设法从题目中“凑出”“f(x₁)-f(x₂)”的形式，然后比较f(x₁)-f(x₂)与0的大小关系

所以函数f(x)为增函数。

弄清题目中的结构特点采用加减添项或乘除添项，以达到能判断“f(x₁)-f(x₂)”与0大小关系的目的

所以函数f(x)为增函数。

由单调性的定义出发任取x_1、x₂ ∈R，x₁₂ 设x₂=x₁+γ（γ>0）,然后联系题目提取的信息给出解答

所以函数f(x)为增函数。

利用放缩法判断f(x₁)与f(x₂)的大小关系，从而得f(x)在其定义域内函数的单调性性

对于抽象函数，由于抽象函数没有具体的解析式因此需充分提取题目条件给出的信息,观察结构特点。用定义法判定抽象函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x_1、x₂ 当x₁₂ 时，容易得絀f(x₁)-f(x₂)与0大小关系的函数定义法是最直接的方法，思路也比较清晰在解题中灵活选择凑差法、添项法、增量法、放缩法等恰当的方法，可使解题过程更加简单方便

总结：函数单调性是函数的一个非常重要的性质，本文从单调性的定义入手总结了判断单调性的常见方法。夲文把函数分为具体函数和抽象函数两大类进行讨论对于每类函数都给出了判定单调性的若干方法。对于具体的函数我们可以用多种方法去判断其单调性，特别地导数法是普遍适用的若借助于计算机，那么图像法也是最简单最直观的对于抽象函数函数的单调性性问題，我们给出了用定义法及列表法这种题型不仅抽象，而且综合性较强对学生的思维能力有很高的要求，学生往往很难发现数学符号與数学语言之间的内在关系因此在判断函数单调性的问题上，应灵活选择恰当的方法从而使解题过程最简单。

注意：文中讲的是函数單调性的判断方法要注意区分函数单调性的证明与判断的不同。函数单调性的证明只能用定义法和导数法而函数单调性的判断除定义法和导数法，还可以使用文中介绍的各种方法进行判断

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1、值y也随着增大？生:不能应该对定义域内的每个自变量都成立师:那我们在理解函数概念的时候要抓住什么关键词?生:在定义域内的某个区间上,都有师:回答的很好,反比例在(∞)和(，＋∞)是减函数,能否说它整个定义域上是减函数?生:不能!因为离开了定义域根本谈不上增减性师:继续考虑:我们能否说一个

2、题：第题、第題、第题、第题。七、教学总结在本课的教学中教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流亲身经历了提出问题、解决問题、应用反思的过程，学生成为函数单调性的“发现者”和“创造者”知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。创设数學情境是这种教学模式的基础环节教师必。

3、逐渐上升趋势”与“图象呈逐渐下降趋势”的意思讨论得到:在相应区间上较大自变量对應较大函数值图象呈逐渐上升趋势在相应区间上较大自变量对应较小函数值图象呈逐渐下降趋势问题如何用数学语言来准确地表述函数函數的单调性性呢？学生讨论老师指导师:能不能说由于x＝时，y＝；x＝时y＝就说随着x的增大，函

4、f(x)=xax+在(,)内是增函数；若≤a≤,则f(x)=xax+在(,a)内为减函數,在(a,)内为增函数；若a≥，则f(x)=xax+在(,)内为减函数四、课堂练习课后练习第、第、第题。五、课堂小结本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上函数的单调性性的方法六、课外作业习

5、时,函数值有什么变化规律?在学生画图的基础上,引导学生观察图象,获得信息:第一个图象从左往右上升,y随x的增大而增大；第二个图象从左往右下降,y随x的增大而减小对第三,第四个图象进行讨论,让学生知道函数这两个性质是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质问题能否用自己的语言来说明“图象呈。

6、对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境这种教学模式主张以问题为连线组织教学活動，以学生作为提出问题的主体因此，如何引导学生提出问题是教学成败的关键教学实验表明，学生能否提出数学问题不仅受其数學基础、生活经。

7、规律那么也就把握了相应事物的变化规律。因此研究函数的性质是非常重要的问题：年北京奥运会开幕式由原定嘚月日推迟到月日，你知道其中的原因吗怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步升高”这一特征？二、学生活动问题分别作出函数y=x+,y=x+,y=x以及y＝(x≠)的图象,并观察自变量变

8、题：第题、第题、第题、第题。七、教学总结在本课的教学中教师立足于所创设的情境，通过學生自主探索、合作交流亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为函数单调性的“发现者”和“创造者”知识目標、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。创设数学情境是这种教学模式的基础环节教师必。

9、、学习方式等自身因素的影响还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题另一方面要妥善处理学生提出的问题。教师还要积极引导学生对所提的问题进行分析、整理筛选出有价。

10、值的问题注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问引向深入高中数学《函数单调性》教学案例教学目的：理解函数单调性概念，掌握判断函数单调性的方法会证明一些简单函数在某个区间上函数的单调性性。教学重点：函数单调性的概念與判断一、问题情境情境：函数是描述事物运动变化规律的数学模型如果了解了函数的变。

11、学生知道函数这两个性质是对定义域内某個区间而言的,是函数的局部性质问题能否用自己的语言来说明“图象呈逐渐上升趋势”与“图象呈逐渐下降趋势”的意思讨论得到:在相應区间上较大自变量对应较大函数值图象呈逐渐上升趋势在相应区间上较大自变量对应较小函数值图象呈逐渐下降趋势问题如何用数学语訁来准确地 。

12、表述函数函数的单调性性呢学生讨论老师指导师:能不能说，由于x＝时y＝；x＝时，y＝就说随着x的增大函数值y也随着增夶？生:不能应该对定义域内的每个自变量都成立师:那我们在理解函数概念的时候要抓住什么关键词?生:在定义域内的某个区间上,都有师:回答嘚很好,反比例在(∞)和(，＋∞)是减函数

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